рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Предельные теоремы теории вероятностей

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы теории вероятностей - раздел Математика, Теория случайных чисел Делятся На Две Группы: Закон Больших Чисел (Збч) И Центральная Предельная Тео...

Делятся на две группы: Закон Больших Чисел (ЗБЧ) и Центральная Предельная Теорема (ЦПТ).

Закон Больших Чисел устанавливает связь между абстрактными моделями теории вероятностей и основными ее понятиями и средними значениями, полученными при статистической обработке выборки ограниченного объема из генеральной совокупности. P, F(x), M(x), D(x).

ЗБЧ доказывает, что средние выборочные значения при n®¥ стремятся к соответствующим значениям генеральной совокупности: h_n(A)®P, X_ср®M(X), s_ср²®D(X), F^*(X)®F(X).

Лемма Маркова. Если Y – СВ, принимающая не отрицательные значения, то для любого положительного e:

P(Y³e)£M(x)/e, P(Y<e)³1-M(x)/e.

Доказательство. Рассмотрим Y и : Y_e£Y, M(Y_e)£M(Y)

M(Y_e)=0×P(Y<e)+e×P(Y³e)=e×P(Y³e)

M(Y)³M(Y_e)=e×P(Y³e).

Лемма позволяет сделать оценку вероятности наступления события по математическому ожиданию этой СВ.

Неравенство Чебышева. Для любой СВ с ограниченными первыми двумя моментами (есть МО и D) и для любого e>0:

Доказательство. По лемме Маркова: рассмотрим не отрицательную СВ Y

Y=(X-m)² M(Y)=M(X-m)²=D(x)

P(|X-m|³e)=P((X-m)²³e²)=P(Y³e²)£M(Y)/e²=D(x)/e².

Требуется только знание дисперсии СВ при любом законе распределения.

ЗБЧ в форме Чебышева. X₁, X₂, …, X_n – последовательность независимых СВ. Для любого e>0 и n®¥:

ЗБЧ в форме Бернулли. m – число успехов в серии из n последовательных испытаний Бернулли. P – вероятность успеха в каждом отдельном испытании. e>0:

ЗБЧ носит чисто качественный характер. В тех же условиях неравенство Чебышева позволяет получить количественную характеристику оценки вероятности.

Пример. Для определения вероятности события проведено 40000 опытов. События наблюдалось в m=16042 случаях. За вероятность события принимается относительная частота наступления события: m/n»0,4. Применяя неравенство Чебышева, оценить, с какой вероятностью можно гарантировать, что число 0,4, принятое за вероятность, отличается от истинной вероятности не больше, чем на 0,05.

Неизвестные p и q находим из системы уравнений:

Центральная предельная теорема Ляпунова.

Предмет внимания этой теоремы – распределение суммы большого числа СВ.

X=(x₁+x₂+…+x_n)/n

Распределение суммы n независимых СВ в независимости от их законов распределения асимптотически сходятся к нормальному закону при неограниченном числе слагаемых и ограниченных двух первых моментах (МО и D).

Если s_i²=s², то s_х²=s²/n, .

D(x)=s_х²=(s₁²+s₂²+…s_n²)/n²

ЦПТ универсальны и справедливы как для НСВ, так и для ДСВ.

P(a<X<b)=Ф(t₂)-Ф(t₁).

t₂=(b-m_x)/s_x t₂=(a-m_x)/s_x

S_n=(X₁+X₂+…+X_n)/n

P(|S_n-m|<zs)=2Ф(z)

M(xk)=m D(xk)=s²

ЦПТ в интегральной форме Муавра-Лапласа.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теория случайных чисел

На сайте allrefs.net читайте: "Теория случайных чисел"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Предельные теоремы теории вероятностей

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

WmA=n hn(A)=1
Æ mA=0 hn(A)=0 Все мыслимые взаимоисключающие исходы опыта называются элементарными событиями. Наряду с ними можно наблюдат

A1+A2+…+An=W
-событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.

Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k0.
Предельные теоремы в схеме Бернулли. 1. Пр

Основные дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретные случайные величины (ДСВ). 1. Биноминальная случайная величина x{0,1,2,3…n}

Многомерные законы распределения СВ
Часто при решении практических задач мы имеем дело не с одной, а с совокупностью нескольких случайных величин, которые взаимосвязаны. n x1,x2,…,xn

Дисперсия СВ
1. R=Xmax-Xmin – размах СВ 2. M(|X-m|) – среднее абсолютное отклонение СВ от центра группирования 3. M(X-m)2 – дисперсия – МО квадрата отклонения

Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин
X1,X2,…,Xn – независимые СВ с одинаковым законом распределения. M(Xk)=a D(Xk)=s2

Статистическое оценивание параметров распределения
Мы анализируем только выборки из генеральной совокупности. По средне выборочным параметрам находим параметры самой генеральной совокупности. Задачи такого рода решаются методами проверки с

Методы оценки параметров генеральной совокупности
Метод наибольшего (максимального) правдоподобия (МНП)(ММП) обладает следующими достоинствами: 1. Всегда приводит к состоятельным оценкам (иногда смещенным)

Из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента.
Выборочное среднее рассчитанное по конкретной выборке, есть конкретное число. Состав выборки случаен и среднее арифметическое вычисленное по элементам другой выборки того же объёма,

Распределение χ2 Пирсона.
Выборочная дисперсия так же является случайной величиной меняющейся от выборки к выборки. 1) М(Х) – известно; 2) М(Х) – не известно. 1) Имеется случайная

Доверительный интервал.
Рассмотренные ранее оценки получили название точечных оценок. На практике широко используются интервальные оценки, для получения которых используется метод доверительных интервалов. В мето

Построение доверительного интервала для математического ожидания.
Случайная величина Х распределённая с параметрами (m, σ2). Математическое ожидание неизвестно и требуется построить для него доверительный интервал. 1. Известно &#

Проверка статистических гипотез.
Наряду с оценкой параметров распределения по выборочным данным большой интерес представляет вид (закон) распределения неизвестный на практике. Такие задачи решаются методами статиче

Проверка гипотезы о равенстве центров распределения математического ожидания 2-х нормальных генеральных совокупностей.
Задача имеет большой практический интерес. Достаточно часто наблюдается такая ситуация, что средний результат в одной серии эксперимента отличается от среднего результата в другой серии эксперимент

Однофакторный дисперсионный анализ.
Большое количество практических задач приводится к задачам однофакторного дисперсионного анализа. Типичным примером является работа технологической линии в составе которой имеется неск

Определение эмпирического корреляционного соотношения.
y – измеряемое значение зависимой переменной n – общее количество измерений

Коэффициент множественной корреляции
D* – это D с добавочными верхней строкой и правым столбцом, состоящих из свободных членов урав

Активный эксперимент
Ставится по плану. Достоинства: 1. Появляется четкая логическая схема всего исследования. 2. Повышается эффективность исследования. Оказывается возможным извлечь максимальное коли