рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Аксиоматика Д.Гильберта

Аксиоматика Д.Гильберта - раздел Математика, Геометрия Евклида Появилась В 1899 Г. И Считается Одним Из Современных Аксиоматических Обоснова...

Появилась в 1899 г. и считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов отношений между тремя геометрическими объектами – точками, прямыми и плоскостями. Отметим, что эти геометрические объекты – точки, прямые и плоскости никак не определяются, рассматриваются как первичные понятия, суть которых раскрывается через описываемые отношения. По типам отношений аксиомы образуют 5 групп и формируются следующим образом.

Группа 1. Аксиомы соединения. Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.

1. Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точкам.

2. Для любых двух различных точек существует не более одной прямой инцидентной этим точкам.

3. Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей инцидентные. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.

4. Для любых трех точек, не инцидентных прямой, существует плоскость, инцидентная этим точкам. Для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.

5. Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.

6. Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).

7. Если две плоскости имеют точку им инцидентную, то существует, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.

8. Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости.

Группа 2. Аксиомы порядка. Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования.

9. Если. А, В, С – три точки, инцидентные прямой, и точка В лежит между точками А, С, то: а) точки А, В, С различны; б) точка В лежит между точками С, A.

10. Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а такая, что точка В лежит между точками А и С.

11. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.

Для формулировки следующей аксиомы требуется дать некоторые определения, являющиеся логическими следствиями уже сформулированных аксиом 1–11.

Определение . Две точки на прямой А и В определяют отрезок.

Следствие. Согласно аксиомам 9–11 на этой прямой существуют точки, внешние и внутренние по отношению к отрезку АВ.

Определение. Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.

Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Геометрия Евклида

На сайте allrefs.net читайте: "Геометрия Евклида"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Аксиоматика Д.Гильберта

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Аксиома Паша
12. Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней мер

Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника. Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии. Определение движения. Взаимно одн

Группа 5. Аксиома параллельности
20. Через любую точку А, не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “

Два недостатка аксиоматики Д.Гильберта
Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недоста

Непротиворечивость системы аксиом
Система аксиом называется непротиворечивой, или совместной, если в теории этой системы невозможно доказать какое–нибудь утверждение А и его отрицание ùА. В противном случае сис

Независимость аксиоматической системы
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зави

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом
Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой струк

Интерпретация плоской геометрии Евклида
Рассмотрим множество всех прямых в пространстве, параллельных между собой (связку прямых), и множество всех плоскостей, параллельных хотя бы одной прямой связки [3,c 106-107] . Дадим катег

Числовая модель планиметрии
В аналитической геометрии на плоскости уже содержится числовая модель планиметрии; нужно только дать алгебраические определения основных объектов и отношений планиметрии [6, c 45-47]. Тогд

Интерпретация Федорова
Рассмотрим еще одну интерпретацию геометрии Евклида, принадлежащую русскому кристаллографу и геометру академику Евграфу Степановичу Федорову (1853 – 1919) [3,c 107-110]. Он составил такую модель. В

Аналитическая интерпретация геометрии Евклида
Введем основные объекты. Пусть «точками» будут упорядоченные пары действительных чисел (x, y). «Прямые» - отношения трех упорядоченных чисел (u:v:w), из которых u и v одновременно не равны н

Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида
Рассмотрим в плоскости Евклида множество всех прямых [7, c 264-265]. Выбрав в этой плоскости некоторую произвольную точку О в качестве центра инверсии с произвольным радиусом инверсии, преобразуем

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги