Графическое представление информации - раздел Математика, Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения
Итак, Выборки Удобно Задавать С Помощью Таблиц. Но Мы Знаем, ...
Итак, выборки удобно задавать с помощью таблиц. Но мы знаем, что и для функций есть табличный способ их задания. Таблицы образуют «мостик», по которому от выборок данных можно перейти к функциям и их графикам.
Отложим по оси абсцисс значения из первой строки таблицы распределения, а по оси ординат – значения из ее второй строки. Построим соответствующие точки в координатной плоскости. Получим графическое изображение имеющейся информации – график распределения выборки. Часто, построенные точки для наглядности соединяют отрезками. То же самое можно сделать, заменив вторую строку таблицы распределения ее третьей строкой. Получится график распределения частот выборки. Термин «график распределения частот выборки» чаще заменяют более кратким – многоугольник частот или полигон частот. Собственно, роlуgоп и переводится как «многоугольник».
Пример 3. Постройте график распределения и многоугольник частот для следующих результатов письменного экзамена по математике:
| 6,
| 7,
| 7,
| 8,
| 9,
| 2,
| 10,
| 6,
| 5,
| 6,
|
| 7,
| 3,
| 7,
| 9,
| 9,
| 2,
| 3,
| 2,
| 6,
| 6,
|
| 6,
| 7,
| 8,
| 8,
| 2,
| 6,
| 7,
| 9,
| 7,
| 5,
|
| 9,
| 8,
| 2,
| 6,
| 6,
| 3,
| 7,
| 7,
| 6,
| 6,
|
Решение. Дана выборка объема 40. Ее ряд данных – 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Оценка в 2 балла встретилась пять раз. Значит, кратность варианты 2 равна 5. Сделав то же для других оценок, найдем их кратности. Они равны 5; 3; 2; 11; 9; 4; 5; 1. Можно себя проконтролировать, вычислив сумму кратностей всех рассмотренных вариант: 5 + 3 + 2 + 11 + 9 + 4 + + 5 + 1 = 40. Частота появления двух баллов равна 
0,125 или 12,5%. Вычислив остальные частоты, составляем таблицу и строим графики (см. рис. 6.1).
| Варианта
|
|
|
|
|
|
|
|
| Всего 8 вариант
|
| Кратность варианты
|
|
|
|
|
|
|
|
| Сумма = 40
|
| Частота варианты
| 0,125
| 0,075
| 0,05
| 0,275
| 0,225
| 0,1
| 0,125
| 0,025
| Сумма = 1
|
| Частота (%) варианты
| 12,5
| 7,5
|
| 27,5
| 22,5
|
| 12,5
| 2,5
| Сумма – 100%
|
Рисунок 6.1
По существу, различия этих трех графиков состоят только в выборе единиц измерения и масштаба по оси ординат. Для наглядного оформления (дизайна) информации в каждом конкретном случае приходится выбирать между этими тремя возможностями. Чаще всего в практических приложениях используют многоугольники частот в процентах. Для полноты картины можно было бы приведенные ломаные дополнить еще одной вершиной (4; 0), расположенной на оси абсцисс. Эта вершина соответствует тому, что в данной выборке отсутствует оценка в 4 балла.
Мы видим, что даже для малого объема выборки аккуратное «причесывание» информации – довольно кропотливая вещь. Вот более краткий, но менее точный способ.
Рисунок 6.2
Назовем оценки 2, 3, 4 «плохими», оценки 5, 6, 7 «средними», а оценки 8, 9, 10 «хорошими». Все «плохие» оценки принадлежат отрезку [2; 4], «средние» – отрезку [5; 7], а «хорошие» – отрезку [8; 10] (рис.). Тем самым мы разбили промежуток между самой маленькой и самой большой вариантой на участки и получили интервальный ряд данных: 2 – 4; 5 –7; 8 – 10.
| Варианта
| «Плохая»
| «Средняя»
| «Хорошая»
|
Для каждого участка сложим кратности вариант, попавших в него. Получим кратности каждого участка.
| Варианта
| «Плохая»
| «Средняя»
| «Хорошая»
|
| Кратность варианты
|
|
|
|
Теперь нарисуем три прямоугольника. Основание первого – это отрезок [2; 4], его площадь равна 8, т. е. равна кратности «плохой» варианты. Аналогично поступим с двумя другими вариантами. Получим столбчатую диаграмму, или гистограмму распределения (рис. 6.3).
Рисунок 6.3
Поделив высоты столбиков на объем всей выборки, получим другую столбчатую диаграмму – гистограмму распределения частот (рис. 6.4).
Рисунок 6.4
Как обычно, таблицу можно дополнить и третьей строкой, в которой частоты вариант выражены в процентах:
| Варианта
| «Плохая»
| «Средняя»
| «Хорошая»
|
| Кратность варианты
|
|
|
|
| Частота варианты
| 0,2
| 0,55
| 0,25
|
| Частота варианты (%)
|
|
|
|
На рисунке 6.5 приведена гистограмма распределения частот в процентах.
С одной стороны, в гистограмме потеряна первоначальная точная информация: мы не знаем, например, сколько именно человек получили 6 баллов. С другой стороны, ответ получается более быстро, и наглядно видна качественная оценка распределения данных. Примерно половина абитуриентов получила «средние» баллы, а «плохиши» и
Рисунок 6.5 «хорошисты с отличниками» поделились почти поровну. Для отчетов по результатам экзаменов такой вид исходной информации – в самый раз
Пример 4.Измерили длины слов (количество букв) в приведенном ниже отрывке из поэмы А. С. Пушкина «Медный всадник». Нужно построить гистограммы распределения кратностей и частот, выбрав интервалы 1 – 3, 4 – 6, 7 – 9 для вариант выборки.
| «…Ужасен он в окрестной мгле!
| 6,
| 2,
| 1,
| 9,
|
|
|
| Какая дума на челе!
| 5,
| 4,
| 2,
|
|
|
|
| Какая сила в нем сокрыта,
| 5,
| 4,
| 1,
| 3,
|
|
|
| А в сем коне какой огонь!
| 1,
| 1,
| 3,
| 4,
| 5,
|
|
| Куда ты скачешь, гордый конь,
| 4,
| 2,
| 7,
| 6,
|
|
|
| И где опустишь ты копыта?...»
| 1,
| 3,
| 8,
| 2,
|
|
|
Решение. Справа от текста вместо слов построчно записаны их длины. После подсчета составляем таблицу.
| Длина слова
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Всего 9 вариант
|
| Кратность
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Сумма = 30
|
Для нужных гистограмм составляем таблицу с меньшим числом вариант.
| Длины слов
| 1, 2 или 3
| 4, 5 или 6
| 7, 8 или 9
| Всего 3 варианты
|
| Кратности
| 5+4+3=12
| 7+4+3=14
| 2+1+1=4
| Сумма = 30
|
| Частоты (%)
|
| 46,66
| 13,33
| Сумма ≈ 100%
|
Осталось нарисовать гистограммы:
Рисунок 6.6
Все темы данного раздела:
Конфуций
Весь теоретический материал курса разбит на порции по темам и сопровождается задачами двух уровней сложности. Работа по усвоению нового учебного материала осуществляется следующим о
Сущность аксиоматического метода
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Оп
Предмет математики
Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных ре
Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
Роль математики в общечеловеческой культуре огромна. Обращаясь к истории философии, следует отметить, что ученые, создававшие математику Нового времени, рассматривали математическую
Пересечение множеств
Рассмотрим два множества: Х = {0, 1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3, 4}.
Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3}
Объединение множеств
Вновь возьмём множества Х = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4} и наряду с ними рассмотрим множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это множество содержит все элементы множества Х и все элементы м
Вычитание множеств
Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следую
Дополнение
В случаях, когда одно из множеств является подмножеством другого, А В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В'А
Формула Грассмана
Теория множеств используется при решении задач следующего вида:
В группе зверей 15 умных, 13 – красивых, и 8 мартышек. Сколько зверей в группе?
Ре
Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Конъюнкция обозначается или А&B; читается: «А и В».
Табли
Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Дизъюнкция обозначается и читается «А или В».
Таблица истинности для
Формулы логики высказываний
В логике высказываний – первом и основном разделе математической логики – элементарные высказывания рассматриваются как нерасчленяемые «атомы», а составные высказывания – как молеку
Никаких других формул в логике высказываний нет.
Определение такого вида называется индуктивным. В п.п. 1 и 2 определены элементарные формулы, в п.п. 3 и 4 даны правила образования новых формул из любых двух данных формул.
Простейшие комбинаторные задачи
Знакомство с новыми понятиями начнем с двух простых задач.
Пример 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?
Реш
Правила умножения и сложения
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех и
Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
В предыдущем параграфе все примеры и упражнения сводились к выбору одного элемента из данного множества и подсчету количества таких выборов. А если необходимо выбрать бо
Случайные события и их вероятности
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Например, многократное п
Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
3) найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
4) найти частное
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Пусть А и В – два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью с
Случайные величины
Случайная величина – переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 ч дня 1 июля в г. Новосибирске; номер грани, выпадающий при бро
Характеристики и параметры статистической совокупности
В результате непосредственных наблюдений, измерений или регистрации фактов получается множество данных, которые образуют статистическую совокупность и нуждаются в обработке, которая
Группировка информации в виде таблиц
Знакомство с элементами статистики начнем с конкретного примера.
В девятых классах «А» и «Б» измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты:
162, 168,
Гистограммы распределения большого объема информации
Гистограммы особенно незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел (сотни, тысячи и т. п.). В этих случаях обработчику информации в первую очеред
Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
В тех случаях, когда выборка задана распределением не кратностей, а распределением частот, удобно применять еще один способ подсчета среднего значения. Объясним его на том же примере.
Сложить все полученные произведения.
Таким образом, можем записать формулу для нахождения математического ожидания: , где хi
Экспериментальные данные и вероятности событий
В конце темы рассмотрим связь между вероятностями случайных событий и экспериментальными статистическими данными. А сделаем это на примере бросания монеты. Будем последовательно, че
Два подхода к построению моделей
Способов построения моделей существует великое множество, ибо, пытаясь разобраться в сложившемся положении вещей, можно совершенно по-разному упрощать его в надежде вскрыть суть явл
Три типа моделей
Различают три типа моделей – физические, аналоговые и математические модели.
Физические модели. Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта и
Основные этапы математического моделирования
1 Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д.
Задача о движении снаряда.
Рассмотрим следующую задачу механики.
Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/c под углом α = 450 к ее поверхности; требуется найти траектори
Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Требуется найти высоту h0 и радиус r0 жестяного бака объема V = 30 м3, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его пов
Транспортная задача.
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго – 70 т на заводы, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т.
Обозначим чере
Задача о радиоактивном распаде.
Пусть N(0) – исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) – количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменен
Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе А1, надо посетить города А2, А3 и А4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно
Построение модели.
Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между г
Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из п
Задача об определении надежности электрической цепи.
Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели (основные понятия теории вероятностей находятся в теоретическом разделе 5 темы).
Предположим, что в электрическую цепь последовательно включ
Задача о диете.
Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях, посоветовала ей перейти на рациональное питание, сост
Людвиг Бьорне
Самой древней математической деятельностью являлся счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, соп
Основной уровень
Задание 1. Принадлежат ли данному множеству объекты?
1.1 F – множество фруктов. Принадлежит ли этому множеству: а) яблоко; б) арбуз; в) груша; г) апельсин; д) морко
Повышенный уровень
Задание 1. Определите, принадлежат ли объекты данному множеству:
1.1 М – множество предметов спортивного инвентаря. Принадлежит ли этому множеству:
Основной уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
1.1 а) Кург
Повышенный уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
Основной уровень
Задание 1. Вычислите: а) , б)
Повышенный уровень
Задание 1. Вычислите: а) , б)
Основной уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное:
1.1 А = «день рождения моего друга – число, мен
Повышенный уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.
1.1 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшее
Основной уровень
Задание 1. После группировки данных эксперимента получилась таблица их распределения, с помощью которой: а) определите объем выборки; б) найдите наиболее часто встр
Повышенный уровень
Задание 1. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие. Для нее: а) выпишите ряд данных выборки; б) найдите объем выборки; в) определите кратность и частоту варианты «о»; г)
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (зачету)
1. Какие понятия называют основными неопределяемыми понятиями?
2. Что значит определить понятие?
3. Что такое аксиома, теорема?
4. Какие требования предъя
Новости и инфо для студентов