Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных. Учебное пособие

ББК 88.36 Н31

Рецензенты: В.М. А/иахвердов, доктор психологических наук, профессор кафедры

общей психологии СПбГУ;

В. М. Буре, кандидат физико-математических наук, доцент факультета приклаnдной математики — процессов управления СПбГУ

Рекомендовано

Ученым советом факультета психологии СПбГУ в качестве учебного пособия

Наследов А. Д.

Н31 Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных. Учебное пособие. — СПб.: Речь, 2004. — 392 с.

ISBN 5-9268-0275-7

В данной книге многообразие математико-статистических методов представле­но is виде упорядоченной, логически и иерархически взаимосвязанной системы с ориентацией на читателя, не имеющего основательной математической подготов­ки. Описаны основы применения этих методов, алгоритмы их выбора в зависимос­ти от исследовательской ситуации — от исходных данных и задач исследования. При изложении методов основное внимание уделяется границам их применения, воз­можным альтернативам, особенностям интерпретации результатов. Применение каждого метода сопровождается простыми примерами и пошаговыми алгоритмами вычислений — как «вручную», так и на компьютере.

Книга адресована студентам психологических и педагогических специальнос­тей, но может быть полезна и широкому кругу исследователей как справочник и руководство по обработке данных.

ББК 88.36

ISBN 5-9268-0275-7

© А. Д. Наследов, 2004

© М. Г. Филиппова, рисунки., 2004

© Издательство «Речь», 2004

© П. В. Борозсиец, обложка, 2004

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Часть I

ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Глава 2. Измерения и шкалы.................................................................. ...23 Глава 3. Таблицы и… Глава 4. Первичные описательные статистики......................................... 40

Часть II

МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Глава 8. Выбор метода статистического вывода.................................... 111 Глава 9. Анализ номинативных… Глава 10. Корреляционный анализ........................................................... 147

Часть III МНОГОМЕРНЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Глава 15. Множественный регрессионный анализ.................................. 240 Глава 16. Факторный… Глава 17. Дискриминантный анализ......................................................... 282

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.............................

ПСИХОЛОГИЯ И МАТЕМАТИКА

Часть I

ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Глава 1. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА..................... 1<

Глава 2. ИЗМЕРЕНИЯ И ШКАЛЫ............................................................ Г:

Что такое измерение.............................................................................. 2:

Измерительные шкалы.......................................................................... 24

Как определить, в какой шкале измерено явление .............................. 27

Задачи и упражнения............................................................................. 2S

Глава 3. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ............................................................. ЗС

Таблица исходных данных.................................................................... 30

Таблицы и графики распределения частот........................................... 31

Применение таблиц и графиков распределения частот....................... 35

Таблицы сопряженности номинативных признаков............................. 36

Задачи и упражнения............................................................................. 37

Обработка на компьютере..................................................................... 38

Глава 4. ПЕРВИЧНЫЕ ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ...................... 40

Меры центральной тенденции ............................................................. 40

Выбор меры центральной тенденции.................................................... 42

Квантили распределения....................................................................... 43

Меры изменчивости............................................................................... 44

Задачи и упражнения............................................................................. 47

Обработка на компьютере..................................................................... 48

Глава 5. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО

ПРИМЕНЕНИЕ.................................................................................... 49

Нормальное распределение как стандарт............................................. 51

ОГЛАВЛЕНИЕ

Разработка тестовых шкал..................................................................... 54

Проверка нормальности распределения............................................... 59

Задачи и упражнения............................................................................. 62

Обработка на компьютере..................................................................... 62

Глава 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ............................................ 64

Понятие корреляции.............................................................................. 65

Коэффициент корреляции г-Пирсона.................................................... 67

Корреляция, регрессия и коэффициент детерминации........................ 72

Частная корреляция............................................................................... 75

Ранговые корреляции............................................................................. 77

Коэффициент корреляции /•-Спирмена............................................ 77

Коэффициент корреляции /-Кендалла.............................................. 78

Проблема связанных (одинаковых) рангов...................................... 80

Корреляция бинарных данных.............................................................. 82

Величина корреляции и сила связи....................................................... 84

Какой коэффициент корреляции выбрать............................................. 88

Обработка на компьютере..................................................................... 90

Часть II

МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Глава 7. ВВЕДЕНИЕ В ПРОБЛЕМУ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА.. 93

Гипотезы научные и статистические.................................................... 93

Идея проверки статистической гипотезы............................................. 96

Уровень статистической значимости.................................................... 98

Статистический критерий и число степеней свободы......................... 99

Проверка гипотез с помощью статистических критериев ................ 100

Статистическое решение и вероятность ошибки............................... 103

Направленные и ненаправленные альтернативы................................ 106

Содержательная интерпретация статистического решения.............. 108

Глава 8. ВЫБОР МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА................ 111

Классификация методов статистического вывода............................. 112

Методы корреляционного анализа...................................................... 114

Методы анализа номинативных данных............................................. 114

Методы сравнения выборок по уровню выраженности признака...... 117

Глава 9. АНАЛИЗ НОМИНАТИВНЫХ ДАННЫХ................................. 123

Анализ классификации: сравнение эмпирического и теоретического

распределений................................................................................. 125

Две градации.................................................................................... 125

Обработка на компьютере: биномиальный критерий.................... 128

Более двух градаций ...................................................................... 129

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Обработка на компьютере: критерий согласия у}.......................... 131

Анализ таблиц сопряженности............................................................ 132

Число градаций больше двух......................................................... 133

Таблицы сопряженности 2x2........................................................... 135

Обработка на компьютере: таблицы сопряженности.................... 141

Анализ последовательности: критерий серий..................................... 142

Обработка на компьютере: анализ последовательности .............. 145

Глава 10. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ.............................................. 147

Корреляция метрических переменных................................................ 148

Частная корреляция.............................................................................. 150

Проверка гипотез о различии корреляций.......................................... 151

Сравнение корреляций для независимых выборок........................ 151

Сравнение корреляций для зависимых выборок............................ 152

Корреляция ранговых переменных..................................................... 153

Анализ корреляционных матриц......................................................... 156

Обработка на компьютере................................................................... 160

Глава 11. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ДВУХ

ВЫБОРОК............................................................................................. 162

Сравнение дисперсий........................................................................... 162

Критерий /-Стьюдента для одной выборки......................................... 164

Критерий /-Стьюдента для независимых выборок............................. 165

Критерий /-Стьюдента для зависимых выборок................................. 167

Обработка на компьютере................................................................... 169

Глава 12. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ

ВЫБОРОК............................................................................................. 172

Общие замечания ................................................................................ 172

Сравнение двух независимых выборок............................................... 173

Обработка на компьютере: критерий [/-Манна-Уитни.................. 175

Сравнение двух зависимых выборок................................................... 176

Обработка на компьютере: критерий Г-Вилкоксона..................... 178

Сравнение более двух независимых выборок..................................... 179

Обработка на компьютере: критерий //-Краскала-Уоллеса........... 181

Сравнение более двух зависимых выборок........................................ 182

Обработка на компьютере: критерий %²-Фридмана...................... 184

Глава 13. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ (ANOVA)............................... 185

Назначение и общие понятия ANOVA................................................ 185

Однофакторный ANOVA..................................................................... 189

Обработка на компьютере............................................................... 195

Множественные сравнения в ANOVA................................................. 197

Обработка на компьютере............................................................... 199

ОГЛАВЛЕНИЕ

Многофакторный ANOVA................................................................... 202

Обработка на компьютере............................................................... 212

AN OVA с повторными измерениями................................................. 214

Обработка на компьютере............................................................... 222

Многомерный ANOVA (MANOVA).................................................... 226

Обработка на компьютере............................................................... 228

Часть III МНОГОМЕРНЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Глава 14. НАЗНАЧЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ

МЕТОДОВ............................................................................................. 235

Глава 15. МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.............. 240

Назначение........................................................................................... 240

Математико-статистические идеи метода.......................................... 242

Исходные данные, процедура и результаты....................................... 245

Обработка на компьютере................................................................... 247

Глава 16. ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ........................................................... 251

Назначение............................................................................................ 251

Математико-статистические идеи и проблемы метода..................... 254

Анализ главных компонент и факторный анализ........................... 254

Проблема числа факторов.............................................................. 259

Проблема общности........................................................................ 260

Методы факторного анализа........................................................... 261

Проблема вращения и интерпретации............................................ 263

Проблема опенки значений факторов............................................ 267

Последовательность факторного анализа........................... ,.............. 268

Пример.................................................................................................. 273

Обработка на компьютере................................................................... 277

Глава 17. ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ.......................................... 282

Назначение........................................................................................... 282

Математико-статистические идеи метода.......................................... 284

Исходные данные и основные результаты......................................... 289

Обработка на компьютере................................................................... 29!

Глава 18. МНОГОМЕРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ..................................... 299

Назначение........................................................................................... 299

Меры различия..................................................................................... 306

Неметрическая модель........................................................................ 311

Обработка на компьютере............................................................... 314

Модель индивидуальных различий..................................................... 317

Обработка на компьютере............................................................... 321

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Модель субъективных предпочтений................................................. 324

Обработка на компьютере............................................................... 326

Глава 19. КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ......................................................... 329

Назначение........................................................................................... 329

Методы кластерного анализа.............................................................. 333

Обработка на компьютере: кластерный анализ объектов............. 336

Кластерный и факторный анализ........................................................ 338

Обработка на компьютере: кластерный анализ корреляций......... 340

Кластерный анализ результатов социометрии................................... 342

Обработка на компьютере: кластерный анализ различий............. 346

Кластерный анализ и многомерное шкалирование............................ 347

Приложения ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Приложение 1. Стандартные нормальные вероятности......................... 353

Приложение 2. Критические значения критерия /-Стыодента............... 355

Приложение 3. Критические значения критерия /-"-Фишера для проверки
направленных альтернатив.................................................................. 357

Приложение 4. Критические значения критерия у} ............................... 359

Приложение 5. Критические значения для числа серий......................... 361

Приложение 6. Критические значения коэффициентов корреляции

/•-Пирсона (г-Спирмена)...................................................................... 363

Приложение 7. Значения Z-преобразования Фишера для коэффициентов
корреляции .......................................................................................... 365

Приложение 8. Критические значения критерия /^-Фишера

для проверки ненаправленных альтернатив ...................................... 366

Приложение 9. Критические значения критерия (/-Манна-Уитни......... 368

Приложение 10. Критические значения критерия 7-Вилкоксона........... 370

Приложение 11. Критические значения критерия G знаков.................. 371

Приложение 12. Критические значения критерия //-Краскала-Уоллеса 372

Приложение 13. Критические значения критерия х²-Фридмана............ 375

Англо-русский терминологический Словарь.......................................... 377

Предметный указатель............................................................................. 382

Дополнительная литература..................................................................... 389

ПСИХОЛОГИЯ И МАТЕМАТИКА

Более 200 лет назад великий И. Кант со свойственной ему убедительностью обосновывал несостоятельность психологии как науки исходя из того, что пси­хические явления не поддаются измерению, а следовательно, к ним не приме­нимы математические методы. Его соотечественник И. Гербарт противопоста­вил позиции И. Канта свою точку зрения в книге с названием «Психология как наука, заново обоснованная на опыте, метафизике и математике» (1824-1825). В ней он выражает свое мнение о связи психологии и математики: «Всякая те­ория, которая желает быть согласованной с опытом, прежде всего должна быть продолжена до тех пор, пока не примет количественных определений, кото­рые являются в опыте или лежат в его основании. Не достигнув этого пункта, она висит в воздухе, подвергаясь всякому ветру сомнений и будучи неспособ­ной вступить в связь с другими уже окрепшими воззрениями»'. Идеи И. Гер-барта к концу XIX столетия воплощаются в жизнь отцами-основателями экспериментальной психологии. С тех пор возможность применения матема­тических методов в психологии перестает вызывать сомнения. Но вопрос о_не-^ обходимости их применения до сих пор вызывает дискуссии. Между тем про­блема может быть решена признанием того, что психология — это и наука и искусство. Действительно, искусству практического консультирования или те­рапии вряд ли необходимо математическое обеспечение. Другое дело область познания, в том числе — того, что лежит в основе различных практических при­емов. И здесь уже не достаточно обыденного понимания на уровне здравого смысла, необходим особый инструмент — научный метод, опирающийся на «количественные определения». Почему научное познание не довольствуется здравым смыслом, зачем необходимы математические методы?

Значение математических методов можно понять, сопоставляя обыденное и научное познание. На уровне обыденного познания действительности ос­новным инструментом является здравый смысл. Результат познания — наше мнение (частное, субъективное). Мнение, или точка зрения по поводу той или иной проблемы, необходимо нам для прогноза или интерпретации гряду­щих реальных событий. Если прогнозы или интерпретации состоятельны, мы укрепляемся в своем мнении, если нет — мы вновь обращаемся к здравому смыслу и корректируем свое мнение, и т. д. Таким образом, продукт обыден­ного познания — мнение — прежде всего характеризуется как частное, субъек-

¹ Цитируется по кн.: Корнилов К. Н. Учение о реакциях человека с психологической точки прения («Реактология»). М., 1923. С. 3.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

тивное. И все мы хорошо знаем, насколько тяжело бывает переубедить друго­го человека или отстоять свое мнение. Произведение искусства — это тоже продукт обыденного познания, мнение творца, облеченное в специфическую форму. Эстетические переживания способствуют восприятию и принятию нами авторского мнения. Таким образом, обыденное познание, его продукт — мнение, его инструмент — здравый смысл лежат в основе наших представ­лений о действительности. А само понятие «обыденное» приобретает смысл в противовес альтернативному — «научному» познанию.

Научное познание по своей конечной цели — совершенству прогнозов и интерпретаций реальных событий — принципиально не отличается от обы­денного познания. Более того, научное познание не отменяет и не заменяет обыденного, но добавляет кое-что для совершенствования его результатов — знаний и прогнозов. Наука стремится выйти за пределы частного мнения, сделать знания общезначимыми. В стремлении к общезначимости ученый обосновывает свое мнение эмпирически, при помощи принятых в науке проце­дур, возводя свое мнение в ранг научной теории. При этом предполагается (и практика это доказывает), что научное познание гарантирует нам более со­вершенные предсказания и интерпретации действительности.

Научное познание добавляет к инструменту обыденного познания — здра­вому смыслу — ряд дополнительных процедур, обеспечивая не только убеди­тельность, но и объективность получаемых знаний. Рассмотрим их подроб­нее. Первый шаг любого (научного) исследования — выражение сомнения в истинности мнения, формулировка мнения как гипотезы — утверждения, допускающего проверку на фактах. Например, я могу поставить под сомне­ние свою точку зрения о том, что женщины более искусны в общении, чем мужчины. Но чтобы сделать гипотезу доступной проверке при помощи эм­пирики, необходимо представить ее в форме математической модели, согла­сованной со способом регистрации наблюдений. Таким образом, гипотеза содержит указание на математическую модель, форма которой уточняется в соответствии с тем, как будет измерено то, что нас интересует. Моя содержа­тельная гипотеза о большей искусности женщин в общении может быть пред­ставлена в форме математической модели: М„ <М_Ж (мужчины в среднем ме­нее искусны в общении, чем женщины) или/_м </_ж (среди мужчин искусные в общении встречаются реже, чем среди женщин). В первом случае предпола­гается, что я могу вычислить среднюю «искусность в общении» для женщин и для мужчин по результатам ее количественного измерения при помощи не­которой специальной шкалы. Во втором случае достаточно определить час­тоту встречаемости «искусных в общении» среди мужчин и женщин.

Итак, научное познание начинается с нуждающегося в эмпирической про­верке утверждения — гипотезы. Проверка гипотезы предполагает измерение интересующего исследователя явления и обобщение результатов измерения в виде, позволяющем сделать вывод в отношении гипотезы. Измерение и описа­ние предполагает применение различных, хоть и взаимосвязанных, математи­ческих моделей и соответствующих им процедур. В процессе измерения мы предстаь-.яем реальные события, явления, свойства в виде чисел, в соответствии

МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ВСТУПЛЕНИЕ

с принятой математической моделью измерения. Например, приписываем ис­пытуемому число, обозначающее его пол (1 — мужской, 2 — женский), или ранг, соответствующий успешности выполнения задания (1 — лучше всех, 2 — второе место, и т. д.). Затем множество подобных результатов измерения мы должны представить в виде, доступном интерпретации с точки зрения выдви­нутой гипотезы. Для этого используются математические модели описания для обобщения результатов измерения: менее сложные (частоты, средние значе­ния и др.) или более сложные (корреляционный или факторный анализ и др.).

Помимо описания и измерения, существует и третье направление исполь­зования математики в психологии — статистическая проверка гипотез. По­следнее направление тесно связано с общенаучными канонами экспери­ментального метода, основанными на статистическом выводе. Отдавая дань истории, отметим, что одним из первых примеров испытания статистической гипотезы была работа Дж. Арбутнота «Довод в пользу божественного провиде­ния, выведенный из постоянной регулярности, наблюдаемой в рождении обо­их полов» (1710—1712 гг.)¹. Основываясь на том факте, что в течение 82 лет под­ряд мальчиков каждый год рождалось больше, чем девочек, автор показал, что эти данные опровергают гипотезу о равновероятном рождении мужчин и жен­щин. Если вероятность рождения мальчика точно равна 0,5, то вероятность того, что на протяжении 82 лет подряд мальчиков будет рождаться больше, чем дево­чек, равна (У₂)⁸², т. е. она очень мала. По мнению Арбутнота, данный факт — результат вмешательства божественного Провидения, поскольку жизнь муж-чипы находится в большей опасности, чем жизнь женщины.

Общая логика статистической проверки гипотез, или определения статис­тической достоверности эмпирического результата, сохранилась в общих чер­тах и до настоящего времени. Возвращаясь к проверке моего мнения о женс­кой искусности в общении, предположим, что я измерил ее при помощи 10-балльной шкалы у 32 женщин и 28 мужчин. Среднее значение для мужчин оказалось равным Л/_м = 4,6, а для женщин М_ж = 5,1. Здравый смысл мне под­сказывает, что факт подтверждает мое мнение. Однако тут же возникает со­мнение: достаточно ли столь малого различия в средних значениях, чтобы ут­верждать, что вообще все женщины в среднем более искусны в общении, чем все мужчины? Какова вероятность, что это все-таки не так? Для ответа на этот вопрос мне и необходимо обратиться к моделям статистического вывода. Если различия статистически значимы, то мое мнение приобретает статус научно обоснованного утверждения.

Таким образом, научное познание, в дополнение к здравому смыслу (но не вместе него!), обязательно предполагает применение математических мето­дов, которые мы представили в виде трех классов моделей: измерения, опи­сания и статистического вывода. Соотношение этих моделей в структуре по­знания схематично представлено на рис. 1.

Научное познание начинается с формулировки гипотезы — следствия тео­рии или частного мнения по поводу некоторого аспекта реальности. Гипотеза

Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М., 1973. С. 681.

Научное познание Рис. 1. Соотношение обыденного и научного познания

формулируется так, чтобы ее можно было проверить по результатам измере­ния, то есть в форме описательной математической модели. Описательная математическая модель согласуется с доступной измерительной моделью. Далее модель измерения применяется к интересующим нас аспектам действи­тельности для регистрации результатов наблюдения (как правило — в число­вой форме). Результаты измерения обобщаются при помощи описательной математической модели — для представления результатов измерения в до­ступном для интерпретации виде. Мы обращаемся к здравому смыслу и ин­терпретируем результаты применения описательных математических моде­лей. Однако чаще мы этим не ограничиваемся и обосновываем достоверность результатов при помощи соответствующей модели статистического вывода.

Изложенная логика аргументации характерна для науки в целом, в любых ее отраслях, в том числе для психологии. И гуманитарная специфика психо­логии вовсе не означает принципиального отличия научного метода психо­логии от методов других наук. Однако такая специфика предмета накладыва­ет свой отпечаток на особенности применения математических методов. Это проявляется, в частности, в применяемых моделях измерения, в том, каким образом мы фиксируем результаты наблюдения непосредственно не видимо­го и не измеримого (способностей, тревожности и т. д.). Специфика измери­тельных моделей сказывается на применяемых описательных моделях, а те, в свою очередь — и на моделях статистического вывода.

Иногда можно слышать утверждения, что научный подход с применением математических методов необходим для академических научных исследований, а в практической работе вполне достаточно здравого смысла. Да, практическая деятельность психолога — это прежде всего искусство применения практичес­ких методов. Но здравого смысла недостаточно для профессиональной работы. Профессионал отличается тем, что может обосновать свою точку зрения, ска­жем, проверить эффективность того или иного практического метода или состо­ятельность организационного решения. При этом он будет опираться на научно обоснованные аргументы, а не только на собственное субъективное мнение.

Глава 1

ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА

ПРИМЕР______________________________________________________________ Исследователь может предположить, что женщины в среднем более тревожны, чем… Для проверки подобных предположений на фактах необходимо измерить соответствующие свойства у их носителей. Но…

ИЗМЕРЕНИЯ И ШКАЛЫ

Любое эмпирическое научное исследование начинается с того, что иссле­дователь фиксирует выраженность интересующего его свойства (или свойств) у… Измерение в терминах производимых исследователем операций— это при­писывание… В обыденном сознании, как правило, нет необходимости разделять свой­ства вещей и их признаки: такие свойства…

ПРИМЕР

Мы можем разделить всех наших испытуемых на две группы по сообразительнос­ти: сообразительные и не очень. И далее приписать каждому испытуемому символ (например, 1 и 0) в зависимости от его принадлежности к той или другой группе. А можем упорядочить всех испытуемых по степени выраженности сообразитель­ности, приписывая каждому его ранг, от самого сообразительного (1 ранг), самого сообразительного из оставшихся (2 ранг) и т. д. до последнего испытуемого. В ка­ком из этих двух случаев измеренный признак будет точнее отражать различия между испытуемыми по измеряемому свойству, догадаться нетрудно.

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

В зависимости от того, какая операция лежит в основе измерения призна­ка, выделяют так называемые измерительные шкалы. Они еще называются шкалами С. Стивенса, по имени ученого-психолога, который их предложил. Эти шкалы устанавливают определенные соотношения между свойствами чисел и измеряемым свойством объектов. Шкалы разделяют на метрические (если есть или может быть установлена единица измерения) и неметрические (если единицы измерения не могут быть установлены).

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ШКАЛЫ

Номинативная шкала (неметрическая),или шкала наименований (номиналь­ное измерение). В ее основе лежит процедура, обычно не ассоциируемая с из­мерением. Пользуясь определенным правилом, объекты группируются по раз­личным классам так, чтобы внутри класса они были идентичны по измеряемому свойству. Каждому классу дается наименование и обозначение, обычно число­вое. Затем каждому объекту присваивается соответствующее обозначение.

ПРИМЕРЫ______________________________________________________

Примеры номинативных признаков: «пол» (1 — мужской, 0 — женский), «нацио­нальность» (1 — русский, 2 — белорус, 3 — украинец), «предпочтение домашних животных» (1 — собаки, 2 — кошки, 3 — крысы, 0 — никакие) и т. д. В последнем случае если одному испытуемому присвоена 1, а другому 2, то это обозначает толь­ко то, что у них разные предпочтения: у первого — собаки, у второго — кошки. Из того, что 1 < 2, нельзя делать вывод, что у второго предпочтение выражено больше, чем у первого, и т. д.

Заметим, что в этом случае мы учитываем только одно свойство чисел — то, что это разные символы. Остальные свойства чисел не учитываются. Привыч­ные операции с числами — упорядочивание, сложение-вычитание, деление — при измерении в номинативной шкале теряют смысл. При сравнении объектов мы можем делать вывод только о том, принадлежат они к одному или разным классам, тождественны или нет по измеренному свойству. Несмотря на такие ограничения, номинативные шкалы широко используются в психологии, и к ним применимы специальные процедуры обработки и анализа данных.

Ранговая,или порядковая шкала (неметрическая)(как результат ранжиро­вания). Как следует из названия, измерение в этой шкале предполагает при­писывание объектам чисел в зависимости от степени выраженности измеря­емого свойства.

ПРИМЕР

Мы можем ранжировать всех испытуемых по интересующему нас свойству на ос­нове экспертной оценки или по результатам выполнения некоторого задания и при-

ГЛАВА 2. ИЗМЕРЕНИЯ И ШКАЛЫ

писать каждому испытуемому его ранг. Или предложить испытуемым самим опре­делить выраженность изучаемого свойства, пользуясь предложенной шкалой (5-, 7- или 10-балльной).

Существует множество способов получения измерения в порядковой шка­ле. Но суть остается общей: при сравнении испытуемых друг с другом мы мо­жем сказать, больше или меньше выражено свойство, но не можем сказать, насколько больше или насколько меньше оно выражено, а уж тем более — во сколько раз больше или меньше. При измерении в ранговой шкале, таким образом, из всех свойств чисел учитывается то, что они разные, и то, что одно число больше, чем другое.

ПРИМЕР_______________________________________________________

Четверым бегунам присвоены ранги в соответствии с тем, кто раньше достиг «фи­ниша» (ранг 1 — самый быстрый):

 

Бегун	Ранг
А
В
С
D

Основываясь только на этих данных, мы можем судить о том, кто раньше прибе­жал, а кто позже. Но мы не можем судить, насколько каждый из них пробежал быс­трее или медленнее другого. Глядя на эти ранги, можно было бы предположить, что бегуны А и В различаются меньше, чем бегуны В и D, так как 2-1 = 1, а 4-2 = 2. Однако такой вывод — следствие «пленяющей магии чисел»: бегун А мог быть тре­нированным спортсменом, пробежавшим дистанцию в 2 раза быстрее, чем бегуны В, С и D — «увальни», пришедшие к «финишу» с минимальными различиями во времени.

При ранжировании «вручную»', а не при помощи компьютера, следует иметь в виду два обстоятельства:

1. Установите для себя и запомните порядок ранжирования. Вы можете
ранжировать испытуемых по их «месту в группе»: ранг 1 присваивается тому,
у которого наименьшая выраженность признака, и далее — увеличение ранга
по мере увеличения уровня признака. Или можно ранг 1 присваивать тому, у
которого 1-е место по выраженности данного признака (например, «самый
быстрый»). Строгих правил выбора здесь нет, но важно помнить, в каком на­
правлении производилось ранжирование.

2. Соблюдайте правило ранжирования для связанных рангов, когда двое
или более испытуемых имеют одинаковую выраженность измеряемого свой­
ства. В этом случае таким испытуемым присваивается один и тот же, средний
ранг. Например, если вы ранжируете испытуемых по «месту в группе» и двое
имеют одинаковые самые высокие исходные оценки, то обоим присваивает­
ся средний ранг 1,5: (1+2)/2= 1,5. Следующему за этой парой испытуемому
присваивается ранг 3, и т. д. Это правило основано на соглашении соблюде-

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

 

ния одинаковой суммы рангов для связанных и несвязанных рангов. В соот­ветствии с этим правилом сумма всех присвоенных рангов для группы численно­стью N должна равняться N(N+)/2, вне зависимости от наличия или отсут­ствия связей в рангах.

Интервальная шкала (метрическая).Это такое измерение, при котором числа отражают не только различия между объектами в уровне выраженности свой­ства (характеристика порядковой шкалы), но и то, насколько больше или меньше выражено свойство. Равным разностям между числами в этой шкале соответствуют равные разности в уровне выраженности измеренного свой­ства. Иначе говоря, измерение в этой шкале предполагает возможность при­менения единицы измерения (метрики). Объекту присваивается число единиц измерения, пропорциональное выраженности измеряемого свойства. Важная особенность интервальной шкалы — произвольность выбора нулевой точки: ноль вовсе не соответствует полному отсутствию измеряемого свойства. Про­извольность выбора нулевой точки отсчета обозначает, что измерение в этой шкале не соответствует абсолютному количеству измеряемого свойства. Сле­довательно, применяя эту шкалу, мы можем судить, насколько больше или насколько меньше выражено свойство при сравнении объектов, но не можем судить о том, во сколько раз больше или меньше выражено свойство.

ПРИМЕР_______________________________________________________

Наиболее типичный пример измерения в интервальной шкале — температура по шкале Цельсия (°С). Важная особенность такого измерения заключается в том, что нулевая точка на шкале не соответствует полному отсутствию измеряемого свой­ства (0°С — это точка замерзания воды, но не отсутствия температуры, тепла). И если сегодня +5 °С, а вчера было + 10°С, то можно сказать, что сегодня на 5 гра­дусов холоднее, но неверно утверждать, что сегодня холоднее в два раза.

 

Интервальные измерения широко используются в психологии. Примером могут являться тестовые шкалы, которые специально вводятся при обоснова­нии равноинтервальности (метричности) тестовой шкалы (IQ Векслера, сте­ны, /"-шкала и т. д.).

ГЛАВА 2. ИЗМЕРЕНИЯ И ШКАЛЫ

Абсолютная шкала, или шкала отношений (метрическая).Измерение в этой шкале отличается от интервального только тем, что в ней устанавливается нулевая точка, соответствующая полному отсутствию выраженности измеря­емого свойства.

ПРИМЕР_______________________________

В отличие от температуры по Цельсию, температура по Кельвину представляет со­бой измерение в абсолютной шкале. Более привычные примеры измерения в этой шкале — это измерения роста, веса, времени выполнения задачи и т. д. Общим в этих примерах является применение единиц измерения и то, что нулевой точке со­ответствует полное отсутствие измеряемого свойства.

В силу абсолютности нулевой точки, при сравнении объектов мы можем сказать не только о том, насколько больше или меньше выражено свойство, но и о том, во сколько раз (на сколько процентов и т. д.) больше или меньше оно выражено. Измерив время решения задачи парой испытуемых, мы мо­жем сказать не только о том, кто и на сколько секунд (минут) решил задачу быстрее, но и о том, во сколько раз (на сколько процентов) быстрее.

Следует отметить, что, несмотря на привычность и обыденность абсолют­ной шкалы, в психологии она используется не часто. Из редких примеров можно привести измерение времени реакции (обычно в миллисекундах) и измерение абсолютных порогов чувствительности (в физических единицах свойств стимула).

Перечисленные шкалы полезно характеризовать еще и по признаку их дифференцирующей способности (мощности). В этом отношении шкалы по мере возрастания мощности располагаются следующим образом: номинатив­ная, ранговая, интервальная, абсолютная. Таким образом, неметрические шкалы заведомо менее мощные — они отражают меньше информации о раз­личии объектов (испытуемых) по измеренному свойству, и, напротив, метри­ческие шкалы более мощные, они лучше дифференцируют испытуемых. По­этому, если у исследователя есть возможность выбора, следует применить более мощную шкалу. Другое дело, что чаще такого выбора нет, и приходится ис­пользовать доступную измерительную шкалу. Более того, часто исследовате­лю даже трудно определить, какую шкалу он применяет.

КАК ОПРЕДЕЛИТЬ, В КАКОЙ ШКАЛЕ ИЗМЕРЕНО ЯВЛЕНИЕ

Определение того, в какой шкале измерено явление (представлен при­знак), — ключевой момент анализа данных: любой последующий шаг, выбор любого метода зависит именно от этого.

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Обычно идентификация номинативной шкалы, ее дифференциация от ран­говой, а тем более от метрической шкалы не вызывает особых проблем.

ПРИМЕР_______________________________________________________

Рассмотрим вопрос анкеты, для ответа на который испытуемые выбирают один из предложенных вариантов: «Насколько Вы уверены в своих силах...

1) Совершенно уверен

2) Затрудняюсь ответить

3) Совершенно неуверен»

Если исследователя интересует, в какой степени испытуемые уверены или не уве­рены в своих силах, то логично предполагать, что признак представлен в ранговой шкале. Если же исследователя интересует то, как распределились ответы по вари­антам или чем характеризуется каждая из 3 соответствующих групп, то разумнее рассматривать этот признак как номинативный.

Значительно сложнее определить различие между порядковой и метричес­кой шкалами. Проблема связана с тем, что измерения в психологии, как пра­вило, косвенные. Непосредственно мы измеряем некоторые наблюдаемые яв­ления или события: количество ответов на вопросы, или заданий, решенных за отведенное время, или время решения набора заданий и т. д. Но при этом вы­носим суждения о некотором скрытом, латентном свойстве, недоступном пря­мому наблюдению: об агрессивности, общительности, способности и т. д.

Количество заданий, решенных за отведенное время, — это, конечно, из­мерение в метрической шкале. Но само по себе это количество нас интересу­ет лишь в той мере, в какой оно отражает некоторую изучаемую нами способ­ность. Соответствуют ли равные разности решенных задач равным разностям выраженности изучаемого свойства (способности)? Если ответ «да» — шкала метрическая (интервальная), если «нет» — шкала порядковая.

Конечно, проще всего в подобных ситуациях согласиться с тем, что при­знак представлен в порядковой шкале. Но при этом мы существенно ограни­чиваем себя в выборе методов последующего анализа. Более того, переход к менее мощной шкале обрекает нас на утрату части столь ценной для нас эмпирической информации об индивидуальных различиях испытуемых. След­ствием этого может являться падение статистической достоверности резуль­татов исследования. Поэтому исследователь стремится все же найти свиде­тельства того, что используемая шкала — более мощная, метрическая. То, какие обоснования метричности шкалы обычно учитываются, мы рассмотрим не­сколько позднее — в разделе о нормальном распределении.

ГЛАВА 2. ИЗМЕРЕНИЯ И ШКАЛЫ

Задачи и упражнения

Определите, в какой шкале представлено каждое из приведенных ниже из­мерений: наименований, порядка, интервалов, абсолютной.

1. Порядковый номер испытуемого в списке (для его идентификации).

2. Количество вопросов в анкете как мера трудоемкости опроса.

3. Упорядочивание испытуемых по времени решения тестовой задачи.

4. Академический статус (ассистент, доцент, профессор) как указание на
принадлежность к соответствующей категории.

5. Академический статус (ассистент, доцент, профессор) как мера продви­
жения по службе.

6. Телефонные номера.

7. Время решения задачи.

8. Количество агрессивных реакций за рабочий день.

9. Количество агрессивных реакций за рабочий день как показатель агрес­
сивности.

Глава 3

ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ

Обычно в ходе исследования интересующий исследователя признак изме­ряется не у одного-двух, а у множества объектов (испытуемых). Кроме того, каждый… ПРИМЕР_______________________________________________________________ Предположим, психолога интересует социальная сплоченность двух параллельных классов, различие в этом отношении…

Таблица частот, сгруппированных по интервалам времени решения тестовой задачи

Еще одной разновидностью таблиц распределения являются таблицы рас­пределения накопленных частот. Они показывают, как накапливаются часто­ты по мере возрастания значений признака. Напротив каждого значения (ин­тервала) указывается сумма частот встречаемости всех тех наблюдений, величина признака у которых не превышает данного значения (меньше верх­ней границы данного интервала). Накопленные частоты содержатся в пра­вых столбцах табл. 3.2 и 3.3.

Для более наглядного представления строится график распределения час­тот или график накопленных частот — гистограмма или сглаженная кривая распределения.

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Гистограмма распределения частот— это столбиковая диаграмма, каждый столбец которой опирается на конкретное значение признака или разрядный интервал (для сгруппированных частот). Высота столбика пропорциональна частоте встречаемости соответствующего значения. На рис. 3.1 изображена гистограмма распределения частот для примера из табл. 3.2.

Гистограмма накопленных частот отличается от гистограммы распределе­ния тем, что высота каждого столбика пропорциональна частоте, накоплен­ной к данному значению (интервалу). На рис. 3.2 изображена гистограмма накопленных частот для данных табл. 3.2.

 

 

 

Рис. 3.2. Гистограмма накопленных относительных частот самооценки (по данным табл. 3.2)

Построение полигона распределения частот напоминает построение гис­тограммы. В гистограмме вершина каждого столбца, соответствующая часто­те встречаемости данного значения (интервала) признака, — отрезок прямой. А для полигона отмечается точка, соответствующая середине этого отрезка. Далее все точки соединяются ломаной линией (рис. 3.3).

Вместо гистограммы или полигона часто изображают сглаженную кривую распределения частот. На рис. 3.4 изображена гистограмма распределения для примера из табл. 3.3 (столбики) и сглаженная кривая того же распределения частот.

ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЦ И ГРАФИКОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ

Таблицы и графики распределения частот дают важную предварительную информацию о форме распределения признака: о том, какие значения встреча­ются реже, а какие чаще, насколько выражена изменчивость признака. Обыч­но выделяют следующие типичные формы распределения. Равномерное распре­деление — когда все значения встречаются одинаково (или почти одинаково) часто. Симметричное распределение — когда одинаково часто встречаются край­ние значения. Нормальное распределение — симметричное распределение, у ко­торого крайние значения встречаются редко и частота постепенно повышается от крайних к серединным значениям признака. Асимметричные распределения — левосторонние (с преобладанием частот малых значений), правосторонние (с пре­обладанием частот больших значений). К понятию формы распределения мы еще не раз вернемся, прежде всего — в связи с использованием в психологии нормального распределения как особого эталона — стандарта.

Уже сами по себе таблицы и графики распределения признака позволяют делать некоторые содержательные выводы при сравнении групп испытуемых между собой. Сравнивая распределения, мы можем не только судить о том, какие значения встречаются чаще в той или иной группе, но и сравнивать группы по степени выраженности индивидуальных различий — изменчивости по данному признаку.

Таблицы и графики накопленных частот позволяют быстро получить до­полнительную информацию о том, сколько испытуемых (или какая их доля) имеют выраженность признака не выше определенного значения.

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Следует отметить, что для сравнения групп разной численности следует использовать таблицы и графики относительных частот.

ПРИМЕР______________________________________________________________

В группе юношей и группе девушек измерена тревожность при помощи тестовой шкалы. По результатам измерений построены сглаженные графики распределения относительных частот отдельно для юношей и девушек (рис. 3.5). Сравнивая гра­фики, можно сделать содержательные выводы как по уровню выраженности, так и по индивидуальной изменчивости тревожности у юношей и девушек. Так, юноши в среднем менее тревожны, чем девушки. Но индивидуальные различия — изменчи­вость — по тревожности выше у юношей, чем у девушек: девушки в этом отноше­нии более похожи друг на друга.

Тревожность

Рис. 3.5. Графики распределения относительных частот тревожности юношей (1)

и девушек (2)

ТАБЛИЦЫ СОПРЯЖЕННОСТИ НОМИНАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ

Таблицы сопряженности,или кросстабуляции — это таблицы совместного распределения частот двух и более номинативных признаков, измеренных на одной группе объектов. Эти таблицы позволяют сопоставить два или более

ГЛАВА 3. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ

распределения. Столбцы такой таблицы соответствуют категориям (градаци­ям) одного номинативного признака, а строки — категориям (градациям) другого номинативного признака. Если номинативные признаки внесены в электронную таблицу исходных данных, то таблицу сопряженности можно построить, воспользовавшись функцией «Кросстабуляция» одного из стан­дартных статистических пакетов (например, Crosstabs — в SPSS).

ПРИМЕР_________________________________________________________________________

Водном из исследований изучалась склонность людей передавать плохие или хо­рошие новости. На ветровых стеклах автомобилей, припаркованных у почтовых ящиков, были оставлены почтовые открытки с указанием адресата (всего — 180 шт.), содержащие либо нейтральные (хорошие), либо плохие новости. В ка­честве плохой новости использовалось сообщение о супружеской неверности супруга (супруги) — получателя сообщения. В процессе исследования подсчиты-валось количество отправленных открыток, дошедших до указанного адреса. Ре­зультаты представлены в табл. 3.4 — в виде таблицы сопряженности частот двух номинативных признаков: новость (две градации: плохая — хорошая), сообще­ние (две градации: отправлено — не отправлено). Как видите, таблица дает осно­вание делать вывод о том, что люди с меньшей охотой отправляли открытки, со­держащие плохие новости.

Таб л и ца 3.4

Зависимость распределения оставленных и полученных открыток от их содержания

Конечно, таблицы сопряженности могут включать номинативные призна­ки, имеющие и более двух градаций. Например, по табл. 3.1 для изучения раз­личий в… Задачи и упражнения На трех разных, достаточно больших группах испытуемых изучалась диа­гностическая ценность методики измерения…

Та б л и ца 3.5 Таблица распределения результатов измерения креативности в трех группах

1. Для какой из групп задания были слишком легкие, а для какой — слиш­
ком трудные?

2. В какой группе наблюдается наибольшая, а в какой — наименьшая ин­
дивидуальная изменчивость результатов?

3. В отношении какой группы, на ваш взгляд, методика может иметь наи­
большую диагностическую ценность — точнее измерять индивидуаль­
ные различия?

ОБРАБОТКА НА КОМПЬЮТЕРЕ

1. Таблица исходных данных.Может быть образована в среде SPSS двумя
способами. А) Данные можно предварительно набрать в среде программы
Excel (строки — испытуемые, столбцы — признаки). Затем путем простого
копирования блока данных в таблице Excel перенести при помощи команды
«вставка» (Past...) этот блок данных в предварительно открытую пустую таб­
лицу SPSS и сохранить ее. Б) Данные можно набирать сразу в программе SPSS.
Полезно затем каждой переменной присвоить имя, вместо принятого в SPSS
по умолчанию (varOOOl...). Начиная пользоваться программой SPSS, убеди­
тесь, что в качестве разделителя целой и дробной частей установлен единый
символ для всех программ — точка (Панель управления > Языки и стандарты >«
Числа > Разделитель целой и дробной частей числа— установить точку)! I

2. Таблицы распределения частот.Выбираем Analyze > Descriptive Statistics >
Frequencies... Воткрывшемся диалоговом окне (Frequencies)переносим из ле­
вой в правую часть интересующие нас переменные. После этого нажимаем
ОК. В окне результатов (Output...)для каждой переменной получаем таблицу

ГЛАВА 3. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ

распределения с предварительным указанием объема выборки (Valid)и числа пропущенных значений (Missing).В таблице распределения каждая строка соответствует отдельному значению, для которого указаны (столбцы): абсо­лютная частота (Frequency),относительная частота в процентах от объема выборки — без учета пропусков (Percent),относительная частота действитель­ного числа наблюдений — с учетом пропусков (Valid Percent),накопленная относительная частота в процентах (Cumulative Percent).

3. Графики распределения частот.А) При построении таблиц распределе­
ния частот (см. предыдущий пункт) в открывшемся диалоговом окне после
выбора переменных нажать кнопку Charts...(графики). Задать тип графика
(Chart Type)— гистограммы (Histograms).Нажать Continue,затем ОК. Вместе
с таблицей распределения частот вы получите гистограмму распределения
каждого выбранного признака. Б) Выбираем Graphs > Histogram...В открыв­
шемся диалоговом окне переносим из левой в правую часть интересующую
нас переменную, нажимаем ОК. Получаем гистограмму распределения этой
переменной.

Таблицы сопряженности (кросстабуляции).Выбираем Analyze > DescriptiveStatistics > Crosstabs... Воткрывшемся окне диалога выбираем интересующие нас номинативные переменные: одну для строк (Row(s)), другую — для стол­ бцов (Column(s)).После нажатия ОК получаем таблицу кросстабуляции (со­ пряженности) в абсолютных значениях частот. Если в окне диалога нажать кнопку Cells...(Ячейки), то в открывшемся окне можно установкой флажков задать вывод относительных частот в процентах (Percentages)по строкам (Row),столбцам (Columns)или в целом по таблице (Total).

Глава 4

ПЕРВИЧНЫЕ ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ

МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ Мера центральной тенденции{Central Tendency) — это число, характеризую­щее… Существуют три способа определения «центральной тенденции», каждо­му из которых соответствует своя мера: мода, медиана…

Л

Общительность

Рис. 4.3. Графики распределения относительных частот общительности юношей (1) и девушек (2)

ОБРАБОТКА НА КОМПЬЮТЕРЕ

Способ 1.Выбираем Analyze > Descriptive Statistics > Frequencies... Воткрыв­шемся диалоговом окне (Frequencies)переносим из левой в правую часть ин­тересующие нас переменные. Если таблица распределения частот нас не ин­тересует, снимаем флажок Display frequency tables(Показывать таблицы частот). Нажимаем кнопку Statistics...Выбираем интересующие нас статистики и от­мечаем их флажком: центральной тенденции (Central Tendency)— среднее (Mean), моду (Mode),медиану (Median);изменчивости (Dispersion)— стан­дартное отклонение (Std. deviation),дисперсию (Variance); распределения — асимметрию (Skewness) и эксцесс (Kurtosis). После этого нажимаем Continue,затем ОК и получаем результат.

Способ 2.Выбираем Analyze> Descriptive Statistics> Descriptives... Вот­крывшемся диалоговом окне переносим из левой в правую часть интересую­щие нас переменные. Нажимаем кнопку Options...и отмечаем флажком те статистики, которые нас интересуют (см. выше). Нажимаем Continue,затем ОК и получаем результат.

Глава 5

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

История применения закона нормального распределения в социальных и биоло­гических науках начинается, по-видимому, с работы бельгийского ученого А.… Частота

Всех случаев располагается в диапазоне значений М+ 2,58с.

ПРИМЕРЫ_______________________________________________________ 1. Значение IQ по шкале Векслера (Л/= 100; а = 15) некоторого тестируемого… ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

K/f с/ .— A/f /т

о где Xj — искомая граница интервала «сырых» оценок, stt — граница интервала в… Эмпирическая нормализацияприменяется, когда распределение «сырых» баллов отличается от нормального. Она заключается в…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Рис.5.6. Распределение «сырых» оценок (по данным табл. 5.2)

Изложенные основы психодиагностики позволяют сформулировать мате­матически обоснованные требования к тесту. Тестовая методика должна со­держать:

ГЛАВА 5. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

□ описание выборки стандартизации;

□ характеристику распределения «сырых» баллов с указанием среднего и
стандартного отклонения;

□ наименование, характеристику стандартной шкалы;

□ тестовые нормы — таблицы пересчета «сырых» баллов в шкальные.

ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для проверки нормальности используются различные процедуры, позво­ляющие выяснить, отличается ли от нормального выборочное распределение измеренной переменной. Необходимость такого сопоставления возникает, когда мы сомневаемся в том, в какой шкале представлен признак — в поряд­ковой или метрической. А сомнения такие возникают очень часто, так как заранее нам, как правило, не известно, в какой шкале удастся измерить изу­чаемое свойство (исключая, конечно, случаи явно номинативного измерения).

Важность определения того, в какой шкале измерен признак, трудно пе­реоценить, по крайней мере, по двум причинам. От этого зависит, во-первых, полнота учета исходной эмпирической информации (в частности, об инди­видуальных различиях), во-вторых, доступность многих методов анализа дан­ных. Если исследователь принимает решение об измерении в порядковой шкале, то неизбежное последующее ранжирование ведет к потере части ис­ходной информации о различиях между испытуемыми, изучаемыми группа­ми, о взаимосвязях между признаками и т. д. Кроме того, метрические дан­ные позволяют использовать значительно более широкий набор методов анализа и, как следствие, сделать выводы исследования более глубокими и содержательными.

Наиболее весомым аргументом в пользу того, что признак измерен в мет­рической шкале, является соответствие выборочного распределения нормаль­ному. Это является следствием закона нормального распределения. Если вы­борочное распределение не отличается от нормального, то это значит, что измеряемое свойство удалось отразить в метрической шкале (обычно — интер­вальной).

Существует множество различных способов проверки нормальности, из которых мы кратко опишем лишь некоторые, предполагая, что эти проверки читатель будет производить при помощи компьютерных программ.

Графический способ(Q-Q Plots, Р-Р Plots). Строят либо квантильные гра­фики, либо графики накопленных частот. Квантильные графики (Q-Q Plots) строятся следующим образом. Сначала определяются эмпирические значе­ния изучаемого признака, соответствующие 5, 10, ..., 95-процентилю. Затем по таблице нормального распределения для каждого из этих процентилей определяются z-значения (теоретические). Два полученных ряда чисел за­дают координаты точек на графике: эмпирические значения признака от-

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

кладываются на оси абсцисс, а соответствующие им теоретические значе­ния — на оси ординат. Для нормального распределения все точки будут ле­жать на одной прямой или рядом с ней. Чем больше расстояние от точек до прямой линии, тем меньше распределение соответствует нормальному. Гра­фики накопленных частот (Р-Р Plots) строятся подобным образом. На оси абсцисс через равные интервалы откладываются значения накопленных от­носительных частот, например 0,05; 0,1; ...; 0,95. Далее определяются эмпи­рические значения изучаемого признака, соответствующие каждому значе­нию накопленной частоты, которые пересчитываются в z-значения. По таблице нормального распределения определяются теоретические накоп­ленные частоты (площадь под кривой) для каждого из вычисленных г-зна-чений, которые откладываются на оси ординат. Если распределение со­ответствует нормальному, полученные на графике точки лежат на одной прямой.

Критерии асимметрии и эксцесса.Эти критерии определяют допустимую степень отклонения эмпирических значений асимметрии и эксцесса от нуле­вых значений, соответствующих нормальному распределению. Допустимая степень отклонения — та, которая позволяет считать, что эти статистики су­щественно не отличаются от нормальных параметров. Величина допустимых отклонений определяется так называемыми стандартными ошибками асим­метрии и эксцесса. Для формулы асимметрии (4.10) стандартная ошибка оп­ределяются по формуле:

 

 

 

где N — объем выборки.

Выборочные значения асимметрии и эксцесса значительно отличаются от нуля, если не превышают значения своих стандартных ошибок. Это можно считать признаком соответствия выборочного распределения нормальному закону. Следует отметить, что компьютерные программы вычисляют показа­тели асимметрии, эксцесса и соответствующие им стандартные ошибки по другим, более сложным формулам.

Статистический критерий нормальности Колмогорова-Смирновасчитается наиболее состоятельным для определения степени соответствия эмпиричес­кого распределения нормальному. Он позволяет оценить вероятность того, что данная выборка принадлежит генеральной совокупности с нормальным распределением. Если эта вероятность р< 0,05, то данное эмпирическое распределение существенно отличается от нормального, а если р > 0,05, то делают вывод о приблизительном соответствии данного эмпирического рас­пределения нормальному.

ГЛАВА 5. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Причины отклонения от нормальности.Общей причиной отклонения фор­мы выборочного распределения признака от нормального вида чаще всего является особенность процедуры измерения: используемая шкала может об­ладать неравномерной чувствительностью к измеряемому свойству в разных частях диапазона его изменчивости.

ПРИМЕР

Предположим, выраженность некоторой способности определяется количеством выполненных заданий за отведенное время. Если задания простые или время слиш­ком велико, то данная измерительная процедура будет обладать достаточной чув­ствительностью лишь в отношении части испытуемых, для которых эти задания достаточно трудны. И слишком большая доля испытуемых будет решать все или почти все задания. В итоге мы получим распределение с выраженной правосторон­ней асимметрией. Можно, конечно, впоследствии повысить качество измерения путем эмпирической нормализации, добавив более сложные задания или сократив время выполнения данного набора заданий. Если же мы чрезмерно усложним из­мерительную процедуру, то возникнет обратная ситуация, когда большая часть ис­пытуемых будет решать малое количество заданий и эмпирическое распределение приобретет левостороннюю асимметрию.

Таким образом, такие отклонения от нормального вида, как право- или левосторонняя асимметрия или слишком большой эксцесс (больше 0), связа­ны с относительно низкой чувствительностью измерительной процедуры в области моды (вершины графика распределения частот).

Последствия отклоненияот нормальности.Следует отметить, что задача получения эмпирического распределения, строго соответствующего нормаль­ному закону, нечасто встречается в практике исследования. Обычно такие случаи ограничиваются разработкой новой измерительной процедуры или тестовой шкалы, когда применяется эмпирическая или нелинейная норма­лизация для «исправления» эмпирического распределения. В большинстве случаев соответствие или несоответствие нормальности является тем свой­ством измеренного признака, который исследователь должен учитывать при выборе статистических процедур анализа данных.

Заметно ли "на глаз" отличие распределения от нормального вида?

X

В общем случае при значительном отклонении эмпирического распреде­ления от нормального следует отказаться от предположения о том, что при­знак измерен в метрической шкале. Но остается открытым вопрос о том, како­ва мера существенности этого отклоне­ния? Кроме того, разные методы ана­лиза данных обладают различной чувствительностью к отклонениям от нормальности. Обычно при обоснова­нии перспективности этой проблемы приводят принцип Р. Фишера, одного из «отцов-основателей» современной статистики: «Отклонения от нормально-

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

го вида, если только они не слишком заметны, можно обнаружить лишь для боль­ших выборок; сами по себе они вносят малое отличие в статистические крите­рии и другие вопросы»¹. К примеру, при малых, но обычных для психологичес­ких исследований выборках (до 50 человек) критерий Колмогорова-Смирнова недостаточно чувствителен при определении даже весьма заметных «на глаз» отклонений от нормальности. В то же время некоторые процедуры анализа метрических данных вполне допускают отклонения от нормального распре­деления (одни — в большей степени, другие — в меньшей). В дальнейшем при изложении материала мы при необходимости будем оговаривать меру жесткости требования нормальности.

Задачи и упражнения

1. Некоторое свойство измеряется при помощи тестовой шкалы СЕЕВ
(Л/=500, о= 100). Какая приблизительно доля генеральной совокупно­
сти имеет балл от 600 до 700?

2. В генеральной совокупности значения IQ в шкале Векслера распределе­
ны приблизительно нормально со средним 100 и стандартным отклоне­
нием 15. С помощью таблиц определите следующие вероятности:

а) вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ
между 79 и 121;

б) вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ
выше 127; ниже 73.

3. Определите при помощи квантильного графика, соответствует ли нор­
мальному виду распределение переменной со следующими значениями
процентилей:

В области каких значений шкала, в которой измерен признак, обладает большей дифференцирующей способностью (чувствительностью), а в какой — меньшей?

ОБРАБОТКА НА КОМПЬЮТЕРЕ

Критерии асимметрии и эксцесса. Выбираем Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives... В окне диалога переносим из левого окна в правое интересующие нас переменные. Нажимаем кнопку Options..., ставим флажок Distribution >

¹ Цит. по: Справочник по прикладной статистике: В 2 т. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана. М., 1989. Т. 1.С. 270.

ГЛАВА 5. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Kurtosis, Skewness,нажимаем Continue,затем ОК. В таблице результатов стол­бцы Kurtosisи Skewnessсодержат значения асимметрии (Kurtosis)и эксцесса (Skewness) и соответствующие им стандартные ошибки (Std. Error).Распреде­ление соответствует нормальному виду, если для соответствующей переменной абсолютные значения асимметрии и эксцесса не превышают свои стандартные ошибки.

Графический способ.Выбираем Graphs> РР...— графики накопленных ча­стот (или Graphs> QQ...— квантильные графики). Открывается диалог Р-Р Plots (Q-Q Plots).Переносим из левого в правое окно интересующие нас пе­ременные. Нажимаем ОК. В окне результатов просматриваем графики Normal Р-Р Plot... (Normal Q-Q Plot...),на которых по горизонтальной оси отложены соответствующие эмпирические значения, а по вертикальной оси — теорети­ческие значения. Чем ближе точки графиков к прямой линии, тем меньше от­личие распределения от нормального вида.

Критерий нормальности Колмогорова-Смирнова.Выбираем Analyze > Nonpa-rametric Tests > 1-Sample K-S...Открывается диалог One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test.Переносим из левого в правое окно интересующие нас пере­менные. Нажимаем ОК. В соответствующем переменной столбце находим Kolmogorov-SmirnovZ(значение критерия) и Asymp. Sig. (2-tailed)(вероятность того, что распределение соответствует нормальному виду). Если значение Asymp. Sig.меньше или равно 0,05, то распределение существенно отличает­ся от нормального вида. Если Asymp. Sig.больше 0,05, то существенного от­личия от нормальности не обнаружено.

Глава 6

КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

Коэффициент корреляции— двумерная описательная статистика, количе­ственная мера взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных. История разработки и применения коэффициентов корреляции для ис­следования… К настоящему времени разработано великое множество различных коэф­фициентов корреляции, проблеме измерения взаимосвязи…

X

Рис. 6.2. Примеры диаграмм рассеивания и соответствующих коэффициентов корреляции

Коэффициент корреляции— это количественная мера силы и направления вероятностной взаимосвязи двух переменных; принимает значения в диапа­зоне от-1 до +1.

Сила связи достигает максимума при условии взаимно однозначного соот­ветствия: когда каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой переменной (и наоборот), эмпирическая взаимосвязь при этом совпадает с функциональной линейной связью. Показателем силы связи явля­ется абсолютная (без учета знака) величина коэффициента корреляции.

Направление связи определяется прямым или обратным соотношением зна­чений двух переменных: если возрастанию значений одной переменной соответствует возрастание значений другой переменной, то взаимосвязь на­зывается прямой (положительной); если возрастанию значений одной пере­менной соответствует убывание значений другой переменной, то взаимосвязь является обратной (отрицательной). Показателем направления связи являет­ся знак коэффициента корреляции.

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ г-ПИРСОНА

r-Пирсона (Pearson r) применяется для изучения взаимосвязи двух метричес­ких переменных, измеренных на одной и той же выборке. Существует множество ситуаций, в которых уместно его применение. Влияет ли интеллект на успе­ваемость на старших курсах университета? Связан ли размер заработной пла­ты работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

школьника на успешность решения сложной арифметической задачи? Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересую­щих его показателя у каждого члена выборки. Данные для изучения взаимо­связи затем сводятся в таблицу, как в приведенном ниже примере.

ПРИМЕР 6.1___________________________________________________________

В таблице приведен пример исходных данных измерения двух показателей интел­лекта (вербального и невербального) у 20 учащихся 8-го класса.

 

 

Связь между этими переменными можно изобразить при помощи диаграммы рас­сеивания (см. рис. 6.3). Диаграмма показывает, что существует некоторая взаимо­связь измеренных показателей: чем больше значения вербального интеллекта, тем (преимущественно) больше значения невербального интеллекта.

Прежде чем дать формулу коэффициента корреляции, попробуем просле­дить логику ее возникновения, используя данные примера 6.1. Положение каждой /-точки (испытуемого с номером /) на диаграмме рассеивания отно­сительно остальных точек (рис. 6.3) может быть задано величинами и знака­ми отклонений соответствующих значений переменных от своих средних ве­личин: (xj — MJ и (у, —М_у). Если знаки этих отклонений совпадают, то это свидетельствует в пользу положительной взаимосвязи (большим значениям

9 10 11

Вербальный IQ

Рис. 6.3. Диаграмма рассеивания для данных примера 6.1

по х соответствуют большие значения по у или меньшим значениям по х со­ответствуют меньшие значения по у).

ПРИМЕР______________________________________________________________

Для испытуемого № 1 отклонение от среднего по х и по у положительное, а для испытуемого № 3 и то и другое отклонения отрицательные. Следовательно, данные того и другого свидетельствуют о положительной взаимосвязи изучаемых призна­ков. Напротив, если знаки отклонений от средних по х и по у различаются, то это будет свидетельствовать об отрицательной взаимосвязи между признаками. Так, для испытуемого № 4 отклонение от среднего по х является отрицательным, по у — положительным, а для испытуемого № 9 — наоборот.

Таким образом, если произведение отклонений (х,— М_х) х (у, — М_у) поло­жительное, то данные /-испытуемого свидетельствуют о прямой (положи­тельной) взаимосвязи, а если отрицательное — то об обратной (отрицатель­ной) взаимосвязи. Соответственно, если х w у ъ основном связаны прямо пропорционально, то большинство произведений отклонений будет поло­жительным, а если они связаны обратным соотношением, то большинство произведений будет отрицательным. Следовательно, общим показателем для силы и направления взаимосвязи может служить сумма всех произведений отклонений для данной выборки:

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

При прямо пропорциональной связи между переменными эта величина является большой и положительной — для большинства испытуемых откло­нения совпадают по знаку (большим значениям одной переменной соответ­ствуют большие значения другой переменной и наоборот). Если же х и у име­ют обратную связь, то для большинства испытуемых большим значениям одной переменной будут соответствовать меньшие значения другой перемен­ной, т. е. знаки произведений будут отрицательными, а сумма произведений в целом будет тоже большой по абсолютной величине, но отрицательной по знаку. Если систематической связи между переменными не будет наблюдать­ся, то положительные слагаемые (произведения отклонений) уравновесятся отрицательными слагаемыми, и сумма всех произведений отклонений будет близка к нулю.

Чтобы сумма произведений не зависела от объема выборки, достаточно ее усреднить. Но мера взаимосвязи нас интересует не как генеральный параметр, а как вычисляемая его оценка — статистика. Поэтому, как и для формулы дис­персии, в этом случае поступим также, делим сумму произведений отклоне­ний не на N, а на TV— 1. Получается мера связи, широко применяемая в физи­ке и технических науках, которая называется ковариацией (Covahance):

 

13 психологии, в отличие от физики, большинство переменных измеряют­ся в произвольных шкалах, так как психологов интересует не абсолютное зна­чение признака, а взаимное расположение испытуемых в группе. К тому же ковариация весьма чувствительна к масштабу шкалы (дисперсии), в которой измерены признаки. Чтобы сделать меру связи независимой от единиц изме­рения того и другого признака, достаточно разделить ковариацию на соот­ветствующие стандартные отклонения. Таким образом и была получена фор­мула коэффициента корреляции К. Пирсона:

(6.1) или, после подстановки выражений для о_х и g_v:

 

 

 

Уравнение (6.1) является основной формулой коэффициента корреляции Пирсона. Эта формула вполне осмысленна, но не очень удобна для вычисле­ний «вручную» или на калькуляторе. Поэтому существуют производные фор-

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

мулы — более громоздкие по виду, менее доступные осмыслению, но упро­щающие расчеты. Мы не будем их здесь приводить, так как один раз в жизни можно в учебных целях посчитать корреляцию Пирсона и по исходной фор­муле «вручную», а в дальнейшем для обработки реальных данных все равно придется воспользоваться компьютерными программами.

ПРИМЕР 6.2_____________________________________________________________

Для расчета коэффициента корреляции воспользуемся данными примера 6.1 о вер­бальном и невербальном IQ, измеренном у 20 учащихся 8-го класса. К двум столб­цам с исходными данными добавляются еще 5 столбцов для дополнительных рас­четов, и внизу — строка сумм.

 

№	X	Y	{х,-Мх)				(х, - A/V)(.y, - Му)
			3,2	1,6	10,24	2,56	5,12
			-0,8	0,6	0,64	0,36	-0,48
			-1,8	-2,4	3,24	5,76	4,32
			-0,8	1,6	0,64	2,56	-1,28
			-2,8	-1,4	7,84	1,96	3,92
			-0,8	0,6	0,64	0,36	-0,48
			-1,8	-1,4	3,24	1,96	2,52
			3,2	2,6	10,24	6,76	8,32
			1,2	-1,4	1,44	1,96	-1,68
			2,2	-0,4	4,84	0,16	-0,88
			-1,8	-1,4	3,24	1,96	2,52
			-0,8	-2,4	0,64	5,76	1,92
			0,2	-0,4	0,04	0,16	-0,08
			0,2	1,6	0,04	2,56	0,32
			2,2	-0,4	4,84	0,16	-0,88
			0,2	-0,4	0,04	0,16	-0,08
			-1,8	0,6	3,24	0,36	-1,08
			-0,8	-0,4	0,64	0,16	0,32
			0,2	0,6	0,04	0,36	0,12
			1,2	2,6	1,44	6,76	3,12
X			0,00	0,00	57,2	42,8	25,6

На первом шаге подсчитываются суммы всех значений одного, затем — другого признака для вычисления соответствующих средних значений М_х и М_у: М_х = 9,8; Л/, = 10,4.

Далее для каждого испытуемого вычисляются отклонения от среднего: для Х для Y. Каждое отклонение от среднего возводится в квадрат. В последнем столбике за­писывается результат перемножения двух отклонений от среднего для каждого ис­пытуемого.

Суммы отклонений от среднего для каждой переменной должны быть равны нулю (с точностью до погрешности вычислений). Сумма квадратов отклонений необхо­дима для вычисления стандартных отклонений по известной формуле (4.7):

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Сумма произведений отклонений дает нам значение числителя, а произведение стандартных отклонений и (./V— 1) — значение знаменателя формулы коэффици­ента корреляции:

- - ²⁵'⁶ - = 0,517.

" 1,735 1,501 19

Если значения той и другой переменной были преобразованы в г-значения по формуле:

то формула коэффициентакорреляции r-Пирсона выглядит проще:

N

³⁹ N-l '

Отметим еще раз: на величину коэффициента корреляции не влияет то, в каких единицах измерения представлены признаки. Следовательно, любые линейные преобразования признаков (умножение на константу, прибавление кон­станты: у; = хр + а) не меняют значения коэффициента корреляции. Исключе­нием является умножение одного из признаков на отрицательную константу: коэффициент корреляции меняет свой знак на противоположный.

На рис. 6.2 приведены примеры диаграмм рассеивания для различных зна­чений коэффициента корреляции. Обратите внимание: на последнем рисун­ке визуально наблюдается нелинейная взаимосвязь между переменными, од­нако коэффициент корреляции равен нулю. Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона есть мера прямолинейной взаимосвязи; он не чувствителен к криволинейным связям.

КОРРЕЛЯЦИЯ, РЕГРЕССИЯ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ

Корреляция Пирсона есть мера линейной связи между двумя переменны­ми. Она позволяет определить, насколько пропорциональна изменчивость двух переменных. Если переменные пропорциональны друг другу, то графи­чески связь между ними можно представить в виде прямой линии с положи­тельным (прямая пропорция) или отрицательным (обратная пропорция) на­клоном. Кроме того, если известна пропорция между переменными, заданная уравнением графика прямой линии:

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

то по известным значениям переменной ЛГможно точно предсказать значения переменной Y.

На практике связь между двумя переменными, если она есть, является ве­роятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии(Regression Line) — это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси У) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной:

где у, — истинное /-значение Y, у, — оценка /-значения Кпри помощи линии (уравнения) регрессии, е, = .у,— y_t— ошибка оценки (см. рис. 6.4). Уравнение регрессии имеет вид:

у-, = bXj+а, (6.2)

где b — коэффициент регрессии (Regression Coefficient), задающий угол наклона прямой; а — свободный член, определяющий точку пересечения прямой оси Y. Если известны средние, стандартные отклонения и корреляция г_ху, то сум­ма квадратов ошибок минимальна, если:

О

b = r —^-,а = М„—ЬМ_г (f, i.

у *. (6.3)

Таким образом, если на некоторой выборке измерены две переменные, которые коррелируют друг с другом, то, вычислив коэффициенты регрессии,

Рис. 6.4. Диаграмма рассеивания и линия регрессии (е,- — ошибка оценки для одного из

объектов)

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

мы получаем принципиальную возможность предсказания неизвестных зна­чений одной переменной (У— «зависимая переменная») по известным значе­ниям другой переменной (X — «независимая переменная»). Например, пред­сказываемой «зависимой переменной» может быть успешность обучения, а предиктором, «независимой переменной» — результаты вступительного теста.

С какой степенью точности возможно такое предсказание?

Понятно, что наиболее точным предсказание будет, если г_ху = 1. Тогда каж­дому значению Сбудет соответствовать только одно значение У, а все ошибки оценки будут равны 0 (все точки на графике рассеивания будут лежать на пря­мой регрессии). Если же г_ху — О, то b = О и у, = М_у, т. е. при любом Xоценка переменной Убудет равна ее среднему значению и предсказательная ценность регрессии ничтожна.

Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оце­нок зависимой переменной. Отметим, что дисперсия оценок равна нулю, если г_ху = 0 — все оценки равны среднему значению, прямая регрессии параллель­на оси X. А если г_ху = 1, то дисперсия оценок равна истинной дисперсии пе­ременной У, достигая своего максимума:

Lt; о) < а] .

Неизвестную дисперсию оценок У можно выразить через другие, извест­ные статистики, зная рассмотренные ранее свойства дисперсии: так как прибавление константы а к каждому значению переменной не меняет дисперсию, а умножение на константу b —…

Ш

6 8 10

Вербальный IQ

Рис. 6.5. Демонстрация влияния экстремальных значений признаков («выброса») на коэффициент корреляции Пирсона

Пример 6.8 демонстрирует, что даже одно наблюдение с экстремально боль­шими или малыми значениями переменных может изменить знак корреля­ции на противоположный. Точно так же немногочисленные выбросы могут обусловить и появление корреляции.

Существенно меньшему влиянию выбросов подвержены ранговые корре­ляции. Поэтому один из способов борьбы с выбросами — переход к рангам и применение ранговых коэффициентов корреляции.

Для примера 6.8 ранговые коэффициенты корреляции (Спирмена и Кендалла) для первых 20 испытуемых (без выброса) составляют, соответственно: r_s = 0,505; х = 0,390. При добавлении выбросов: r_s = 0,294; т = 0,239. Значения корреляций уменьшилось, но не столь существенно, как л-Пирсона.

Другой подход к выбросам подразумевает «чистку» данных. Можно для каждой переменной установить определенное ограничение на диапазон ее изменчивости. Например, исключать те наблюдения, которые выходят за пре­делы диапазона М±2а (или даже М± 1,5а).

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Часто такая «чистка» совершенно необходима. Например, при исследовании вре­мени реакции, когда основная масса наблюдений находится в диапазоне 250-700 мс, исключение нескольких «странных» значений меньше 50 мс и больше 1000 мс мо­жет существенно изменить общую картину.

По сути, наличие выбросов означает отклонение распределений одной или обеих переменных от нормального вида. В общем случае, если распределения переменных сильно скошены (асимметричны), это может существенно сни­жать значение корреляции даже при сильной связи между соответствующими свойствами или, наоборот, обусловить появление «ложной» корреляции. Осо­бенно сильно асимметричность распределений влияет на г-Пирсона. Поэто­му при существенном отклонении формы распределения хотя бы одной пере­менной от нормального вида желательно перейти к рангам и воспользоваться ранговым коэффициентом корреляции.

Влияние «третьей» переменной

Иногда корреляция между двумя переменными обусловлена не связью между соответствующими свойствами, а влиянием некоторой общей причи­ны совместной изменчивости этих переменных, которая зачастую выпадает из поля зрения исследователя. Эта общая причина может быть измерена как некоторая «третья» переменная, представленная либо в номинативной шка­ле, либо в количественной (ранговой или метрической) шкале.

Если истинная причина корреляции представляет собой номинативную пе­ременную, то это проявляется в характерной неоднородности выборки: в ней можно обнаружить различные группы, для которых согласованно меняются средние двух переменных, в то время как внутри групп эти переменные не кор­релируют. Если подобное явление возможно и существует способ содержательно интерпретируемого деления выборки на группы, необходимо вычислить кор­реляцию не только для всей выборки, но и для каждой группы в отдельности.

ПРИМЕР_______________________________________________________

Если мы возьмем достаточно большую группу людей — мужчин и женщин, то об­наружим существенную отрицательную корреляцию роста и длины волос: чем боль­ше рост, тем короче волосы. Однако, рассматривая график рассеивания роста и длины волос с выделением групп мужчин и женщин, мы обнаружим истинную при­чину этой корреляции — пол (рис. 6.6). Корреляции роста и длины волос отдельно для мужчин и отдельно для женщин будут близки к нулю.

Другой случай «ложной» корреляции — когда «третья» переменная может быть представлена в числовой шкале.

ПРИМЕР_______________________________________________________

Число церквей и количество увеселительных заведений в городах, как известно, сильно коррелируют, так же, впрочем, как рост и навык чтения у детей. Нетрудно

Рис. 6.6. График рассеивания для роста и длины волос. Темные точки — мужчины, светлые треугольники — женщины

догадаться, что в первом случае «третьей» переменной является численность го­родского населения, а во втором — возраст детей. (См. также пример 6.3 из раздела «Частная корреляция».)

Если истинная причина корреляции между двумя переменными Хп YИз­мерена как количественная переменная Z, то предположение о том, что имен­но она является причиной корреляции, можно проверить, вычислив частную корреляцию r_xy__z по формуле 6.5. Если частная корреляция Хп Ус учетом Z (^rxy-_z) существенно меньше г^, то весьма вероятно, что именно Zявляeтcя ис­тинной причиной корреляции Хп Y.

Следует отметить, что за редким исключением факт наличия или отсутствия корреляции может быть объяснен влиянием некоторой «третьей» переменной, упущенной из поля зрения исследователя. Таким образом, всегда остается воз­можность альтернативной интерпретации обнаруженной корреляции.

Нелинейные связи

Еще одним источником низкой эффективности корреляций являются воз­можный нелинейный характер связи между переменными. То, какой характер имеет связь между переменными, можно заметить, рассматривая график дву­мерного рассеивания. Это свидетельствует о важности визуального анализа свя­зи с помощью таких графиков во всех случаях применения корреляций.

К отклонениям от прямолинейной зависимости любого рода наиболее чув­ствителен коэффициент корреляции r-Пирсона. Однако если нелинейная

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

связь оказывается монотонной, то возможен переход к рангам и применение ранговых корреляций.

Довольно часто в исследованиях встречаются немонотонные связи — ког­да связь меняет свое направление (с прямого на обратное, или наоборот) при увеличении или уменьшении значений одной из переменной.

ПРИМЕРЫ_______________________________________________________________________

Наиболее типичный пример — это связь тревожности и результатов тестирования, или в общем случае — связь уровня активации (X) и продуктивности деятельности (Y). Связь таких переменных напоминает перевернутую (инвертированную) U (рис. 6.7). Любой из рассмотренных коэффициентов корреляции будет в этом слу­чае иметь значение, близкое к нулю.

Продуктивность

Если наблюдается немонотонная нелинейность связи, то можно поступить двояко. В первом случае сначала надо найти точку перегиба по графику рас­сеивания и разделить выборку на две группы, различающиеся направлением связи между переменными. После этого можно вычислять корреляции от­дельно для каждой группы. Второй способ предполагает отказ от применения коэффициентов корреляции. Необходимо ввести дополнительную номина­тивную переменную, которая делит исследуемую выборку на контрастные группы по одной из переменных. Далее можно изучать различия между эти­ми группами по уровню выраженности (например, по средним значениям) другой переменной.

В приведенном примере (рис. 6.7) можно по переменной «активация» выделить 3 группы (низкий, средний и высокий уровень) и далее изучать различия между этими группами по продуктивности деятельности.

КАКОЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ВЫБРАТЬ

При изучении связей между переменными наиболее предпочтительным является случай применения r-Пирсона непосредственно к исходным данным. В любом случае, обнаружена корреляция или нет, необходим визуальный ана-

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

лиз графиков распределения переменных и графика двумерного рассеивания, если исследователя действительно интересует связь между соответствующи­ми переменными. Применяя /•-Пирсона, необходимо убедиться, что: П обе переменные не имеют выраженной асимметрии;

□ отсутствуют выбросы;

□ связь между переменными прямолинейная.

Если хотя бы одно из условий не выполняется, можно попытаться приме­нить ранговые коэффициенты корреляции: r-Спирмена или х-Кендалла. Но и ранговые корреляции имеют свои ограничения. Они применимы, если:

□ обе переменные представлены в количественной шкале (метрической
или ранговой);

□ связь между переменными является монотонной (не меняет свой знак с
изменением величины одной из переменных).

Применение ранговых коэффициентов корреляции при расчете «вручную» требует предварительного ранжирования переменных. Если при этом встре­чаются одинаковые значения признаков (связи в рангах), применяется фор­мула r-Пирсона для предварительно ранжированных переменных (в случае с r-Спирмена) либо вводятся поправки на связанные ранги (в случае с т-Кен-далла).

Если есть предположение, что корреляция обусловлена влиянием третьей переменной, и все три переменные допускают применение r-Пирсона для вычисления корреляции между ними, возможна проверка этого предположе­ния путем вычисления коэффициента частной корреляции этих переменных (при фиксированных значениях третьей переменной). Если значение част­ной корреляции двух переменных по абсолютной величине заметно меньше, чем их парная корреляция, то парная корреляция обусловлена влиянием тре­тьей переменной.

Применяя коэффициенты корреляции, особое внимание следует уделять графикам двумерного рассеивания. Они позволяют выявить случаи, когда кор­реляция обусловлена неоднородностью выборки по той и другой перемен­ной. Кроме того, эти графики позволяют определить характер связи: ее линейность и монотонность. Если связь является криволинейной и не моно­тонной (например, имеет форму U), то коэффициенты корреляции не подхо­дят. 13 этом случае можно разделить выборку на группы по одной из перемен­ных, для сравнения этих групп по выраженности другой переменной.

Если обе переменные представлены в бинарной шкале (0,1), для изучения связи между ними можно применять ф-коэффициент сопряженности, если для каждой переменной количество 0 и 1 приблизительно одинаковое.

Во всех случаях, когда исследователя интересует связь между переменными, а коэффициенты корреляции для этого не подходят, изучение этой связи воз­можно при помощи сравнения групп, выделяемых по одной из переменных. Если другая переменная метрическая или ранговая, то группы сравниваются по уров­ню ее выраженности, если номинативная — то по ее распределению.

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

ОБРАБОТКА НА КОМПЬЮТЕРЕ

1. Графики двумерного рассеивания.Выбираем Graphs... > Scatter... > Simple.
Нажимаем Define. Впоявляющемся окне назначаем осям переменные: выде­
ляем слева одну переменную, нажимаем > напротив «X Axis» (Ось X), выделя­
ем другую переменную, нажимаем > напротив «Y Axis». Нажимаем ОК. По­
лучаем график рассеивания назначенных переменных.

2. Вычисление парных корреляций.Выбираем Analyze> Correlate > Bivariate...
В открывшемся окне диалога переносим интересующие переменные из ле­
вой части в правую при помощи кнопки > (переменных должно быть как
минимум две). По умолчанию стоит флажок «Pearson» (корреляция г-Пирсо-
на). Если интересует корреляция r-Спирмена или т-Кендалла, необходимо
поставить соответствующие флажки внизу. Нажимаем ОК. В появившейся
таблице строки и столбцы соответствуют выделенным ранее переменным.
В ячейке на пересечении строки и столбца, соответствующих интересующим
нас переменным, видим три числа: верхнее соответствует коэффициенту кор­
реляции, нижнее — численности выборки N, среднее — уровню значимости.

3. Вычисление частной корреляции.Выбираем Analyze> Correlate > Partial...
В открывшемся окне диалога переносим интересующие переменные из ле­
вой части в правое верхнее окно (Variables:)при помощи верхней кнопки >
(переменных должно быть как минимум две). Затем при помощи нижней
кнопки > из левой части в правое нижнее окно (Controlling for:)переносим
переменную, значения которой хотим фиксировать. Нажимаем ОК. Получа­
ем таблицу, аналогичную таблице парных корреляций, но верхнее число в
каждой ячейке — значение частной корреляции соответствующих двух пере­
менных при фиксированном значении указанной третьей переменной. Ниж­
нее число — уровень значимости, а посередине — число степеней свободы.