Свойства векторного произведения.

1. Векторное произведение двух не нулевых векторов равно нулю Û вектора–сомножители коллинеарны.

Доказательство:

Пусть и Þ Þ т.к. , Þ Þ , т.е. ||.

Пусть ||, тогда Þ Þ .

2. Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Доказательство:

Пусть и . На отрезках [OA] и [OB] построим параллелограмм.

.

3. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. .

Доказательство:

Легко видеть, что , т.к. вектора , , образуют правую тройку, то тройка , , – левая Þ т.е. вектора и – противоположно направлены. Следовательно, .

4. .

Докажем первое равенство.

1) В начале покажем равенство модулей.

т.к. , то .

.

2) Так как ||, то .

5. Покажем, что . Рассмотрим случай и .

 

 

 

 

Отсюда вытекает доказываемое свойство.

6. – дистрибутивность.

Если один из векторов нулевой – очевидно. Пусть , , – не нулевые. Для доказательства воспользуемся описанным ранее методом построения векторного произведения.

 

 

Выберем произвольную точку и отложим из нее вектора и . Из конца вектора построим вектор . Т.о., , , , .

1) Построим плоскость П^.

2) Спроецируем на плоскость П: получим .

3) Повернем по часовой стрелке на угол p¤2.

4) Умножим отрезки сторон на , получим треугольник подобный .

По построению, , , Þ т.к. ), то .