Решение.

1)Находим область определения функции .

2)Составляем функцию Лагранжа: .

3) Записываем необходимое условие условного экстремума ,

где: ,

. Получим . Решая систему, находим две точки возможного условного экстремума функции вобласти и соответствующие им значения множителя Лагранжа : при и при .

4)Находим выражение второго дифференциала функции Лагранжа

.

Вычисляем при условии , учитывая, что:

;

.

Получим:

;

.

 

5)Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как для всех : , то в точке - условный локальный минимум;

, то в точке - условный локальный максимум.

6)Находим условные минимум и максимум функции при условии :

,

Ответ: ,при условии .

10.1–30. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

в области D:

Функция , дифференцируемая в ограниченной замкнутой области , достигает своего наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках , или в точках границы области . Для их нахождения необходимо: 1) Найти все стационарные точки функции и вычислить в них значения функции . 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе , задаваемой одним аналитическим выражением в явном виде или . Если , где задаются одним аналитическим выражением в явном виде, то находят наибольшие и наименьшие значения и функции на каждом из участков границы. 3) Сравнить значения функции , , и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения функции в области .

Решение.Изображаемобласть (она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми ,,), находим стационарные точки функции , решаясистему уравнений

, и вычисляем в них значения функции .

Учитывая, что: , , получим . Отсюда , и, следовательно, единственной стационарной точкой функции в области является точка .

Вычислив значение функции в этой точке, получим .

2) Границу области представляем в виде , где :,; :,; :,и находим наибольшие и наименьшие значения функции на каждом из участков границы: ,, ,, , .

На участке :,: . Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке . Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции: и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Вычисляем значения функции во внутренних критических точках (таких точек нет) и на концах отрезка : , . Сравнивая значения , находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : , .

На участке:,: . Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке . Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции: и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , . Сравнивая значения , , находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : , .

На участке :,: . Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке . Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции: и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , . Сравнивая значения ,,находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : ,

3)Сравнивая значения функции , , , , , , , делаем вывод, что , .

Ответ:, .

11.1 – 30. Найти: а) координаты градиента функциив точке ; б) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнениемв точке .