Реферат Курсовая Конспект
Формула Литтла - раздел Философия, Основні поняття системи та моделі. Поняття моделі. Співвідношення між моделлю та системою У Теорії Масового Обслуговування Важливе Значення Має Формула Литтла (Зако...
|
У теорії масового обслуговування важливе значення має формула Литтла (закон збереження стаціонарної черги), яка дозволяє обчислювати середню кількість вимог, що знаходяться в системі. Щоб отримати формулу Литтла, розглянемо СМО загального виду, яку зображено на рисунку 5.1 у вигляді «чорного ящика», і будемо спостерігати за її вхідними та вихідними потоками вимог.
Рисунок 5.1 – СМО загального виду
Процес α(t) – деякий випадковий процес надходження вимог до системи за проміжок часу (0, t). Процес δ(t) визначає вихідний потік вимог із системи на цьому ж проміжку. Відобразимо обидва випадкових процеси у вигляді графіків, наведених на рисунку 5.2.
Рисунок 5.2 – Вхідні та вихідні випадкові процеси в СМО
Кількість вимог, що знаходяться в системі в будь-який момент часу t, можна знайти як N(t) = α(t) – δ(t).
Заштрихована площа між двома кривими γ(t) визначає загальну роботу (добуток кількості вимог на час перебування їх у СМО) на проміжку часу (0, t), яка вимірюється у вимогах за секунду.
Інтенсивність надходження вимог до СМО за час спостереження (0, t) можна визначити як
, (5.7)
а середній час перебування вимог у системі за той же проміжок часу як
. (5.8)
Середня кількість вимог, що перебували в системі за проміжок часу (0,t)
. (5.9)
Використовуючи вирази (5.7) – (5.9), отримаємо та ку формулу
(5.10)
Для того щоб СМО була в стані рівноваги, потрібно, щоб середній час перебування вимог у системі був більшим за середній час їх обслуговування. Припустимо, що для СМО, яка розглядається, і , де λ – інтенсивність надходження, а Т— середній час перебування вимог у системі. У цьому випадку існує також межа для середньої кількості вимог, які знаходяться в системі, тобто .
Тоді з формули (5.10) отримаємо формулу Литтла у такому вигляді:
Отже, для будь-якого закону розподілу проміжків часу між двома моментами надходження вимог і будь-якого розподілу часу їх обслуговування, кількості пристроїв для обслуговування та дисципліни обслуговування середню кількість вимог, що знаходяться в СМО, визначають через інтенсивність надходження та середній час перебування вимог у системі.
Інтуїтивне доведення формули Литтла базується на тому, що кількість вимог у системі в момент надходження нової вимоги, буде такою ж, як і в момент, коли вимога залишає систему. Це свідчить про те, що СМО перебуває в стані рівноваги або сталому стані, тобто вимоги не можуть знаходитись у системі нескінченно довго і завжди залишають її. Як бачимо, під час виведення формули Литтла ніяких обмежень на тип СМО немає. Можна, наприклад, вважати, що СМО складається тільки з однієї черга або з одного пристрою для обслуговування.
5.2.3 Одноканальні системи масового обслуговування
Розглянемо одноканальну СМО з одним пристроєм для обслуговування S і чергою до нього q, яку зображено на рисунку 5.3.
Рисунок 5.3 – СМО з одним пристроєм для обслуговування
Якщо позначити через ω середній час перебування вимоги в черзі, то з формули Литтла можна отримати середню кількість вимог у черзі:
Якщо позначити середній час обслуговування вимоги в пристрої через і розглядати СМО як таку, що має один пристрій, то, використовуючи формулу Литтла, можна знайти середню кількість вимог у пристрої для обслуговування:
Для СМО з одним пристроєм для обслуговування завжди має місце рівність
,
де Т – середній час перебування вимоги в системі.
Коефіцієнт завантаження пристрою для обслуговування ρ можна визначити:
ρ – це ймовірність того, що під час надходження вимоги до системи пристрій буде зайнято.
Найпростіша одноканальна система МО є модель такого типу:
Граф станів
2 стани
S0 – канал вільний (очікування)
S1 – канал зайнятий (обслуговування)
P0 – ймовірність, що канал вільний
Р1 – ймовірність, що канал зайнятий.
Необхідно визначити абсолютну і відносну пропускні здатності.
Складемо диференціальне рівняння Колмогорова для визначення ймовірностей станів:
(5.11)
P0(t) + P1(t) = 1.
Розв’язок системи має вигляд:
(5.12)
Для одноканальної системи Р0 – ймовірність того, що в момент t канал вільний і заявка, що надійшла в цей момент буде обслужена, тобто це є відносна пропускна здатність q = P0.
При t → ∞ досягається встановленого режиму, тому
. (5.13)
Знаючи відносну пропускну здатність легко знайти абсолютну – середнє число заявок, які може обслужити СМО за одиницю часу:
(5.14)
Ймовірність відмов = Р1
(5.15)
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Людина постійно моделює оскільки моделі спрощують об єкти і явища... Величезні можливості мають комп ютери для розв язування математичних задач Числовими методами для більшості задач...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула Литтла
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов