Реферат Курсовая Конспект
Проекции. Скалярное произведение векторов - раздел Математика, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Основные Определения ...
|
Основные определения
Число, равное будем называть скалярным произведением векторов и , обозначая его (,).
Примечание. Скалярное произведение является числовой функцией двух векторных аргументов.
Система векторов называется ортогональной, если скалярное произведение любых двух векторов и , при равно нулю.
Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы имеют единичную длину.
Основные утверждения
Скалярное произведение как функция двух векторных аргументов обладает следующими свойствами:
1) - симметричность;
2) - линейность;
3) – положительная определенность.
Обратно, любая действительная функция двух векторных аргументов на плоскости или в пространстве, удовлетворяющая свойствам (1)-(3) совпадает со скалярным произведением.
Для любых двух векторов и справедливы утверждения:
1) (отметим, что нулевой вектор будем считать перпендикулярным ко всем векторам);
2)
3) , здесь - угол между векторами и ;
4) если - ортогональная проекция вектора на ненулевой вектор , то;
5) если - ортонормированный базис и координатные строчки векторови в этом базисе и соответственно, то
Если – ортонормированный базис и – произвольный вектор, то
Задача 24. Дан равносторонний треугольник , длины сторон которого равны 1. Вычислить выражение
Задача 25. В треугольнике проведены медианы . Вычислить выражение
Задача 26. Найти скалярное произведение векторов и , если:
1) ;
2) ;
3) ;
4) и сонаправлены;
5) и противоположно направлены.
Задача 27. Найти скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами:
1) ;
2) ;
3) .
Задача 28. Найти угол между векторами и , заданными своими координатами:
1) ;
2)
Задача 29. Найти расстояние между точками и , заданными своими координатами:
1)
2)
Задача 30. Дан вектор . Найти ортогональную проекцию вектора на прямую, направление которой определяется вектором , и ортогональную составляющую вектора относительно этой прямой, если вектор имеет координаты:
Задача 31. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения , а также его частного решения, коллинеарного вектору :
1) в плоском случае;
2) в пространственном случае.
Задача 32. Дан произвольный тетраэдр . Доказать: если перпендикулярны ребра и и ребра и , то ребра и также перпендикулярны.
Задача 33. Найти сумму векторов, являющихся ортогональными проекциями вектора на стороны квадрата.
Задача 34. Найти из условия , где – некомпланарные векторы.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... Сибирский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Проекции. Скалярное произведение векторов
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов