Решение задачи № 4

Напомним одно из определений производной и ее геометрический смысл.

Определение.Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Функция имеет производную в точке если она допускает следующее представление

где

или, что то же самое,

непрерывна в точке и

График линейной функции

где

есть прямая, которая называется касательной к графику функции в точке

Если касательная составляет угол с положительным направлением оси то число и называется угловым коэффициентом (или наклоном) касательной (см. рис. 1).

Число же

указывает ошибку, которую мы допускаем, если при вычислении значения в точках , близких к , заменяем график функции её касательной в точке

Приступим к решению нашей задачи. Для этого найдем координаты точки касания Так как одновременно является точкой пересечения параболы с осью то абсцисса и, следовательно, ордината точки касания

Найдем угловой коэффициент касательной Для этого вычислим производную и найдем ее значение в точке , таким образом,

Уравнение касательной к параболе в точке с угловым коэффициентом будет иметь вид

или

Осталось построить параболу и ее касательную в декартовой системе координат.

Прямую строим по двум точкам и (см. рис. 2).

Парабола имеет вершину в точке и ее ветви направлены вверх. Прямая является осью симметрии параболы.

Решение задачи № 5

Условимся, что при решении задач, использующих размерные величины, будем применять основные единицы измерения международной системы СИ.

Напомним механический смысл первой и второй производных.

Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль прямой (прямолинейное движение). Под частицей понимается тело, размерами которого можно пренебречь, так что его можно считать математической точкой. Выберем на прямой, по которой движется наша точка, точку и положительное направление. Длину будем измерять в метрах, а время в секундах. Выберем, далее, момент времени, начиная с которого отсчитывается время.

Таким образом, предполагаем, что частица движется вдоль числовой прямой и это движение описывается функцией сопоставляющей каждому моменту времени координату частицы в этот момент.

Тогда

скорость частицы есть первая производная пути по времени: