рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Образование
- /
- Исследование модели пуассоновского процесса с помощью производящих функций
Реферат Курсовая Конспект
Исследование модели пуассоновского процесса с помощью производящих функций
Исследование модели пуассоновского процесса с помощью производящих функций - раздел Образование, АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ Будем Считать, Что На Вход Смо Поступает Пуассоновский Поток Заявок С Интенси...
Будем считать, что на вход СМО поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью l и вероятностью Рn(t) того, что за время t в СМО поступит n заявок. Делаем предположение, что при сколь угодно малом отрезке Dt вероятность поступления заявки определится через lDt. Вероятность непоступления заявки определится как 1-lDt. Поток является ординарным.
Можно записать уравнение в частных приращениях. Вероятность того, что к моменту времени t+Dt в системе не будет заявок, определится через вероятность того, что в системе в момент времени t не было заявок, и за отрезок времени Dt заявки в систему не поступили:
Р0(t+Dt)=Р0(t)(1-lDt). (7.5)
Вероятность того, что к моменту времени 1+Dt в СМО будет n заявок, определится как вероятность того, что в момент t в СМО было n заявок, и за время Dt заявка не поступила, или к моменту времени t в СМО были n-1 заявок, и за время Dt поступила еще одна заявка:
Рn(t+Dt)=Рn(t)(1-lDt)+ Рn-1(t) lDt. (7.6)
После проведения преобразований уравнений (7.5) и (5.6), аналогичных преобразованиям уравнений (7.1), (7.2), получим дифференциальные уравнения:
. (7.7)
Рассмотрим решение уравнений (7.7) с применением производящих функций.
Производящая функция Р(z,t) для функции Рn(t) определится
Вероятность Рn(t) получим из производящей функции после того, как продифференцируем ее n раз и положим z=0. При решении уравнения в частных приращениях начало отсчета времени выбирается произвольно даже после того, как в систему поступило i заявок. Будем считать, что при t=0 в СМО есть i заявок. В этом случае Рn(0)=0, если n¹iи Рn(0)=1, если n=i. Таким образом,
Если умножим дифференциально-разностное уравнение (7.5) на zn, а дифференциально-разностное уравнение (7.6) на z0 и просуммируем по всем значениям n, так что
то получим, что сумма в левой части равна
а сумма первых членов правой части равна lР(z,t). Просуммировав вторые члены правой части по n, получим
.
Если в правой части выделить множитель lz, то всю сумму можно записать в виде lzР(z,t). Таким образом, система приводится к линейному дифференциальному уравнению для производящей функции, которое имеет вид
.
Решение этого уравнения при постоянном значении z (поскольку оно не зависит от t) имеет вид
Р(z,t)=Сel(z-1)t.
Допустим, что к моменту t=0 не поступило ни одного требования, тогда Р(z,0)=1, так как i=0. Таким образом, С=1 и
Р(z,t)=el(z-1)t.
Как говорилось выше, Рn(t) определится
.
Таким образом,
что является искомой математической моделью пуассоновского потока.
7.5. Модель для определения времени задержки в виде интегро-дифференциальных уравнений Линди-Такача-Севастьянова
Модель описывает функцию распределения времени задержки в СМО [10]. Пусть Р(w,t)- вероятность того, что заявка ожидает в очереди в течение времени w(t)£w при условии, что она поступила во время t,так что Р(w,t)=Р{w(t)£w/t}. Будем рассматривать Nà¥идентичных, одновременно действующих одноканальных СМО, на вход каждой из которых поступает пуассоновский поток заявок, а время обслуживания определяется функцией распределения В(t)=Р{b<t}, где b время обслуживания заявки.
В момент времени t все число N СМО разобъем на две группы:
- СМО, у которых время задержки w(t)£w;
- СМО, у которых время задержки w(t)>w.
Число систем первой группы равно NР(w,t), а число систем второй группы равно N-NР(w,t).
Рассмотрим изменения, которые могут произойти в момент времениt+Dt. Задача будет состоять в том, чтобы определить вероятность Р(w,t+Dt)через вероятности Р(w,t) и Р(w+ Dt,t). Для момента времени t+Dt число систем первой группы становится равным NР(w+Dt,t) минус число тех систем NС, у которых в момент времени t было время ожидания w(t)£w, но вследствие поступления заявки за время Dt, w(t) превысит уровень w. Можно записать:
NР(w,t+Dt)=NР(w+Dt,t) - NС.(7.8)
Поставим задачу определения числа систем NС.
Вначале определим число систем, у которых в момент времени t w(t) находится внутри интервала (х,х+dх). Так как Р(х,t) - функция распределения вероятностей, то после дифференцирования при х>0 получим ее плотность распределения. Тогда число систем определится
еслих>0,илиNР(0,t),еслих = 0.
Предполагается, что в интервале (t,t+Dt) время ожидания превзойдет величину w, если за время Dt поступит одна заявка и если время обслуживания y этой заявки, сложенной с величиной х, превзойдет величину w, т.е. (х+y>wày>w-х). Поэтому нужно умножить число систем, у которых время ожидания равно х, на вероятность поступления одного требования за время Dt, т.е. наlDt, и на вероятность того, что время обслуживания этой заявки превзойдет величину w-х. Если b(y) - плотность распределения времени обслуживания, то вероятность последнего события равна
.
Для фиксированного значения времени ожидания w>0 число систем, которые перейдут из первой группы во вторую, определится выражением
,
которое должно быть просуммировано по всем х, х<0£w . Причем 
. Если х=0, то число систем, переходящих во вторую группу, определится
.
Следовательно, уравнение (7.8) будет иметь вид
. (7.9)
Применим разложение функции Р(w+Dt,t) в ряд Тейлора
,
разделим обе части уравнения (7.9) на N, вычтем из обеих частей Р(w,t), разделим на Dt и, перейдя к предельным выражениям, получим
.
Решение данного интегродифференциального уравнения должно удовлетворять условиям: Р(w,0)=1 для всех w; Р(¥,t)=1 для всех t. Интегрируем по частям:
.
Если B(t)=1-BС(t), то
(7.10)
Уравнение (7.10) носит название уравнения Линди-Такача-Севастьянова, и оно является моделью для описания времени ожидания в СМО. Для стационарного режима уравнение (7.10) примет вид
. (7.11)
Математическая модель может быть представлена в виде характеристической функции, если применить к уравнениям (7.9) и (7.11) преобразование Лапласа-Стилтьеса, которое имеет вид
.
Характеристическая функция распределения Р(w,t) из решения уравнения (5.9) определится
,
где b(s) ‑характеристическая функция распределения B(t).
Характеристическая функция распределения Р(w) из решения уравнения (7.11) определится как
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Технологический институт... Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Исследование модели пуассоновского процесса с помощью производящих функций
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.024 сек.
Новости и инфо для студентов