Реферат Курсовая Конспект
Доказательство. - раздел Образование, Тема 4. Линейное пространство 1. Аналогично Доказательству Из §8. 2. Если ...
|
1. Аналогично доказательству из §8.
2. Если и – любое, например, линейно зависимы.
3. Если – линейно зависимы, то одновременно неравные нулю, так что и хотя бы одно из отлично от нуля линейно зависимы. ч.т.д.
Пример. Рассмотрим линейное пространства и докажем, что n элементов из вида , ,…, линейно независимы, а добавление еще одного элемента приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию с . Имеем . Вектор справа равен нулю, если все , т.е. – линейно независимы.
Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1, достаточно показать, что x – линейная комбинация . Действительно, .
3о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.
Определение 5. Совокупность векторов называют базисом в , если
1. вектора – линейно независимы;
2. для найдутся . (1)
При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .
Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.
Доказательство. Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости , что и требовалось доказать.
Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении на , все координаты вектора умножаются на это число.
Доказательство. Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.
Примеры.
1. Базис в – любое ненулевое число.
2. . Базис образуют матрицы , , …, с одним единичным элементом.
3. – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, .
4. – см. выше.
4о. Размерность линейного пространства.
Определение 6. Линейное пространство называется n–мерным, если
1. В нем n линейно независимых векторов.
2. векторов линейно зависимы.
Тогда n называется размерностью и обозначается .
Определение 7.Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем любое число линейно независимых векторов.
Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.
Теорема 4. Если – линейное пространство размерности n, то линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.
Доказательство. Пусть – система n линейно независимых векторов из . Если – любой вектор из , то по Def 6, вектора – линейно зависимы, т.е.
и среди есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что (т. к. иначе – линейно зависимы)
, т.е.
– линейная комбинация т. к. – произвольный, то –базис.
Теорема 5. Если имеет базис, состоящий из n элементов, то .
Доказательство. Пусть – базис в . Достаточно показать, что векторов линейно зависимы. Разложим их по базису:
,
…
,
где .
Очевидно, что линейная зависимость векторов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы
.
Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
5о. Изоморфизм линейных пространств.
Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.
Определение 6.Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора , то вектору отвечает вектор , а вектору при отвечает вектор .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
о Определение и простейшие свойства... Пусть даны поле с элементами называемыми скалярами и обозначаемыми малыми... Определение Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доказательство.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов