Косвенные методы оценки качества регулирования

 

Метод распределения корней.Этот метод дает возможность приближенно оценить характер переходного процесса по расположению корней относительно мнимой оси. В основу метода положена идея оценки переходного процесса по тому корню характеристического уравнения, который ближе других расположен к мнимой оси. Этот корень может быть как вещественным , так и комплексно сопряженным .

Известно, что для системы с характеристическим уравнение n-го порядка

 

 

затухание переходного процесса определяется уравнением

 

,

 

в котором последней будет затухать составляющая с минимальной вещественной частью корня. Тогда, если отбросить влияние остальных корней, то порядок дифференциального уравнения системы снизится до первого порядка, если наименьший корень вещественный или до второго при минимальном комплексном корне.

Пусть самый опасный корень системы имеет вещественную часть , тогда потребовав, чтобы регулируемая величина за время регулирования уменьшилась в m раз, можно написать

.

 

После логарифмирования получим

 

.

 

 

Метод интегральных оценок.Если прямые показатели качества регулирования характеризуют отдельные его стороны, то интегральная оценка характеризует качество регулирования одним показателем. Но сложный динамический процесс не всегда удается однозначно характеризовать одним параметром, поэтому вводится понятие нескольких видов интегральных оценок.

Все виды интегральных оценок основаны на анализе ошибки регулирования

 

(7.2)

 

и любая интегральная оценка представляет собой интеграл от некоторой функции, связанной с этой ошибкой

 

. (7.3)

 

Простейшей интегральной оценкой является интеграл от мгновенного значения ошибки, то есть

. (7.4)

 

Этот интеграл определяет заштрихованную площадь на рис. 7.3,а,б которая называется площадью регулирования. Однако такая оценка может применяться только для систем без перерегулирования, когда ошибка не меняет своего знака (рис. 7.3,б).

 

Рис. 7.3

 

Большее практическое значение имеет квадратичная интегральная оценка

 

, (7.5)

 

которая не зависит от знака ошибки. Интеграл определяет заштрихованную площадь на рис. 7.3,в, которую называют квадратичной площадью регулирования. Величина интеграла будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных площадей, то есть чем ближе переходный процесс к ступенчатому изменению регулируемой величины. Но при таком переходном процессе получается большая скорость процесса при подходе регулируемой величины к новому установившемуся значению, что вызывает большое перерегулирование. Поэтому при оценке по интегралу сильно колебательный процесс иногда может оказаться лучше, чем апериодический, а это не всегда правильно.

Квадратичную интегральную оценку можно улучшить, если учесть не только ошибку, но и скорость ее изменения. Такая оценка дается интегралом

 

. (7.6)

 

В практике используются и более сложные интегральные оценки, в которых учитывается не только ошибка, но и ее первая, вторая и более высокие производные.

Частотные методы.Рассмотрим сначала идеальную систему, в которой все элементы безынерционны. В такой системе выходной сигнал в любой момент времени точно копирует входной, и передаточная функция такой системы . Это означает, что амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики соответственно равны А(w) =1; j(w) = 0. Они изображены на рис. 7.4,а.

Рис. 7.4

 

 

Но все реальные системы инерционны, и поэтому их частотные характеристики обычно имеют вид, приведенный на рис. 7.4,б. В реальных системах условия, близкие к идеальным, соблюдаются лишь на небольшом участке малых частот (он заштрихован на рис. 7.4,б). На резонансной частоте амплитуда имеет максимум , а при дальнейшем увеличении частоты резко падает. Это происходит потому, что система, вследствие своей инерционности, не успевает реагировать на колебания. Фаза выходного сигнала все более и более отстает от фазы входного сигнала, что отмечается уходом фазо-частотной характеристики в область отрицательных значений.

Для описания АФЧХ вводят следующие понятия:

Показатель колебательности - . Чем больше этот показатель, тем более колебательным является переходный процесс. При малых М система “вялая” и имеет большое время регулирования, а при больших М увеличивается перерегулирование, и система приближается к границе устойчивости. Обычно принимают

Частота резонанса частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения.

Частота среза системы вычисляется на уровне . Она определяет диапазон частот вынужденных колебаний, которые пропускаются системой без ослабления. С увеличением увеличивается быстродействие системы, и увеличивается спектр входного сигнала, который система передает без искажений.

Полоса пропускания системы - вычисляется на уровне . С увеличением возрастает быстродействие системы.

Таким образом, М, , являются косвенными показателями качества переходного процесса, и эти параметры часто служат исходными данными при проектировании автоматических систем.

 

 

7.3.Точность автоматических систем

 

Автоматические системы можно с полным правом считать информационными системами и оценивать их с позиций точности передачи сигналов. При таком взгляде на автоматические системы вопрос о точности передачи сигналов переходит в вопрос о точности выполнения задания, то есть о точности выполнения условия . Ответ на этот вопрос дает вычисление ошибки регулирования.

Ошибки возникают по двум причинам: это ошибка при выполнении задания

 

, (7.7)

 

и ошибки, вызванные действием возмущающих факторов

 

. (7.8)

 

Результирующая ошибка системы равна сумме этих ошибок

 

. (7.9)

 

Так как во время переходного процесса ошибка изменяется во времени, то ее мгновенное значение не может служить мерой точности системы, поэтому условились точность автоматических систем оценивать величиной ошибки в установившемся режиме. Это записывается так

 

. (7.10)

 

Значение установившейся ошибки удобно вычислять по известной теореме операционного исчисления “о предельном переходе”. Согласно этой теоремы значение оригинала f(¥) можно определить непосредственно по ее изображению F(p) по формуле

 

. (7.11)

 

 

Применяя эту формулу к (7.10) получим

 

, (7.12)

 

где , - изображения ошибок по заданию и возмущениям, и ,- их передаточные функции.

Таким образом, из формулы (7.12) видно, что точность автоматических систем зависит не только от свойств самой системы, которые определяются передаточными функциями и , но и от формы внешних воздействий и .

В реальных условиях работы системы внешние воздействия могут иметь любую временную зависимость, часто случайного характера, в результате чего сделать аттестацию точности систем по реальным воздействиям практически невозможно. Как же выйти из этого положения? Поступают следующим образом. Оценку точности автоматических систем производят по ее реакции на типовые воздействия и в качестве таковых используют следующие временные функции:

ступенчатая , ,

линейная , , (7.13)

квадратичная , .

 

 

7.4. Астатизм автоматических систем

Астатизм автоматической системы является важнейшим параметров характеризующим ее точность, при этом астатические свойства определяются значением установившейся ошибки.

Система называется астатической, если при постоянном задающем воздействии установившаяся ошибка равна нулю, в противном случае система называется статической.

Рассмотрим причины, вызывающие астатизм, его основные свойства и структурные признаки.

В первую очередь отметим следующие особенности астатизма:

1. Источником астатизма могут быть только интегрирующие звенья, передаточная функция которых, как известно, содержит в знаменателе оператор “p”

 

.

 

2. Астатическая реакция системы всегда связана с конкретным воздействием, то есть система, астатическая по отношению к одному воздействию, может не иметь его по отношению к другим воздействиям;

3. Появление астатической реакции зависит от двух факторов: от вида временной зависимости воздействия, и от точки его приложения в системе.

Последнее в частности означает, что присутствие в системе интегрирующих звеньев еще не гарантирует ей астатические свойства. Для того, чтобы интегрирующее звено стало источником астатизма, оно должно быть “правильно” включено в структуру системы. Но как распознать “правильное” расположение этих звеньев? Ответ на этот вопрос дают структурные признаки астатизма, к рассмотрению которых мы приступаем.

Рассмотрим структурную схему изображенную на рис.7.5, а, в которой обозначено: задание, возмущение, регулируемая величина. В схеме также приняты следующие обозначения: передаточные функции, не содержащие интегрирующих и дифференцирующих звеньев; определяют количества интегрирующих звеньев.

	Рис. 7.5.

Астатизм по отношению к заданию. Задание создает в системе ошибку

 

, (7.14)

 

передаточная функция которой, согласно рис. 7.5,б, определяется выражением

 

. (7.15)

 

Здесь полное число интегрирующих звеньев в системе; . Тогда по теореме “о предельном переходе” установившаяся ошибка будет равна

 

Рассмотрим влияние типовых воздействий на астатическую реакцию системы.

1. Задание - ступенчатая функция. Его изображение , и ошибка в этом случае равна

Рис.7.5

. (7.17)

 

Отсюда следуют следующие свойства:

1). При отсутствии интегрирующих звеньев () система “статическая”, так как имеет установившуюся ошибку

 

.

 

2). При наличии хотя бы одного интегрирующего звена () система становится астатической, поскольку

 

.

2. Задание - линейная функция. Его изображение , и

 

. (7.18)

 

При получаем , а при . Это означает, что при реакция системы на задание “статическая”, а при астатическая. Таким образом, при линейном изменении входного сигнала, для полной компенсации ошибки требуется не менее 2-х интегрирующих звеньев.

 

3. Задание - квадратичная функция. Его изображение , и

. (7.19)

 

Здесь результаты такие: при реакция статическая, так как , а при астатическая, так как . Это означает, что при квадратичном изменении задания для полной компенсации ошибки требуется не менее 3-х интегрирующих звеньев.

Общим свойством является то, что при всех видах задания астатическая реакция системы зависит только от числа интегрирующих звеньев n, а место их установки в системе не имеет значения. Это следует из того, что во всех формулах ошибки (7.17), (7.18) и (7.19) в числителе присутствует сомножитель .

 

Астатизм по отношению к возмущению. Связь между возмущением и вызванной им ошибкой определяется по структурной схеме (рис. 7.5,в)

 

, (7.20)

 

где

.

 

Установившаяся ошибка по возмущению определяется по формуле

 

(7.21)

.

Проведем аналогичный анализ влияния типовых воздействий на астатизм системы.

1. Возмущение - ступенчатая функция. Ошибка равна

 

. (7.22)

 

При получаем , то есть реакция системы “статическая”, а при реакция “астатическая” - .

2. Возмущение - линейная функция. Ошибка равна

 

. (7.23)

 

При реакция статическая - , при реакция “астатическая” - .

3. Возмущение - квадратичная функция. Ошибка равна

 

. (7.24)

 

При реакция статическая - , при реакция астатическая - .

На основе результатов этого параграфа можно сформулировать следующие определения.

Структурный признак астатизма. Реакция системы на приложенное воздействие будет астатической, если в системе есть интегрирующие звенья, включенные до точки приложения этого воздействия.

Порядок астатизма по отношению к воздействию - определяется числом интегрирующих звеньев включенных до точки приложения этого воздействия.

Это означает, что по отношению к заданию порядок астатизма определяется числом n, так как все интегрирующие звенья системы участвуют в его создании, по отношению к возмущению порядок астатизма определяется числом , так как в создании астатизма не участвуют интегрирующие звенья, расположенные на прямом пути от точки приложения воздействия до выхода.

 

ГЛАВА 8