ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ - II

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики и информатики

 

Л.А. Сараев, Ю.В. Хохрякова,

Е.А. Ильина, В.С. Глущенков

 

 

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ - II

 

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

  Издательство «Самарский университет» Учебное пособие содержит варианты контрольных заданий и рекомендации к их решению по курсу «Введение в математический…

Лекции

Числовая функция одной и нескольких переменных.

Предел последовательности.

Предел функции в точке и в бесконечности.

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величин, их связь с ограниченными величинами и величинами, имеющими конечный предел. Устойчивость знака.

Простейшие свойства бесконечно малых.

Простейшие свойства пределов.

Сравнение бесконечно малых. Предельный переход в неравенствах.

Признаки существования пределов.

Замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, произведения, частного, сложной функции, элементарных функций.

Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

Непрерывность функции на отрезке, свойства непрерывных на отрезке функций.

Производная и дифференциал функции одной переменной. Сводка правил вычисления производной.

Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

Производные сложных и неявных функций одной и нескольких переменных.

Производные и дифференциалы высших порядков функций одной и нескольких переменных.

Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора.

Возрастание и убывание функций. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума. Поиск глобального экстремума.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты кривой.

Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных.

Локальные экстремумы функции нескольких переменных.

Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов.

Производная по направлению. Градиент.

Приближенные методы поиска локальных экстремумов (релаксационный, градиентный, наискорейшего спуска, симплекс-метод).

Задачи линейного программирования. Общая и основная задача. Геометрическая интерпретация.

Двойственная задача линейного программирования, ее геометрическая интерпретация.

Задачи нелинейного и целочисленного программирования, экономическая и геометрическая интерпретация.

Условные экстремумы функций нескольких переменных. Метод Множителей Лагранжа.

Задачи выпуклого программирования. Градиентные методы.

 

Практические занятия

Вычисление пределов функций. “Первый замечательный предел”. “Второй замечательный предел”.

Тематика контрольных работ

Задача 1

    1. a) ; b) ; c) ; d) . 2. …  

Задача 2.

Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва;

Задача 3.

В задачах найти производную функции y, пользуясь правилами дифференцирования:   1.

Задача 4.

Найти для неявной функции: 1. ; 2. ;

Задача 5.

1. ; 2. ; 3. ;

Задача 6.

Найти приближенное значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций:   1. ;

Задача 7.

  1.   2.   3.   4. …

Задача 8.

Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование и построение графика рекомендуется проводить… 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;

Задача 9.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: 1. ; 2. ;

Задача 1.

a) ; b) ; c) ;

Задача 2.

Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти предел функции y при приближении аргумента x к точке разрыва слева и справа;

Задача 3.

а) ; б) ; в) ;

Задача 4.

Решение: Функция задана в неявном виде. Дифференцируем по обе части заданного… , откуда

Задача 5.

Решение: Зависимость между переменными задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти… .

Задача 6.

Решение: Применяем формулу ,

Задача 7.

a) b) c)

Задача 8.

  Решение:

Задача 9.

Решение: Находим критические точки

Литература

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1. – М., 1997.

Гусак А.А. Высшая математика. – Минск, 1998. – Т.1-2.

Кремер П.Ш. Высшая математика для экономистов. – М., 1999.

Щипачев В.С. Высшая математика. – М., 1998.

Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М., 1999.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. – М. – Т.1-2.

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.