Арифметические вычисления. Проценты
Тема №1.
Арифметические вычисления. Проценты.
Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными дробями.
Дробью называется число, состоящее из нескольких долей единицы. Обыкновенной дробью называется число вида , где натуральное число n показывает, на… Если числитель меньше знаменателя, то обыкновенная дробь называется… Например, - правильные обыкновенные дроби, - неправильные обыкновенные дроби, 1- смешанное число.Дидактический материал.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями.
Например, ; ; . 2º. Правила арифметических действий над десятичными дробями: a) При сложении (вычитании) десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были…Дидактический материал.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;Процент. Основные задачи на проценты.
2º. При решении основных задач на проценты (нахождение процентов данного числа; нахождение числа по его процентам) некоторая величина b… . Из этой пропорции по двум известным величинам определяют искомую третью величину, пользуясь основным свойством…Дидактический материал.
а) 4% от 75; б) % от 330; в) 160% от 82,25. 2) Найдите число, если: а) 40% его равны 12; б) 1,25 % его равны 55; в) 0,8% его равны 1,84; г) % его равны .Тема №2.
Уравнения. Модуль числа.
Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений.
Множество всех значений неизвестного х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения или областью… Число х из ОДЗ уравнения называется корнем ( или решением) уравнения, если при… 2º. Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным.
Для линейного уравнения могут представиться три случая: 1) a ≠ 0; в этом случае корень уравнения ; 2) a = 0, b ≠ 0; тогда получаем уравнение , которое не имеет корней;Квадратные уравнения.
Корни квадратного уравнения находят по формуле: . Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если коэффициент а ≠ 1 – неприведенным. …Квадратичная функция, ее график.
2º. Графиком функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы. Координаты вершины параболы определяются по формулам: .Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
. Геометрический смысл модуля: |a| есть расстояние от точки числовой оси,… 2º. Уравнения вида можно решать геометрически.Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;Тема №3.
Степени и корни.
Степень с целым показателем.
1) если n = 0, а ≠ 0: ; 2) если : ; 3) если а ≠ 0: .Арифметический корень. Степень с рациональным показателем.
2º. Замечание. Для любого действительного числа а, любого натурального… в частности .Формулы сокращенного умножения.
; ; ; ; ;Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;Тема №4.
Неравенства с одной переменной (часть I).
Решение линейных и квадратных неравенств.
Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность… 2º. Линейным неравенством называется неравенство вида , где. Если a > 0, то .Метод интервалов.
2º. Для решения любых алгебраических уравнений вида (1)или вида (2) , где x1, x2, …, xn – действительные числа,… Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x1, x2, …, xn, в промежутке справа от xn ставят знак…Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. . Решите системы неравенств:Тема №5.
Неравенства с одной переменной (часть II).
Неравенства, содержащие знак модуля.
а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x); б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x). 2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно использовать следующие соотношения:Множество значений функции.
2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток ,… Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R. 3º. Области значений основных элементарных функций:Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ;Тема №6.
Иррациональные уравнения.
1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в… 2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;Тема №7.
Показательные уравнения.
Методы решения показательных уравнений.
Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их… 2º. Основные способы решения показательных уравнений: 1) простейшее уравнение имеет решение ;Классификация показательных уравнений.
1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.
Пример 18. Решить уравнение 
.
Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: 
.
2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени.
Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду 
, которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.
Пример 19. Решить уравнение: 
Решение:
.
3. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки.
Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.
Пример 20. Решить уравнение 
.
Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:
.
Пример 21. Решить уравнение 
Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:
.
4. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям.
К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:
а) вида 
подстановкой 
, при этом 
;
б) вида 
подстановкой , при этом 
.
Пример 22. Решить уравнение 
.
Решение: Сделаем замену переменной 
и решим квадратное уравнение:
.
Ответ: 0; 1.
5. Однородные относительно показательных функций уравнения.
Уравнение вида 
является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных ax и bx . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на 
и последующей подстановкой 
к квадратным уравнениям.
Пример 23. Решить уравнение 
.
Решение: Разделим обе части уравнения на 
:
.
Положив 
, получим квадратное уравнение 
с корнями 
.
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
. Из первого уравнения находим, что 
. Второе уравнение не имеет корней, так как 
при любых значения x.
Ответ: -1/2.
6. Рациональные относительно показательных функций уравнения.
Пример 24. Решить уравнение 
.
Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3x и получим вместо двух – одну показательную функцию:
7. Уравнения вида 
.
Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием 
, логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению 
, которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений 
или 
.
Пример 25. Решить уравнение: 
.
Решение:
.
Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.; 7. ; 8. ;Тема №8.
Показательные неравенства.
1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством. 2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих… если , то неравенство равносильно ;Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?Тема №9.
Логарифмы.
1º. Логарифмом числа b по основанию a (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b. Логарифм числа b по основанию a обозначается символом logab. В записи logab… Равенство означает, что .Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;Тема №10.
Преобразование тригонометрических выражений.
1º. На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку A(1;0).… Косинусом угла α называется абсцисса точки М: . Синусом угла α называется ордината точки М: .Дидактический материал.
Вычислите: , если ; , если ; , если . Упростите выражение: ; 13. ; ; 15. ; ; ; 18. ; . Преобразуйте в произведение: ; .Тема №11.
Тригонометрические уравнения.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
2º. Формула для корней уравнения , где , имеет вид: . Уравнение при решений не имеет.Основные методы решения тригонометрических уравнений.
Пример 40. Решить уравнение. Решение:Таблица значений тригонометрических функций.
| Аргумент Функция | 
| 
| 
| 
| π | 
| 2π | |
| 
| 
| 
| -1 | ||||
|
|
|
| -1 | ||||
| 
| 
| — | — | ||||
| — |
|
| — | — |
Дидактический материал.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;Тема №12.
Решение геометрических задач.