НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Нормальный закон распределения играет важнейшую роль в применении численных методов в психологии. Он лежит в основе измерений, разработки тестовых шкал, методов проверки гипотез.

История применения закона нормального распределения в социальных и биоло­гических науках начинается, по-видимому, с работы бельгийского ученого А. Кетле «Опыт социальной физики» (1835 г.). В ней он доказывал, что такие явления, как про­должительность жизни, возраст вступления в брак и появления первого ребенка и т. д., подчиняются строгой закономерности. Она проявляется в том, что чаще всего встре­чаются средние значения соответствующих показателей, и чем больше отклонение от этой средней величины, тем реже встречаемость таких отклонений. Одинаковые от­клонения от среднего в меньшую и в большую сторону встречаются одинаково реже, чем среднее значение. Эту закономерность он назвал «законом уклонения от средней величины». В его исследованиях, и позднее — в исследованиях англичанина Ф. Галь-тона, было доказано, что распределение частот встречаемости любого демографиче­ского (продолжительность жизни и пр.) или антропометрического (рост, вес и пр.) показателя, измеренного на большой выборке людей, имеет одну и ту же «колоколо-

Частота

152 165 178 191 РОСТ, CM

Рис. 5.1. Полигон частот для роста 8585 взрослых людей, родившихся в Англии в XIX в.¹

' Гласе Дж., Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М., 1976. С. 98.

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

 

образную» форму (см. рис. 5.1). Форма таких распределений может быть описана ма­тематической формулой, которую предложил еще в XVIII веке математик де Муавр.

Де Муавр решал следующую задачу. Предположим, монета в азартной игре подбра­сывается 10 раз, и каждый раз она может с равным успехом выпасть «орлом» или «реш­кой». Какова вероятность того, что в результате этой игры выпадет 0 «орлов», или 1 «орел», ..., 10 «орлов»? Сложные вычисления дают математически точное решение такой задачи (рис. 5.2). А если игра состоит из 100 подбрасываний монеты, или 1000? Де Муавру удалось доказать, что уравнение кривой, соединяющей вершины отрезков на рис. 5.2, для данного случая или для любой другой подобной задачи имеет следую­щую формулу:

(5.1)

где/(х,) — высота подъема кривой, е — основание натурального логарифма (пример­но 2,718), л — число «пи» (примерно 3,14), Ми а — среднее и стандартное отклонения для переменной х„ которые определяют положение кривой на числовой оси и задают ее размах. Эта формула и соответствующая ей кривая (см. рис. 5.2) впоследствии по­лучили название закона нормального распределения.

Итак, исход азартной игры, и продолжительность жизни, и рост человека — все это случайные события, частота (или вероятность) встречаемости которых подчинена закону нормального распределения. А. Кетле объяснял это существованием «идеала» человеческой природы, которому соответствуют средние значения различных пока-

1 2 3 4 5 6:

Число «орлов»

Рис. 5.2. График распределения вероятностей выпадения «орлов» в игре с 10 подбрасываниями монеты и кривая нормального распределения

ГЛАВА 5. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

зателей. Ф. Гальтон, двоюродный брат Ч.Дарвина, проявление нормального закона рассматривал в связи с биологической изменчивостью, наследственностью и отбором. В дальнейшем трудами Ф. Гальтона и его последователей было доказано, что и психо­логические особенности, например способности, подчиняются нормальному закону. Поэтому дальнейшее развитие измерительного подхода в психологии и статистичес­кого аппарата проверки гипотез происходило на базе этого общего закона.

Подведем важный итог этого краткого исторического экскурса. Начиная со второй половины XIX столетия измерительные и вычислительные методы в психологии разрабатываются на основе следующего принципа. Если инди­видуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия мно­жества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения. Это и есть закон нормального распределения.

Закон нормального распределения имеет целый ряд очень важных след­ствий, к которым мы не раз еще будем обращаться. Сейчас же отметим, что если при изучении некоторого свойства мы произвели его измерение на вы­борке испытуемых и получили отличающееся от нормального распределение, то это значит, что либо выборка нерепрезентативна генеральной совокупно­сти, либо измерения произведены не в шкале равных интервалов.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАК СТАНДАРТ

Каждому психологическому (или шире — биологическому) свойству соот­ветствует свое распределение в генеральной совокупности. Чаще всего оно является нормальным и характеризуется своими параметрами: средним (М) и стандартным отклонением (о). Только эти два значения отличают друг от дру­га бесконечное множество нормальных кривых, одинаковой формы, задан­ной уравнением (5.1). Среднее задает положение кривой на числовой оси и выступает как некоторая исходная, нормативная величина измерения. Стандар­тное отклонение задает ширину этой кривой, зависит от единиц измерения и выступает как масштаб измерения (рис. 5.3).

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Все многообразие нормальных распределений может быть сведено к од­ной кривой, если применить ^-преобразование (по формуле 4.8) ко всем воз­можным измерениям свойств. Тогда каждое свойство будет иметь среднее 0 и стандартное отклонение 1. На рис. 5.4 построен график нормального распре­деления для М= 0 и а = 1. Это и есть единичное нормальное распределение, кото­рое используется как стандарт — эталон. Рассмотрим его важные свойства.

Последнее свойство объясняет название единичное нормальное распреде­ление и имеет исключительно важное значение. Благодаря этому свойству площадь под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно, вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчиво­сти (от -оо до +оо). Площадь под единичной нормальной кривой слева или справа от нулевой точки равна 0,5. Это соответствует тому, что половина ге­неральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина — меньше 0. Относительная частота встречаемости в генеральной совокупнос­ти значений признака в диапазоне от Z до Zi равна площади под кривой, ле­жащей между соответствующими точками. Отметим еще раз, что любое нор­мальное распределение может быть сведено к единичному нормальному распределению путем z-преобразования.

13,59% 2,14% 0,13%

 

 

95,44%

99,72%

Рис. 5.4. Стандартное нормальное распределение

ГЛАВА 5. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Таким образом:

□ если х, имеет нормальное распределение со средним М и стандартным отклонением о, то z = (х— М_х)/а характеризуется единичным нормаль­ным распределением со средним 0 и стандартным отклонением 1;

П площадь между х, и х₂ в нормальном распределении со средним М_х и стандартным отклонением о равна площади между Z = (x_l — М_х)/а и Z2 = (x₂ — М_х)/а в единичном нормальном распределении.

Итак, наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одни­ми и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стан­дартного отклонения.

Полезно помнить, что для любого нормального распределения существу­ют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:

М±а соответствует«68% (точно — 68,26%) площади;

М±2осоответствует =95% (точно — 95,44%) площади;

М±3а соответствует =100%(точно — 99,72%) площади.

Единичное нормальное распределение устанавливает четкую взаимосвязь стандартного отклонения и относительного количества случаев в генераль­ной совокупности для любого нормального распределения. Например, зная свойства единичного нормального распределения, мы можем ответить на сле­дующие вопросы. Какая доля генеральной совокупности имеет выраженность свойства от — о до +1о? Или какова вероятность того, что случайно выбран­ный представитель генеральной совокупности будет иметь выраженность свойства, на За превышающую среднее значение? В первом случае ответом будет 68,26% всей генеральной совокупности, так как от — 1 до +1 содержится 0,6826 площади единичного нормального распределения. Во втором случае ответ: (100-99,72)/2 = 0,14%.

Полезно знать, что если распределение является нормальным, то:

90%всех случаев располагается в диапазоне значений М+ 1,64а;

95%всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1,96с;