Инерционные модели - раздел Образование, АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ Динамические Системы С Последействием (С Предысторией) Могут Быть Формализова...
Динамические системы с последействием (с предысторией) могут быть формализованы с применением дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
2.3.1. Дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами. В общем случае дифференциальные уравнения n-го порядка с запаздывающим аргументом имеют вид
.(2.14)
Дифференциальное уравнение (2.14) может быть сведено к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Введем обозначения: z=z1; ; и т.д. Тогда дифференциальное уравнение (2.14) запишем в следующем виде:
.
Из рассмотрения даже простейшего дифференциального уравнения вида
,(2.15)
где t>0, t=сonst, сложно понять, какие начальные условия надо задать, чтобы определить решение z(t) для t>t0.
Решение дифференциального уравнения (2.15) определяется из интегрального уравнения
(2.16)
Решение уравнения (2.16) осуществляется по следующему алгоритму.
Следует задать начальное значение для точки t0 z0=z(t0) и функцию z(t) в полуинтервале t0-t£t<t0 ([t0-t, t0)). Функцию z(t)=W(t) называют начальной функцией "tÎ[t0-t,t0). При таких условиях можно получить либо аналитическое решение уравнения (2.16), либо получить решение для любого Q>t0с применением методов вычислительной математике и компьютерного моделирования. Алгоритм решения уравнения (2.16) представляет собой следующую последовательность действий.
После задания начальных условий следует определить непрерывное решение z(t) для t>t0, при условии, что z(t)=W(t) для "tÎ[t0-t,t0). Если функции f и W непрерывны и первая из них удовлетворяет условию Липшица по z, то искомое решение существует и единственно.
Зная W(t) для t0-t£t<t0, найдем z(t) для t0£t<t0+t. Примем это z(t) за начальную функцию W(t) для t0£t<t0+t. Определим z(t) для t0+t£t<t0+2t и т.д.
При поиске решения применен метод последовательного интегрирования, сущность которого показана на рис. 2.3.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом применяются для составления моделей динамической системы с последствием, т.е. систем, для определения состояний z(t) которых при t>t0 недостаточно задать z0=z(t0).
Рис. 2.3
2.3.2. Модели в виде сумм и интегралов свертки. Если динамическая система функционирует в дискретные моменты времени, то ее модель может быть описана в виде суммы свертки. Математические модели, выражаемые суммой свертки или интеграла свертки, задаются следующим образом. Для однооткликовой стационарной динамической системы, на вход которой действует управляющая функция х(t), а наблюдения над входом и выходом производятся только в дискретные моменты времени с интервалом квантования Dt, математическая модель может быть выражена с помощью суммы свертки:
Зададим масштаб t=1, получим
(2.17)
Модель (2.17) является моделью импульсной системы, h(i) есть импульсная характеристика системы, представляющая собой отклик системы в данный момент времени на входное воздействие, приложенное на i интервалов раньше и имевшее характер единичного мгновенного импульса в виде функции Дирака. Импульсная характеристика играет здесь роль весовой функции.
Если линейная динамическая система нестационарная, то в выражения (2.17) нельзя применять импульсную характеристику системы вида h(k-i). Для этого случая математическая модель примет вид
где h(k,i) - реакция системы в момент k на единичный импульс в момент i.
В модели типа суммы свертки роль величин, подлежащих определению из экспериментальных данных, играют значения импульсной характеристики, т.к. данная модель является непараметрической, т.е. не содержит явно параметров в виде некоторых численных величин. Если в динамической системе измерения управляющей функции и отклика носят непрерывный характер, то модель линейной системы может быть записана в виде интеграла свертки:
- для линейной системы
;(2.18)
- для нестационарной системы
Модель представлена в виде функционала с аддитивной ошибкой v(t). Интеграл называется интегралом свертки, или интегралом Дюамеля. Для определения импульсной характеристики (весовой функции) используется (для стационарных систем) представление весовой функции в форме Релея-Ритца путем разложения функций в ряд по системе известных ортогональных функций
(2.19)
где Фi(t) - функции системы ортогональных функций при значенияхt, принадлежащихотрезку ортогональности [t1,t2]. Это позволяет сделать модель параметрической, которая содержит ограниченное число параметров Qi, подлежащих определению. Коэффициенты Qi называют еще спектром разложения в ряд базисных функций.
К системе базисных функций предъявляются следующие требования: для любой весовой функции ряд (2.19) должен сходиться; Фi(t) должна иметь простую аналитическую форму; Qi должны вычисляться аналитически просто.
Условие ортогональности базисных функций имеет вид
, (2.20)
где число сi называют нормой базисной функции Фi(t).
Каждую базисную функцию можно нормировать по ее норме, причем нормированная функция имеет вид
.
Система (2.20) примет вид
, (2.21)
где dij - символ Кронекера.
Для определения Qi умножим правую и левую части уравнения (2.19) на Фi(t) и проинтегрируем обе части на отрезке ортогональности
.
Приk=iправый интеграл равен единице, тогда
. (2.22)
Модели вида свертки могут использоваться и для описания многооткликовых линейных инерционных систем.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Технологический институт... Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Инерционные модели
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ОБЪЕКТОВ………………………………………..……. 46
3.1. Математические модели случайных процессов..… 46
3.2. Классификация моделей случайных процессов..… 53
3.3. Модели мар
МОДЕЛИ СИСТЕМ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ……..…………... 147
7.1. Общие сведения…..………………………………..... 147
7.2. Модель входного потока заявок
и времени обслуживания…..…………………….……
УНИФИЦИРОВАННЫЙ
ЯЗЫК МОДЕЛИРОВАНИЯ UML…………..………. 229
9.1. Основные компоненты…………..…………………. 229
9.2. Понятия и компоненты…………..…………………. 231
9.3. Диаграммы вариантов испо
Понятие модели
1.1.1. Системный подход к моделированию. При проектировании автоматизированных систем управления, разработке прикладных программных продуктов важно правильно постав
Концепции определения моделей
Под динамической системой понимается объект, находящийся в каждый момент времени tÎT в одном из возможных состояний
Модели на основе передаточных функций
Рассмотрим однооткликовую импульсную систему с дискретными сигналами на ее входе и выходе, модель которой может быть выражена с помощью импульсной характеристики (весовой функции) в виде уравнения
Конечные автоматы
Для моделирования динамических систем, функционирующих в дискретном времени, применяется аппарат конечных автоматов [7]. Теория конечных автоматов и их модели используются при синтезе и анализе выч
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ
3.1. Математические модели случайных процессов
При проведении научных исследований в производстве и в быту часто встречаются события, которые многократно появляются при одн
Понятие статистического моделирования
При определении методов статистического моделирования применяют название «метод Монте-Карло». Определение, которое характеризует этот метод достаточно точно и полно, не существует. Известно, что эт
Датчики случайных чисел
Для имитации случайных событий необходим некоторый эталон, т.е. то, с чем можно что-то сравнить. Известно, что наука существует там, где есть измерения. Отсутствие измерений приводит к схоластике,
Проверочные тесты
Программная реализация датчика псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел может быть получена любым программистом на основе разработанного им алгоритма с применением либо аналитических м
Имитация случайных событий
Пусть события S1, S2,..., Smобразуют полную группу несовместимых событий, каждое из которых может произойти с вероятностью Рi, причем
Имитация непрерывных случайных величин
Если событие Х принимает значения в некоторой области непрерывных величин, то для аналитического моделирования непрерывных событий применяют функцию распределения вероятностей
Имитация марковского процесса
4.6.1. Моделирование дискретной цепи Маркова. Рассмотрим дискретную цепь Маркова или марковский процесс с дискретным временем перехода из одного состояния в другое. Математическая
Выбор числа опытов
При разработке имитационных моделей для исследования случайных объектов существует задача выбора числа опытов (объема выборки). Это непростая задача, т.к. во-первых, необходимо обосновать достоверн
Формулы и алгоритмы для оценки результатов моделирования
При реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ вырабатывается информация о состоянии моделируемых систем, которая представляет собой исходный материал для определения приближенных ис
Аналитическое определение вероятностных автоматов
6.1.1. Формальное задание и классификация. Вероятностные автоматы (ВА) относятся к дискретно-стохастическому классу моделей. Данный тип моделей служит инструментом изучения динамич
Имитационное моделирование вероятностных автоматов
Для имитации процесса функционирования ВА необходимо задать:
- такты моделирования T, а также цикл по тактам моделирования от нуля до заданного числа такто
Модель Эрланга
При моделировании СМО исследуется изменение в системе за сколь угодно малый отрезок времени. Составляются уравнения в частных приращениях, от которых затем осуществляется переход к дифференциальным
Имитационное моделирование одноканальной СМО
Алгоритмизация может осуществляться с применением способа Dt-моделирования, который позволяет определить состояния СМО через интервал времени Dt.
Имитационные модели многофазных СМО
Пусть СМО имеет структуру, показанную на рис. 7.18, т.е. обслуживание состоит из двух фаз. Входной поток заявок задан функцией распределения вероятностей длин интервалов между заявками A(t)
Имитационные модели многоканальных СМО
7.8.1. Модели систем с общей очередью.Рассмотрим задачу построения имитационной модели трехканальной СМО с общей очередью. Понятие общей очереди предусматривает, чт
Моделиpующие алгоpитмы
Для моделиpования любого объекта, заданного пpи помощи математичеcкой модели, а также в виде последовательности процедур, имитирующих отдельные элементарные процессы, необxодимо поc
Основные компоненты
После многх попыток создания унифицированных языков для решения задач моделирования был разработан и опробован объектно-ориентированный подход. Первый язык Simula-67, основанный на
Понятия и компоненты
Сущности представляются парами «тип, экземпляр». Таких пар несколько: «класс, объект», «ассоциация, связь», «параметр, значение», «операция, вызов процедуры». Для изображения элемен
Array, Real, Vektor, Matrix.
Описание типа зависит от того, какой язык программирования используется разработчиками. Атрибуг изображается в виде текстовой строки, отражающей различные его свойства:
<признак
Масса машины
…
У каждой секции прямоугольника класса может быть имя. Так как секция «имя класса» обязательна, то ее имя не указывается, как показано на рис. 9.6.
Связи между объектами
Аналогично ключевому понятию модели классов - понятию ассоциации, - для объектов существует понятие связи (link). Связь есть экземпляр ассоциации, установленной для объектов данных
Диаграммы взаимодействия
Взаимодействия между объектами в системе представляются диаграммами взаимодействия (interaction diagrams). Диаграммы взаимодействия подразделяются на два основных типа диаграмм: диаграммы последова
Диаграммы состояний
Диаграммы состояний (state diagram) определяют состояния, в которых может находиться конкретный объект, а также процесс смены состояний объекта в результате влияния некоторых событи
Диаграммы деятельностей
Диаграммы деятельностей (aktivity diagrams) предназначены для того, чтобы отразить переходы в рамках выполнения определенной задачи, вызванные внутренними процессами. Используются для моделирования
Определение объекта
Объектно-ориентированный подход в последнее время стал прочно ассоциироваться с программированием. Объектно-ориентированный подход развивался почти исключительно программистами. Ито
Наследование
Наследование в ООМ понимается примерно так же, как и в ООП. Если объявляете класс с2 прямым потомком класса с1, то класс с2 наслед
Полиморфизм
Полиморфизмом в ООП называется возможность использования вместо объектов одного декларированного класса объекты другого класса, называемого замещающим, совместимого с первым. Аналог
Equation
Z= X/K;
endCMulGiv;
Новый класс CMulGiv наследует от своего суперкласса CGain вход, выход, параметр и одно уравнение, а также добавляет один выхо
Equation
Y = if X>Xmax then UpperLimit
else if X<Xmin then LowerLimit
else K*X;
Equation
connect(Gem.Y,Amp.X);
connect(Gem.Y,Y);
endCSineSource;
Далее нужно создать специальный класс CLimitedSineSource на основе СSineSource, переопределив пар
Типы данных и пакеты
Для моделирования непрерывных систем необходим минимальный набор типов данных: скалярный вещественный тип, типы «вектор» и «матрица», а также целые числа для вычисления индексов век
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. «Моделирование систем». – М.: Высш. школа, 1985 – 271 с.
2. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука,1978. – 400 с.
3. Финаев В.И. Мод
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
.(2.14)
; 
и т.д. Тогда дифференциальное уравнение (2.14) запишем в следующем виде:
.
,(2.15)
(2.16)
(2.17)
;(2.18)
(2.19)
, (2.20)
.
, (2.21)
.
. (2.22)
Новости и инфо для студентов