Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида
Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида - раздел Математика, Частные производные 2-го порядка Ряды Бывают: Сходящиеся И Расходящиеся.
Если В Ряде A1...
Ряды бывают: сходящиеся и расходящиеся.
Если в ряде a1+a2+…+an+… (1) взять сумму первых n-слагаемых, то получим n-ую частичную сумму ряда (Sn)
Sn=a1+a2+…an(2)
Ряд (1) называется сходящимся, если сущ-ет конечный предел при n→∞, n-ой частичной суммы ряда, т.е.: =S (*), т.к. предел существует и конечен, то он = константе S.
Теорема: для сходящегося ряда справедлива формула S=Sn+Rn, где Rn– n-ый остаток ряда, предел которого при n→∞равен 0.
Доказательство: рассмотрим ф-лу (1) в развернутом виде:
a1+a2+…+an+an+1+an+2+…=Sn+Rn
Sn Rn
Возьмем предел от суммы:
= + = = S
Т.к. ряд сходится, то справедлива ф-ла (*),значит = S.
S=Sn+Rn(3)
Т.к. S- константа, то по т. о пределе константы:
В ф-ле (3) S - называется суммой ряда
Sn – энная частичная сумма ряда
Rn – энный остаток ряда
Примером ряда может служить сумма бесконечная геометрическая прогрессия вида:a+ aq+aq2+…+aqn-1+… = , a≠0
Вычислим для данного ряда S, для этого рассмотрим Sn:
Sn = a+aq+aq2+…+aqn-1 =
Для того что бы найти S и сделать вывод о сходимости или расходимости ряда вычислим предел Snпри n→∞:
=
Вычисление предела зависит от того, какое значение принимает q.
Рассмотрим три случая:
1. │q│>1, ∞
2. │q│<1,
3. │q│=1, при q=-1,предел не существует
При q=1, = = ∞
Вывод:беск. сумма прогр. сходится к числу , при │q│<1; беск. сумма прогр. расходится в случае │q│≥1.
Далее рассмотри гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + 1/4 + … +1/n+…
an = =0
Еслиlim общ.члена ряда при n→∞равен 0, то о сходимости ряда ничего неизвестно, т.е. нужны дополнительные исследования.
Рассмотрим НИ II Они возникают если пытаться на конечном отрезке интегрирования a b интегрировать разрывную подынтегральную функцию... Пример dx... Интеграл вычислен с ошибкой Подынтегральная функция y в точке имеет разрыв рода принадлежит Т е...
Частные производные 2-го порядка.
Пусть в некоторой окрестности точки (x0 ,y0) задана функция f(x,y). Фиксируя переменную y(y=y0), получим функцию одной переменной x: f(x,y
Дифференциального уравнения II порядка.
y’’ + py’ + qy =f(x) (1)
если f(x)=0, то уравнение называется однородным.
В случае если у однородного уравнения p(x) и q(x)- const.
То уравнение примет вид y’’ + py’ + qy
Метод вариации произвольной постоянной.
y’’ + py’ + qy = f(x) (1)
Для решения (1) Ла Гранже и был предложен универсальный метод. суть: он предложил искать решение неоднородного ур-я в том же виде что и решение соотв. однородного
Признаки сравнения для знакоположительных рядов.
Теорема 1(признак сравнения):
Если даны 2 ряда: 1) , ; 2) , n= 1, 2,…
для которых , то 1ый ряд наз-сяможарируемым, а 2ой – можарантным.
Если 2ой ряд сход-ся, то сход-ся и
Свойства определенного интеграла.
Значение опред. и-ла – это число(любое).
1. Значение опред. и-ла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т. е. .
2. 0. В граф.иллюстрации этого случ
Формула Ньютона-Лейбница
Связь м/ду понятиями неопред. и опред.Иустанов.в теореме Ньютона-Лейбница.Если у=f(х)непрерывна на конечном отрезке[а;в] иF(х)-некоторая первообразная для f(х),то (1): =F(x)│а
Замена перемен. в опред.И.Интегрир.по частям
Пусть ф-ция х=φ(t)определена,непрерывна,дифиринцирована,монотонна на отр.[α;β]. φ(α)=а,φ(β)=в. f(х)непрерывна на отр.[а;в],тогда = ∙φ،
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов