Реферат Курсовая Конспект
Задача 8. - раздел Математика, ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ - II Исследовать Функцию ...
|
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, можно представить так:
Как видно, под знаком логарифма будет положительное число при любом значении аргумента x. Следовательно, областью существования данной функции служит вся числовая ось.
2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.
3. Установим четность и нечетность функции. Так как , то функция не является ни четной ни нечетной.
4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:
Знаменатель для любого x. Как видно, при первая производная отрицательна, а при положительна. При первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функция имеет минимум:
Итак, – точка минимума. Функция убывает на интервале и возрастает на интервале .
b) Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:
Разобьем всю числовую ось на три интервала: Как видно, в первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна, а во втором интервале положительна. При вторая производная меняет знак. Эти значения аргумента являются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:
Следовательно, мы получили точки перегиба графика функции - График является выпуклым в интервалах и вогнутым в интервале
c) Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты воспользуемся формулами:
Имеем
Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:
Итак, кривая не имеет асимптот. График исследуемой функции показан на рис.2.
рис.2
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
b) Функция терпит разрыв при . При всех других значениях аргумента она непрерывна.
c) Функция не является ни четной ни нечетной, так как
d) Исследуем функцию на экстремум. Используя второй достаточный признак экстремума: если в стационарной точке вторая производная отлична от нуля, то в этой точке функция имеет максимум, если вторая производная в этой точке <0, и минимум, если вторая производная в этой точке >0. Находим первую производную:
(1)
или
Как видно, первая производная равна нулю при и не существует при Так как при заданная функция не существует. То эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную:
Сократив на и выполнив преобразования в числителе, получим
(2)
Так как то при функция имеет максимум. Так как то при функция имеет минимум.
Вычислим значения функции в точках экстремума: Следовательно, точка (1;3) – точка максимума, а точка (3;7) – точка минимума.
b) Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в ноль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.
c) Определим асимптоты графика функции. есть уравнение вертикальной асимптоты. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:
Следовательно, - уравнение наклонной асимптоты. График исследуемой функции приведен на рис.3.
рис.3
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра высшей математики и информатики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задача 8.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов