АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

 

Методическое ПОсобие по ДИСЦИПЛИНе

 

Дисциплина __ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ___________________________

(наименование дисциплины в соответствии с ФГОС ВПО и учебным планом)

 

Укрупненная группа 010000 Физико-математические науки и фундаментальная информатика

 

Направление

 

010100 Математика

010200 Математика и компьютерные науки

010600 Механика и математическое моделирование ________________________________________________

Факультет __ Математики и информатики ____________________

 

Кафедра _____ алгебры и математической логики_______________

 

Красноярск

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МОДУЛЬ I

ЗАНЯТИЕ 1

Аксиоматика Гильберта и векторная алгебра

Основные определения

B C

A D

Из рисунка видно, что имеют место соотношения

Поэтому

, .

Решая эту систему, получаем, что

, , , .

 

Задача 2. В треугольнике проведены медианы и . Представить векторы и в виде линейных комбинаций векторов и

Задача 3. Точки и служат серединами сторон и четырехугольника (плоского или пространственного). Доказать, что . Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции.

Задача 4. Точки и служат серединами сторон и параллелограмма . Выразить векторы и через векторы и .

Задача 5. На стороне параллелограмма отложен отрезок , а на диагонали - отрезок . Доказать, что векторы и коллинеарны, и найти отношение .

Задача 6. Из точки О выходят два вектора, и . Найти какой-нибудь вектор , идущий по биссектрисе угла .

 

 

ЗАНЯТИЕ 2

Базис, координаты векторов

Выражение вида будем называть линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Если все коэффициенты линейной комбинации равны 0, то будем называть… Система векторов называется линейно зависимой, если существует некоторая… Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации…

ЗАНЯТИЕ 3

Системы координат на плоскости и в пространстве

  Основные определения  

ЗАНЯТИЕ 4

Проекции. Скалярное произведение векторов

Основные определения    

ЗАНЯТИЕ 5

Векторное и смешанное произведение векторов

Основные определения    

ЗАНЯТИЕ 6

Замена декартовой системы координат

  Основные утверждения  

МОДУЛЬ II

ЗАНЯТИЕ 7

Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей

  Основные определения  

ЗАНЯТИЕ 8

Уравнения прямых на плоскости

  Основные типы уравнений прямой линии  

ЗАНЯТИЕ 9

Плоскость в пространстве

  Основные типы уравнений плоскости  

ЗАНЯТИЕ 10

Прямые в пространстве

  Основные типы уравнений прямой линии

МОДУЛЬ III

ЗАНЯТИЕ 11

Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости

  Основные определения

ЗАНЯТИЕ 12

Классификация кривых второго порядка на плоскости

 

Основные утверждения

Пусть в декартовой системе координат задано уравнение

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + Ey + f =0.

Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой

это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

 

1. – эллипс.

2. – мнимый эллипс (пустое множество).

3. a² x²+b²y² = 0 – пара мнимых пересекающихся прямых 1 точка.

4. – гипербола.

5. a² x²-b²y² = 1 – пара пересекающихся прямых.

6. у² ='2рх – парабола.

7. у² – а² = 0 – пара параллельных прямых.

8. y² + а² = 0 – пара мнимых пересекающихся прямых (пустое множество).

9. у ² = 0 – пара совпавших прямых.

 

Задача 101 (с решением). Пусть в некоторой прямоугольной системе координат кривая второго порядка задана уравнением

.

Найти ее канонический вид и каноническую систему координат.

Решение. Здесь A=5, B=2, C=8. В данном случае и поэтому надо осуществлять поворот исходной системы координат на угол, который определяется условием

или

Известна связь между и :

откуда получаем уравнение

Для имеем 2 значения Выберем одно из них, например,

Для того, чтобы применять формулы связи координат одной и той же точки при повороте одной прямоугольной системе координат относительно другой:

надо знать такие функции угла поворота φ, как и. Вспоминаем формулы связи между

Можно брать либо обе формулы со знаком +, либо со знаком -.

Имеем в данном случае при выборе знака +:

Итак, связь координат осуществляется по формуле

В этой новой системе координат имеем уравнение

Раскрываем скобки: Выделяем полные квадраты:

Если ввести новые переменные то в этих переменных наше уравнение имеет канонический вид

Для того, чтобы построить график данной кривой, вычисляем связь между координатами в исходной системе координат и самой последней из рассмотренных:

Эти формулы говорят о том, что начало новой системы координат имеет во второй системе координат координаты (2,3), базисные векторы имеют во втором базисе координаты .

Для более точного изображения эллипса в старой системе координат найдем его точки пересечения с осями координат: при x=0

имеем 2 точки пересечения; если положить y=0, то точки пересечения определяются из уравнения

точек пересечения с осью абсцисс нет.

Задача 102. Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

1)

2)

 

 

ЗАНЯТИЕ 13

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

  Основные определения

O Y

X

 

Задача 104.( с решением) Выяснить, какие линии получаются при сечении поверхности однополостного гиперболоида

плоскостью x=const, z=const.

Решение. При z=const= z₀ получаем в сечении эллипс

в случае z₀=0 так называемый горловой эллипс

Рассмотрим теперь сечение плоскостью x=const=x₀.Если , то получаем гиперболу с действительной осью OY

. При x₀=2 получаем уравнение двух прямых., целиком лежащих на поверхности гиперболоида

Если , то имеем гиперболу с действительной осью OZ

Примечание. В случае, если плоскость координат не параллельна координатной плоскости, для определения вида кривой второго порядка, получающейся в сечении, надо перейти в прямоугольную систему координат, связанную с секущей плоскостью.

Задача 105. Написать уравнение сферы:

1) с центром в точке и радиусом;

2) с центром в точке и радиусом 1.

Задача 106. Найти ось вращения поверхности, изобразить поверхность

Задача 107. Найти уравнение поверхности, получаемой вращением параболы

1) вокруг оси ; 2) вокруг оси

Задача 108. (с решением) Доказать, что уравнение в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением прямой круговой цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OZ, причем плоскость XOY пересекает эту поверхность по окружности C радиуса a с центром в начале координат.

Решение.В самом деле, координаты точки M(x,y,z) удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда координаты проекции точки M на плоскость XOY удовлетворяют этому уравнению, а это значит, что точка M лежит на поверхности, заданной уравнением тогда и только тогда, когда ее проекция на плоскость XOY лежит на окружности C .

Значит, есть уравнение цилиндрической поверхности ,

описанной выше.

 

Задача 109. Найти уравнение прямого кругового цилиндра радиуса с осью

Задача 110. Найти уравнение конуса с вершиной в точке касающегося сферы
.

Задача 111. Найти уравнение конуса с вершиной в точке и направляющей – окружностью .

Задача 112. Найти прямолинейные образующие параболоида , пересекающиеся в точке .

Задача 113. Найти центр и радиус окружности

Задача 114. ( с решением). Выяснить, какие линии получаются при сечении поверхности однополостного гиперболоида

плоскостью x=const, z=const.

Решение. При z=const= z₀ получаем в сечении эллипс

в случае z₀=0 так называемый горловой эллипс

Рассмотрим теперь сечение плоскостью x=const=x₀.. Если , то получаем гиперболу с действительной осью OY

. При x₀=2 получаем уравнение двух прямых., целиком лежащих на поверхности гиперболоида

Если , то имеем гиперболу с действительной осью OZ

Примечание. В случае, если плоскость координат не параллельна координатной плоскости, для определения вида кривой второго порядка, получающейся в сечении, надо перейти в прямоугольную систему координат, связанную с секущей плоскостью.

 

 

МОДУЛЬ IV

ЗАНЯТИЕ 14

Преобразования плоскости

  Основные определения

ЗАНЯТИЕ 15

 

 

Афффинные преобразования и классификация поверхностей второго порядка

 

Задача 119. Доказать, что линейное преобразование плоскости тогда и только тогда будет аффинным, когда образ каждого ненулевого вектора будет отличен от нуля.

Задача 120 (с решением). Найти инвариантные прямые линейного

преобразования, заданного формулами

Образом прямой при таком преобразовании является прямая

или . По условию, она должна совпасть с исходной прямой .Две прямые совпадут при условии пропорциональности входящих в их уравнения коэффициентов, т. е.

при условии , , если и условии, если a=0. Таким образом имеем 2 решения: или для первого случая и для второго.

Задача 121. Записать формулы, задающие произведение и данных аффинных преобразований (система координат общая декартова)

1)

2)

.

Задача 122. Записать формулы, задающие преобразование, обратное к данному (система координат общая декартова), если такое преобразование существует.

1)

2)

3)

4)

Задача 123. Доказать, что:

Если А и В — две различные неподвижные точки аффинного преобразования, то и все точки прямой АВ неподвижны;

2) если аффинное преобразование f имеет единственную неподвижную точку, то все инвариантные прямые (если они существуют) проходят через эту точку;

3) точка пересечения двух инвариантных прямых аффинного преобразования неподвижна.

Задача 124. Записать формулы, задающие произведение и данных аффинных преобразований (система координат общая декартова)

1)

2)

.

 

ЗАНЯТИЕ 16

Элементы вычислительной геометрии. Триангуляция Делоне

Основные алгоритмы вычислительной геометрии

Приведём часто встречающиеся задачи вычислительной геометрии и коротко обсудим их решение.

Отсечение отрезка.

Необходимость отсечения выводимого изображения по границам некоторой области встречается довольно часто. В простейших ситуациях в качестве такой области, как правило, выступает прямоугольник

Ниже рассматривается достаточно простой и эффективный алгоритм отсечения отрезков по границе произвольного прямоугольника.

Четырьмя прямыми вся плоскость разбивается на 9 областей . По отношению к прямоугольнику точки в каждой из этих областей расположены одинаково. Определив, в какие области попали концы рассматриваемого отрезка, легко понять, где именно необходимо произвести отсечение.

 

Классификация точки относительно отрезка

Рассмотрим следующую задачу: на плоскости заданы точка и направленный отрезок. Требуется определить положение точки относительно этого отрезка

 

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы точка и прямая АВ, где , и требуется найти расстояние от этой точки до прямой.

Найдем длину отрезка АВ: Опустим из точки С перпендикуляр на АВ. Точку Р пересечения этого перпендикуляра с прямой можно представить параметрически

где

Положение точки С на этом перпендикуляре будет задаваться параметром s, s < 0 означает, что С находится слева от АВ, s >0, что С - справа от АВ и s = 0 означает, что С лежит на АВ.

Для вычисления S воспользуемся следующей формулой: и тогда искомое расстояние PC = sl.

 

Нахождение пересечения двух отрезков

Если отрезки АВ и CD пересекаются, то Перепишем это векторное соотношение в…

Проверка принадлежности точки многоугольнику

Для решения этой задачи выпустим из точки А(х,у) произвольный луч и найдем количество точек пересечения этого луча с границей многоугольника. Если… Ясно, что для любого многоугольника всегда можно построить луч, не проходящий… Возьмем луч, выходящий из произвольной точки А, и рассмотрим, к чему может привести прохождение луча через вершину…

Вычисление площади многоугольника

Для площади s(P) многоугольника Р, образованного вершинами справедлива следующая формула: Эта формула дает площадь многоугольника со знаком, зависящим от ориентации его вершин. В случае, когда вершины упорядочены в направлении против часовой стрелки, s(P) < 0.

 

Построение выпуклой оболочки

Один из способов построения выпуклой оболочки конечного набора точек S на плоскости напоминает вычерчивание при помощи карандаша и линейки. Вначале… Основным шагом алгоритма является отыскание точки, следующей за точкой, вокруг… Временные затраты данного алгоритма равны где h - число вершин в границе искомой выпуклой оболочки. Работа данного…

ЗАНЯТИЕ 17

Элементы вычислительной геометрии. Диаграмма Вороного

 

Построение триангуляции Делоне

Любой набор точек (за исключением некоторых тривиальных случаев) допускает более одного способа триангуляции. Однако при этом выполняется следующее… Среди всех возможных триангуляции выделяется специальный вид - так называемая… Для .упрощения алгоритма триангуляции сделаем два предположения относительно набора S: 1) чтобы триангуляция вообще…

Литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 2000.

2. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979.

5.Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2002.

6. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2001. 495 с.