Основные правила дифференцирования элементарных функций.

.

Если предположить существование -ой производной в окрестности точки то для любой точки из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где , .

Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае обычно называется формулой Маклорена.

Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.

Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где -минимальный из номеров для которых .

При вычислении пределов функций используют формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух дифференцируемых или бесконечно малых или бесконечно больших функций при (- число или символ ) равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле: . Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределённостей видов и .

На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила.

Раскрытие неопределённостей видов , , , , путём преобразований:

, ,

приводится к раскрытию неопределенностей видов и .

Тема 3. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.

3.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство ().

Если функция дифференцируема на интервале и () при всех , то функция возрастает (убывает) на .

Точка , принадлежащая области определения функции , называется критической точкой функции, если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство (), а число - минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции , то или не существует.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на «», то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с «» на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то не является точкой экстремума.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция дважды дифференцируема в точке , в которой , . Тогда: 1) если , то - точка максимума; 2) если , то - точка минимума.

3.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.

3. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если её график лежит под касательной (над касательной), проведённой к графику данной функции, в любой точке интервала .

Иногда выпуклость называют выпуклостью вверх, а вогнутость – выпуклостью вниз.

Если функция дважды дифференцируема на интервале и () при всех , то функция является вогнутой (выпуклой) на .

Точка , принадлежащая области определения функции , называется точкой перегиба функции, если при переходе через неё меняется направление выпуклости функции. Точка при этом называется точкой перегиба графика функции.

Точка называется точкой возможного перегиба функции , если в этой точке или не существует. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то или не существует.

Достаточное условие перегиба. Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку меняет знак, то - точка перегиба.

Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки до прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности.

Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции . Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (при ), если (соответственно, ). Частным случаем наклонной асимптоты (при ) является горизонтальная асимптота.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы:и (соответственно, и ).

3.4 Построение графиков функций.

Для построения графика функции нужно: 1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.