Числовые характеристики случайной величины

 

1) Введение

2) Математическое ожидание

3) Дисперсия

 

j

Характеристиками СВ являются их функции распределения вероятностей или плотности. Но при расчетах не всегда удобно пользоваться этими характеристиками, т.к их точные выражения могут быть либо неизвестными, либо иметь сложный вид. Многие задачи можно решать не используя эти функции, т.к статистические свойства СВ описываются на основе числовых характеристик этих СВ.

К основным из них относятся:

- математическое ожидание (а также мода, медиана);

- дисперсия ( + среднее квадратическое отклонение);

- центральные и начальные моменты любого порядка.

 

k

Определение: математическим ожиданием ДСВ X называется сумма произведений всех возможных значений этой СВ на соответствующие вероятности.

 

x	x1	…	xn
pi	P1	…	pn

M(x) = m (x) = m_X = = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n .

Замечание:

В том случае, когда ДСВ X принимает бесконечное счетное множество значений

 

x	x1	x2	…	xn	…
pi	p1	P2	…	pn	…

 

Математическое ожидание M(X) = при условии, что ряд сходится.

Выясним вероятностный смысл математического ожидания.

Предположим, что произведено k испытаний, в результате которых СВ X приняла n значений: x₁, x₂, … , x_n; соответственно m₁, m₂, … , m_n раз.

Найдем среднее значение .

m₁ + m₂ + … + m_n = k

 

.

- относительная частота события, равная p_i^*

M(X).

Следовательно, математическое ожидание ДСВ приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений ( с увеличением k точность этой формулы возрастает, поэтому математическое ожидание иногда называют ее средним значением).

Математическое ожидание есть среднее значение СВ, вокруг которой группируются все значения этой СВ.

.

Пусть X – НСВ и f(x) – функция плотности распределения вероятностей этой СВ.

Определение: математическим ожиданием НСВ X, для которой функция f(x) является функцией плотности распределения вероятностей, называется интеграл при условии, что сходится.

Это определение является обобщением предыдущего определения, где роль суммы в данном случае играет интеграл.

Замечание:

Таким образом, математическое ожидание характеризует среднее значение СВ.

 

Свойства математического ожидания:

1) M(X+Y) = M(X) + M(Y)

Доказательство:

Предположим, что X и Y – ДСВ и они независимы

Определение: несколько СВ называются взаимнонезависимыми, если законы распределения любого числа из этих СВ не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Пусть

X	x1	x2	…	xn
pi	p1	P2	…	pn

 

 

Y	y1	y2	…	yk
gj	g1	g2	…	gk

 

X+Y	x1+y1	x1+y2	…	x1+yk	…	x2+y1	…	xn+yk
	p1 g1	p1 g2	…	p1 gk	…	p2 g1	…	pn gk

M(X+Y)=

=

.

Замечание:

Это свойство справедливо и для произвольного конечного числа СВ (не обязательно независимых).

 

2) Если X и Y – независимые СВ, то M(XY) = M(X)M(Y).

Доказательство:

Аналогично свойству 1.

Замечание: Свойство 2 справедливо и для произведения нескольких взаимно независимых СВ.

 

3) C = const, M(C) = C.

Можно рассматривать константу, как СВ, принимающую единичное значение равное 1.

M(C) = C 1 = C.

 

4) C = const, X – СВ

M(CX) = C M(X).

Доказательство:

C, X – СВ; M(CX) = M(C) M(X) = C M(X)

 

5) M(X – M(X)) = 0

Математическое ожидание отклонения СВ от своего математического ожидания равно 0.

Доказательство:

M(X – M(X)) = M(X) + M( – M(X)) = M(X) - M(M(X)) = M(X) - M(X) = 0

(т.к. M(M(X)) = M(X)) – M(X) = const.

x

 

l

Дисперсия (рассеивание) характеризует разброс значений СВ относительно ее математического ожидания.

 

X	-10-5	10-5
p	0,5	0,5

Y	-105	105
p	0,5	0,5

 

M(X) = 0 M(Y) = 0.

Математические ожидания равны, но разброс значений разный.

Определение:D(X) = M(X – (M(X))²) .

Дисперсия СВ – это математическое ожидание квадрата отклонения СВ относительно ее математического ожидания.

Пусть X – ДСВ

 

X – НСВ

 

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность, равную квадрату размерности самой СВ, поэтому, чтобы устранить этот недостаток, введем новую числовую характеристику – среднее квадратичное отклонение.

.

 

Свойства дисперсии:

1) X и Y – независимые СВ, тогда

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Доказательство:

D(X + Y) = M((X+Y) – M(X+Y))² = M((X+Y – M(X) – M(Y))²) = M((X –M(X)) + (Y – M(Y)))² = M((X – M(X))² + 2(X – M(X))(Y – M(Y)) + (Y – M(Y))²) = =M(X – M(X))² + 2M(X – M(X)) M(Y – M(Y)) + M(Y – M(Y))² = D(X) + 2M(X – M(X)) M(Y – M(Y)) + D(Y) = D(X) + D(Y).

(т.к. M(X- M(X))=0).

x

 

2) Вычислительная формула для дисперсии.

p(X) = M(X²) – (M(X))²

Доказательство:

p(X) = M((X – M(X)²) = M(X² – 2X M(X) + (M(X))²) = M(X²) – 2M(X) M(X) + (M(X))² = M(X²) – 2(M(X))² + (M(X))² = M(X²) - (M(X))²

x

Замечание:

Если X – НСВ, то

.

 

3) С – const, D(C) = 0.

D(C) = M((C – M(C))²) = M((C – C)²) = 0.

 

4) С – const

D(CX) = C² D(X)

D(CX) = M((CX – M(CX))²) = M((CX – CM(X))²) = M(C² (X – M(X))²) = C² M((X -M(X))²) = C² D(X).

x

 

5) X и Y – независимые СВ, то

D(X – Y) = D(X) + D(Y)

D(X – Y) = D(X + (-Y)) = D(X) + D(-1Y) = D(X) + (-1)² D(Y)) = D(X) + D(Y).

x

 

Обобщением основных числовых характеристик является понятие моментов СВ.

1) Начальным моментом порядка q СВ X называется .

Если q = 1, то

Центральным моментом порядка q СВ X называется .

Если q = 2, .

К характеристикам СВ относятся также мода и медиана

Определение: модой M_o(X) ДСВ X называется наиболее вероятное ее значение.

Определение: модой M_o(X) НСВ X называется такое ее значение, при котором функция плотности распределения вероятности имеет максимум.

Определение: медианой (М_е) СВ X называется такое ее значение, для которого справедливо равенство:

p(X < M_e) = p(X > M_e), т.е равновероятно, что СВ X окажется меньше или больше медианы.