Реферат Курсовая Конспект
Образец решения контрольной работы № 2. - раздел Философия, Часть 1. ПРОГРАММА КУРСА Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Задание 1. Найти Пределы Функций. 1) ...
|
Задание 1. Найти пределы функций.
1)
2) ; 3) .
Решение. 1) Данный предел в зависимости от значений вычисляется разными способами.
а) . Найдем значения функций, стоящих в числителе и в знаменателе дроби, в точке : . Так как полученные значения конечны и отличны от нуля, то по теореме о пределе частного, учитывая непрерывность функций, предел равен значению частного в предельной точке: ;
б) . Найдем новые значения и в точке : . Так как числитель и знаменатель дроби оба равны нулю, то заданное отношение в точке является неопределенностью вида и применять теорему о пределе частного нельзя. Для нахождения предела в этом случае выделим в числителе и знаменателе критический множитель , создающий неопределенность вида при . С этой целью найдем корни уравнений и , затем разложим квадратные трехчлены на линейные множители и после сокращения дроби на общий критический множитель найдем предел оставшегося выражения, применяя теорему о пределе частного как в случае пункта а):
;
в) . При имеем и , т. е. заданное отношение при является неопределенностью вида и теорему о пределе частного применять нельзя. Для нахождения в этом случае предела дроби опять выделим в числителе и знаменателе критический множитель, который представляет собой старшую степень переменной . В данном случае это есть . После сокращения дроби на критический множитель применим теорему о пределе частного и следующие равенства, известные из теории пределов: , , .
Получим:
.
2) Найдем значения функций и , стоящих в числителе и знаменателе дроби, в точке : , . Следовательно, заданное отношение при является неопределенностью вида . Для нахождения предела отношения выделим в числителе и в знаменателе критический множитель , создающий неопределенность, и сократим на него дробь. С этой целью умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное знаменателю и используем формулу сокращенного умножения разности квадратов: :
.
По теореме о пределе корня , получим:
.
3) . Найдем значения функций и в точке : и . Следовательно, заданное отношение представляет собой при неопределенность вида . Вычислим этот предел, применяя формулу первого замечательного предела: и равенство , вытекающее из непрерывности в точке функции . С этой целью преобразуем заданный предел следующим образом:
.
Ответ: 1), а) ; б) ; в) . 2) . 3) 3.
Задание 2. Найти производные заданных функций.
1) ; 2) ;
3) .
Решение. 1) .
Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложной функции вида , где , а также таблицу производных. Получим:
.
2) .
Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложных функций вида
,
где , а также таблицу производных. Получим:
.
3) .
Используем правило дифференцирования суммы , правило дифференцирования произведения и правила дифференцирования сложных функций вида
,
где , а также таблицу производных. Получим:
.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) .
Задание 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.
Решение. 1) Найдем область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.
Функция определена на всей числовой оси, кроме точки , т. е. . В каждой точке области определения функция непрерывна. Точка есть точка разрыва функции, т. к. знаменатель функции в этой точке равен нулю, а числитель отличен от нуля.
2) Выясним четность, нечетность и периодичность функции.
, т. е. . Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция непериодична, т. к. , где Т – некоторое действительное число.
3) Найдем асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).
|
Так как точка оси Ox есть точка разрыва функции, то прямая линия , перпендикулярная оси Ox, есть вертикальная асимптота графика. Исследуем поведение графика функции вблизи вертикальной асимптоты по односторонним пределам функции. Возьмем слева от точки близкое значение, например, и вычислим в нем значение функции и ее знак:
.
Так как это значение отрицательно, и функция слева от точки непрерывна, то она сохраняет знак и .
Теперь возьмем справа от точки близкое значение, например, :
.
Так как это значение положительно, и функция справа от точки непрерывна, то при переходе к пределу функция сохраняет знак и .
Таким образом, слева от точки функция отрицательна, а справа от точки – положительна и имеет односторонние пределы, равные бесконечности. Такая точка называется точкой разрыва второго рода (или точкой бесконечного разрыва функции).
б) Горизонтальные асимптоты.
Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно найти предел функции при , раскрывая неопределенность вида . Если существует конечный предел , то прямая, определяемая уравнением , есть горизонтальная асимптота графика. Если же этот предел равен бесконечности, то горизонтальной асимптоты нет. Найдем предел:
.
Предел равен бесконечности, значит горизонтальной асимптоты нет.
в) Наклонные асимптоты.
Наклонная асимптота имеет уравнение прямой линии с угловым коэффициентом вида , где , . Если , то наклонной асимптоты не существует.
Найдем оба указанных предела для заданной функции:
,
.
Таким образом, график имеет наклонную асимптоту .
4) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.
Находим сначала первую производную функции:
.
Так как точка , в которой не существует, не принадлежит области определения функции, то критическими точками первого рода являются лишь точки, в которых или , т. е. .
Критические точки и точка разрыва разбивают ось Ox на 4 интервала монотонности функции. По знаку производной в этих интервалах определяем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции. Полученные данные заносим в табл. 1.
Таблица 1.
+ | – | не сущ. | – | + | |||
ä | –8 max | æ | не сущ. | æ | min | ä |
5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.
Находим сначала вторую производную функции:
.
Так как точкане принадлежит области определения функции и , то критических точек второго рода нет.
Точка разрыва разбивают числовую ось Ox на 2 интервала, в которых по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика. Полученные данные заносим в табл. 2.
Таблица 2.
– | не сущ. | + | |
Ç выпуклый | не сущ. | È вогнутый |
6) Находим точки пересечения графика функции с осями координат, решая две системы уравнений.
С осью Ox:
А(1; 0) – точка пересечения графика с осью Ox.
С осью Oy:
В(0; 1) – точка пересечения графика с осью Oу.
7) Используя результаты исследования, строим график функции в такой последовательности: а) рисуем вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту , подписываем их; б) изображаем максимум функции в точке и минимум в точке ; в) наносим на осях точки А(1; 0) и В(0; 1) пересечения графика с осями координат; г) нанесенные на плоскость точки соединяем гладкими линиями с учетом табл. 1 и 2 и поведения функции вблизи асимптот.
Задание 4. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение. По определению частной производной находим , считая переменную y фиксированной постоянной величиной:
Аналогично находим частную производную считая переменную x фиксированной постоянной величиной:
Находим смешанную частную производную 2-го порядка, используя правило дифференцирования произведения двух функций:
Подставляем найденные частные производные в данное уравнение:
.
Ответ: что и требовалось доказать.
3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление».
1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
1. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
2. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
3. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
4. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
5. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
6. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
7. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
8. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
9. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
10. 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
2. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Сделать чертеж.
1. , . 2. , .
3. , . 4. , .
5. , . 6. , .
7. , . 8. , .
9. , . 10. , .
4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций.
1. , , . 2. , , .
3. , , . 4. , , .
5. , , . 6. , , .
7. , , . 8. , , .
9. , , . 10. , , .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Волгоградский государственный архитектурно строительный университет... Волжский институт строительства и технологий...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Образец решения контрольной работы № 2.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов