ВЛИЯНИЕ СПОСОБОВ ЗАКРЕПЛЕНИЯ КОНЦОВСТЕРЖНЯ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ

На рисунке 358 показаны различные случаи закрепления концов сжатого стержня. Для каждой из этих задач необходимо проводить свое решение аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе для шарнирно опертого стержня. Решение показывает, что для всех случаев, изображенных на рисунке 358, критическую силу можно определять по обобщенной формуле

(15.7)

где μ — так называемый коэффициент приведенной длины, а величина μl = 0 называется приведенной (свободной) длиной.

Свободная длина l₀ может быть истолкована как некоторая условная длина шарнирно опертого стержня, имеющего такую же критическую силу, как заданный стержень. В отдельных случаях это положение вытекает из чисто геометрического толкования.

Так, например, если стержень, заделанный одним концом, рассматривать как половину стержня, шарнирно опертого по концам, то l₀ = 21. Следовательно, μ = 2. Для стержня, заделанного двумя концами, длина полуволны, замеренная между двумя точками перегиба, составит половину длины стержня, следовательно, для этого случая μ = 0,5.

 

Рисунок 358

Пример. Рассмотрим пример вычисления критической силы для двутаврового стального стержня, заделанного одним концом (рисунок 359).

Пусть сечение представляет собой двутавр № 22, для которого по ГОСТу находим моменты инерции и площадь сечения: J_x= 2550 см⁴; Jу = 157 см⁴; F = 30,6 см². Модуль упругости стали Е= 2,1-10⁶ кгс/сm²; длина стержня l= 4 м = 400 см; коэффициент свободной длины для этого случая μ= 2. Естественно, что стержень теряет устойчивость в плоскости наименьшей жесткости, поэтому надо брать наименьший момент инерции. По формуле Эйлера вычисляем

Критическое напряжение

 

Рисунок 359

Как видно из полученного расчета, стержень теряет устойчивость при напряжениях, значительно меньших предела упругости и меньших основных допускаемых напряжении. Для обеспечения устойчивости стержня необходимо допускаемую силу брать меньше критической. Поэтому для данного стержня сжимающие напряжения должны быть меньше 166 кгс/см².

Применяя формулу Эйлера для определения критических сил сжатых стержней, следует считаться с возможностью различных форм потери устойчивости в главных плоскостях, которые зависят от способов закрепления стержня.

Если стержень закреплен так, что его свободная длина при изгибе в обеих главных плоскостях инерции одинаковая, то, вычисляя Ркр, необходимо брать наименьший момент инерции. Так, например, для колонны, заделанной одним концом и свободной на другом, потеря устойчивости произойдет в плоскости наименьшей жесткости, так как критическая сила, соответствующая изгибу в этой плоскости, будет наименьшей.

Если же стержень закреплен так, что при изгибе в одной плоскости коэффициент свободной длины μ₁ отличается от коэффициента свободной длины μ₂ при изгибе в другой плоскости, то необходимо определять две критические силы:

(15.8)

 

 

Рисунок 360

Здесь J₁ и J₂ — главные моменты инерции, взятые относительно главных осей.

Из двух найденных по формуле (15.8) критических сил для расчета принимается наименьшее значение.

В связи с этим возникает вопрос о рациональных типах поперечных сечений для сжатых стержней. Для случаев, когда μ₁ = μ₂, т. е. когда способ закрепления стержня обеспечивает одинаковую форму потери устойчивости в двух главных плоскостях инерции, рациональным сечением будет такое, у которого два главных момента инерции одинаковы. Так, например, если сечение состоит из двух швеллеров (рисунок 360), то расстояние между их центрами тяжести должно быть определено из условия

J_x = J_y.

Если для одного швеллера моменты инерции J_x1 и J_y1, а площадь сечения F₁, то для определения расстояния α можно написать следующее уравнение:

2J_x1=2[J_y1+F(a/2)²].

Во всех остальных случаях рациональным будет такое сечение, при котором равны между собой две критические силы:

P_1кр=P_2кр.

Учитывая выражение (15.8) для этих двух критических сил, получим следующее условие равноустойчивости:

J₁/μ² ₁=J₁/ μ² ₂

Однако практически при назначении размеров сжатых стержней принимается во внимание целый ряд соображений конструктивного характера, поэтому условие равноустойчивости стержня в двух направлениях учитывается по мере возможности.

В некоторых (редких) случаях встречаются такие способы закрепления концов стержня, при которых может произойти потеря устойчивости с одновременным изгибом оси стержня в двух плоскостях. Например, если по концам стержня поставлены цилиндрические шарниры, оси которых повернуты по отношению друг к другу на некоторый угол, не равный 90°, то потеря устойчивости сопровождается пространственной формой изгиба стержня. Подобного рода задачи обычно решаются в специальных курсах устойчивости сооружений.