Модель Эрланга - раздел Образование, АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ При Моделировании Смо Исследуется Изменение В Системе За Сколь Угодно Малый О...
При моделировании СМО исследуется изменение в системе за сколь угодно малый отрезок времени. Составляются уравнения в частных приращениях, от которых затем осуществляется переход к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим вывод дифференциальных уравнений, известных как модель Эрланга. Будем рассматривать одноканальную СМО с бесконечной очередью, с ожиданием, пуассоновсим потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания. Поток ординарный, простейший, функция распределения интервалов между заявками является экспоненциальной. Модель смены состояний можно представить в виде графа, приведенного на рис. 7.1.
Рис. 7.1
Составим уравнения Эрланга в частных приращениях, которые будут отображать те изменения, которые произошли в системе за сколь угодно малое время Dt.
Из графа состояний (см. рис. 7.1) следует, что в числе состояний СМО существует «особое» состояние – состояние, при котором в СМО нет заявок. Определим это состояние, начальное состояние, когда число заявок в СМО n=0. Остальные состояния идентичны по своим связям с другими состояниями и определены числом заявок в СМО n³1. Вероятность Р0(t+Dt) того, что СМО к моменту t+Dt останется в нулевом состоянии, определится из анализа полной группы событий:
- в момент времени t система была в нулевом состоянии и за время Dt заявки не поступали;
- в момент времени t система была в единичном состоянии (в СМО была одна заявка) и за времяDt обслуживание заявки окончилось.
Вероятность Р0(t+Dt) определится
Р0(t+Dt)=Р0(t)(1-lDt)+Р1(t)mDt,(7.1)
где 1-lDt -вероятность непоступления заявки в СМО за время Dt, mDt -вероятность окончания обслуживания заявки за время Dt.
Вероятность Рn(t+Dt) того, что к моменту времени t+Dt система будет в n-м состоянии, определится из рассмотрения следующей полной группы событий:
- в момент времени t в системе было n-1 заявок и за время Dt поступила заявка;
- в момент времени t система была в n-м состоянии и за время Dt заявки в СМО не поступили и обслуживание не окончено;
- в момент времени t в системе была n+1 заявка и за время Dt обслуживание заявки было окончено.
где Dt -вероятность поступления заявки за время Dt; 1–(l+m)Dt -вероятность непоступления заявки в СМО и неокончания обслуживания заявки за время Dt.
Уравнения (7.1) и (7.2) представляют собой модель рассматриваемой СМО в виде уравнений Эрланга в частных приращениях. От уравнений в частных приращениях перейдем к дифференциальным уравнениям.
Для этого Рn(t) из правой части перенесем в левую, разделим каждую часть на Dt и определим предел при Dt®0. Получим уравнения:
(7.3)
Уравнения (7.3) представляют собой модель исследуемой СМО в виде дифференциальных уравнений Эрланга для нестационарного случая.
Так как поток заявок, поступающих в систему, отвечает условиям стационарности, то значение производных можем приравнять к нулю.
Получим модель СМО в виде уравнений Эрланга для стационарного режима
Р1=rР0, n=0, (1+r)Рn=Рn+1+rРn-1, n³1,(7.4)
где l/m=r -коэффициент использования системы.
Решение системы уравнений (7.4) будет иметь следующий вид:
Рn=rnР0, Р0 =(1-r), Рn = rn (1-r),
где Рn - вероятность того, что в СМО будет n заявок.
Затем могут быть определены такие характеристики СМО, как математическое ожидание числа заявок в СМО, математическое ожидание числа заявок в очереди и другие.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Технологический институт... Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Модель Эрланга
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ОБЪЕКТОВ………………………………………..……. 46
3.1. Математические модели случайных процессов..… 46
3.2. Классификация моделей случайных процессов..… 53
3.3. Модели мар
МОДЕЛИ СИСТЕМ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ……..…………... 147
7.1. Общие сведения…..………………………………..... 147
7.2. Модель входного потока заявок
и времени обслуживания…..…………………….……
УНИФИЦИРОВАННЫЙ
ЯЗЫК МОДЕЛИРОВАНИЯ UML…………..………. 229
9.1. Основные компоненты…………..…………………. 229
9.2. Понятия и компоненты…………..…………………. 231
9.3. Диаграммы вариантов испо
Понятие модели
1.1.1. Системный подход к моделированию. При проектировании автоматизированных систем управления, разработке прикладных программных продуктов важно правильно постав
Концепции определения моделей
Под динамической системой понимается объект, находящийся в каждый момент времени tÎT в одном из возможных состояний
Инерционные модели
Динамические системы с последействием (с предысторией) могут быть формализованы с применением дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
2.3.1. Дифференциальные уравнен
Модели на основе передаточных функций
Рассмотрим однооткликовую импульсную систему с дискретными сигналами на ее входе и выходе, модель которой может быть выражена с помощью импульсной характеристики (весовой функции) в виде уравнения
Конечные автоматы
Для моделирования динамических систем, функционирующих в дискретном времени, применяется аппарат конечных автоматов [7]. Теория конечных автоматов и их модели используются при синтезе и анализе выч
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ
3.1. Математические модели случайных процессов
При проведении научных исследований в производстве и в быту часто встречаются события, которые многократно появляются при одн
Понятие статистического моделирования
При определении методов статистического моделирования применяют название «метод Монте-Карло». Определение, которое характеризует этот метод достаточно точно и полно, не существует. Известно, что эт
Датчики случайных чисел
Для имитации случайных событий необходим некоторый эталон, т.е. то, с чем можно что-то сравнить. Известно, что наука существует там, где есть измерения. Отсутствие измерений приводит к схоластике,
Проверочные тесты
Программная реализация датчика псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел может быть получена любым программистом на основе разработанного им алгоритма с применением либо аналитических м
Имитация случайных событий
Пусть события S1, S2,..., Smобразуют полную группу несовместимых событий, каждое из которых может произойти с вероятностью Рi, причем
Имитация непрерывных случайных величин
Если событие Х принимает значения в некоторой области непрерывных величин, то для аналитического моделирования непрерывных событий применяют функцию распределения вероятностей
Имитация марковского процесса
4.6.1. Моделирование дискретной цепи Маркова. Рассмотрим дискретную цепь Маркова или марковский процесс с дискретным временем перехода из одного состояния в другое. Математическая
Выбор числа опытов
При разработке имитационных моделей для исследования случайных объектов существует задача выбора числа опытов (объема выборки). Это непростая задача, т.к. во-первых, необходимо обосновать достоверн
Формулы и алгоритмы для оценки результатов моделирования
При реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ вырабатывается информация о состоянии моделируемых систем, которая представляет собой исходный материал для определения приближенных ис
Аналитическое определение вероятностных автоматов
6.1.1. Формальное задание и классификация. Вероятностные автоматы (ВА) относятся к дискретно-стохастическому классу моделей. Данный тип моделей служит инструментом изучения динамич
Имитационное моделирование вероятностных автоматов
Для имитации процесса функционирования ВА необходимо задать:
- такты моделирования T, а также цикл по тактам моделирования от нуля до заданного числа такто
Имитационное моделирование одноканальной СМО
Алгоритмизация может осуществляться с применением способа Dt-моделирования, который позволяет определить состояния СМО через интервал времени Dt.
Имитационные модели многофазных СМО
Пусть СМО имеет структуру, показанную на рис. 7.18, т.е. обслуживание состоит из двух фаз. Входной поток заявок задан функцией распределения вероятностей длин интервалов между заявками A(t)
Имитационные модели многоканальных СМО
7.8.1. Модели систем с общей очередью.Рассмотрим задачу построения имитационной модели трехканальной СМО с общей очередью. Понятие общей очереди предусматривает, чт
Моделиpующие алгоpитмы
Для моделиpования любого объекта, заданного пpи помощи математичеcкой модели, а также в виде последовательности процедур, имитирующих отдельные элементарные процессы, необxодимо поc
Основные компоненты
После многх попыток создания унифицированных языков для решения задач моделирования был разработан и опробован объектно-ориентированный подход. Первый язык Simula-67, основанный на
Понятия и компоненты
Сущности представляются парами «тип, экземпляр». Таких пар несколько: «класс, объект», «ассоциация, связь», «параметр, значение», «операция, вызов процедуры». Для изображения элемен
Array, Real, Vektor, Matrix.
Описание типа зависит от того, какой язык программирования используется разработчиками. Атрибуг изображается в виде текстовой строки, отражающей различные его свойства:
<признак
Масса машины
…
У каждой секции прямоугольника класса может быть имя. Так как секция «имя класса» обязательна, то ее имя не указывается, как показано на рис. 9.6.
Связи между объектами
Аналогично ключевому понятию модели классов - понятию ассоциации, - для объектов существует понятие связи (link). Связь есть экземпляр ассоциации, установленной для объектов данных
Диаграммы взаимодействия
Взаимодействия между объектами в системе представляются диаграммами взаимодействия (interaction diagrams). Диаграммы взаимодействия подразделяются на два основных типа диаграмм: диаграммы последова
Диаграммы состояний
Диаграммы состояний (state diagram) определяют состояния, в которых может находиться конкретный объект, а также процесс смены состояний объекта в результате влияния некоторых событи
Диаграммы деятельностей
Диаграммы деятельностей (aktivity diagrams) предназначены для того, чтобы отразить переходы в рамках выполнения определенной задачи, вызванные внутренними процессами. Используются для моделирования
Определение объекта
Объектно-ориентированный подход в последнее время стал прочно ассоциироваться с программированием. Объектно-ориентированный подход развивался почти исключительно программистами. Ито
Наследование
Наследование в ООМ понимается примерно так же, как и в ООП. Если объявляете класс с2 прямым потомком класса с1, то класс с2 наслед
Полиморфизм
Полиморфизмом в ООП называется возможность использования вместо объектов одного декларированного класса объекты другого класса, называемого замещающим, совместимого с первым. Аналог
Equation
Z= X/K;
endCMulGiv;
Новый класс CMulGiv наследует от своего суперкласса CGain вход, выход, параметр и одно уравнение, а также добавляет один выхо
Equation
Y = if X>Xmax then UpperLimit
else if X<Xmin then LowerLimit
else K*X;
Equation
connect(Gem.Y,Amp.X);
connect(Gem.Y,Y);
endCSineSource;
Далее нужно создать специальный класс CLimitedSineSource на основе СSineSource, переопределив пар
Типы данных и пакеты
Для моделирования непрерывных систем необходим минимальный набор типов данных: скалярный вещественный тип, типы «вектор» и «матрица», а также целые числа для вычисления индексов век
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. «Моделирование систем». – М.: Высш. школа, 1985 – 271 с.
2. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука,1978. – 400 с.
3. Финаев В.И. Мод
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
(7.3)
Новости и инфо для студентов