Реферат Курсовая Конспект
Неявные функции. - раздел Образование, Образец решения контрольных задач типового варианта. 1.1 – 30.Вычислить определитель Если Уравнение , Гд...
|
Если уравнение , где - дифференцируемая функция по переменным , определяет как функцию независимых переменных , то частные производные этой неявной функции вычисляются по формулам: ,,…,при условии, что .
В частности, для функции , заданной неявно уравнением справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением
справедливы формулы:,, при условии.
Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.
Уравнение касательной плоскости к поверхности , заданной неявным уравнением , в точкеимеет вид , а уравнение нормали –вид .
Тема 6. Экстремумы функций нескольких переменных.
Точка , принадлежащая области определения функции , называется стационарной точкой функции, если в этой точке каждая из её частных производных равна нулю, т.е. ,…,или .
Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство ().
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то - стационарная точка функции.
Достаточное условие экстремума. Пусть- стационарная точка дважды дифференцируемой в точке функции . Тогда, если при всевозможных наборах значений , не равных одновременно нулю:
1) , то в точке функция имеет максимум; 2) , то в точке функция имеет минимум; 3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке функция не имеет экстремума.
Исследование знака сводится к исследованию знакоопределённости второго дифференциала, как квадратичной формы относительно переменных(например, с помощью критерия Сильвестра).
В частности, функция в стационарной точке , при условии , где ,, : 1) имеет максимум, если и ; 2) имеет минимум, если и ; 3) не имеет экстремума, если .
Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи () выполняется неравенство (). Точки условного минимума и максимума функции называются точками условного экстремума, а значения функции в этих точках – условными экстремумами функции.
Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа , где () –постоянные множители Лагранжа.
Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции при наличии уравнений связи () , то в точке выполняются условия
.
Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа в точке при значениях , рассматриваемого как квадратичная форма относительно переменных при условии, что они связаны соотношениями: ().
В частности, для функции исследуется знак при условии.
Достаточное условие условного экстремума. Пусть- точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю: 1) , то в точке функция имеет условный максимум; 2) , то в точке функция имеет условный минимум; 3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке функция не имеет условного экстремума.
Если функция дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Образец решения контрольных задач типового варианта... Вычислить определитель... а непосредственным разложением по строке...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Неявные функции.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов