Реферат Курсовая Конспект
Тема 6 Производная и дифференциал - Методические Указания, раздел Математика, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Пискунов, Гл. Iii, § 1—3, Упр. 1—4, 7—9; §4—8, Упр. 10—25; §9, Упр. 28...
|
Пискунов, гл. III, § 1—3, упр. 1—4, 7—9; §4—8, упр. 10—25; §9, упр. 28, 30, 36, 39—47, 50; § 10, упр. 51—55, 60, 63, 66, 68—73, 79—85, 110—112; § 11, упр. 142—150; § 12—15, упр. 116—121, 127, 128; § 16—18, упр. 152—155; § 20—21, упр. 162—170; § 22—25, упр. 172, 173, 180, 195, 196, 201, 202, 204; § 26, упр. 207, 212, 214—216, 220.
Пискунов, гл. IV, § 1—3, упр. 1—7, 9, 10; § 4—5, упр. 18—30, 34— 36, 38—40; § 6—7, упр. 53—55.
Разберите решения задач 13 —17 из данного пособия.
Задача 13.Найти производные следующих функций:
а) б) в)
г) ; д) ; е) .
Решение: При нахождении производных функций используем правила дифференцирования и таблицу основных элементарных функций.
Правила дифференцирования:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. .
Таблица производных основных элементарных функций:
Производные основных элементарных функций | Производные сложных функций |
а) Пользуясь правилом логарифмирования, корня и дроби, преобразуем правую часть:
Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:
б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:
Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:
откуда
в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем
Из полученного равенства, связывающего х, у и находим производную у':
откуда
г) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов
д) воспользуемся правилом дифференцирования частного, получаем: .
е) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
.
Задача 14. Найти производную второго порядка
а) б)
Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
откуда (1)
Снова дифференцируем по х обе части (1):
(2)
Заменив у' в (2) правой частью (1), получим
б) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную у', находим сначала дифференциалы dy и dx, а затем берем их отношение:
Тогда
Производная второго порядка Следовательно, чтобы найти у", надо найти дифференциал dy':
Тогда
Задача 15. Найти приближенное значение функции
при , исходя из ее точного значения при х1 = 6.
Решение: Известно, что дифференциал dy функции y=f(x) представляет собой главную часть приращения этой функции Если приращение аргумента по абсолютной величине достаточно мало, то приращение приближенно равно дифференциалу, т.е. Так как а , то имеет место приближенное равенство:
Пусть , т.е. .
Тогда
(1)
Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при х=х2, если известно значение функции и ее производной при х = х1.
Прежде чем воспользоваться приближенным равенством (1), находим числовое значение производной у' при х = 6:
или
Применяя (1), получим
Задача 16. Найти приближенное значение величины tg 47°.
Решение: Применяем формулу (1) задачи 15.
Рассмотрим функцию . Дифференциал ее равен Так как то положим и Приращение или в радианном измерении Следовательно,
Задача 17. Дана парабола и радиус окружности R=10, центр которой находится в начале координат.
Требуется: 1) найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения.
Решение: 1) Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: , где R – радиус окружности. Следовательно, есть уравнение данной окружности.
Чтобы найти точки пересечения данных кривых, решаем совместно систему:
В результате находим, что парабола и окружность пересекаются в двух точках: А(–8; –6) и В(8; –6) (рис. 7).
2) Известно, что угловой коэффициент касательной к кривой у=f(x) в точке лежащей на этой кривой, равен значению производной в точке касания, то есть
Для определения угловых коэффициентов касательных к параболе в точках А и В находим производную у':
Следовательно, и
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид
(1)
Подставив в (1) координаты точки А и значение углового коэффициента получим уравнение касательной к данной параболе в точке А:
Подставив в (1) координаты точки В и получим уравнение касательной к данной параболе в точке В:
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали к кривой у = f(x) в точке имеет вид
(2)
Подставив в (2) координаты точки А и kA = 2, находим уравнение нормали в точке А: х+2у+20 = 0. Аналогично находим уравнение нормали в точке В: х – 2у – 20 = 0.
3) Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Под углом между двумя кривыми в точке их пересечения понимается угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке пересечения. Так как заданные кривые являются симметричными относительно оси ординат, то острые углы, образуемые данными кривыми в точках их пересечения, будут равны между собой. Поэтому достаточно найти угол между касательными к параболе и к окружности только в одной точке, например в точке А.
Определим угловой коэффициент касательной АЕ, проведенной к окружности в точке А(– 8; – 6):
Из аналитической геометрии известно, что угол между двумя прямыми определяется по формуле
(3)
Положив в (3) и получим:
Таким образом, острый угол , образуемый параболой и окружностью в точке пересечения А, составляет приближенно 63° 26'.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Н Л ГАМЕРШМИД Г В ПРУСАКОВА... МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тема 6 Производная и дифференциал
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов