Дискретные законы распределения

а) Биномиальное распределение – это распределение числа m появлений события А при n независимых испытаниях, при каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Тогда справедлива формула Бернулли:

.

Если n зафиксировать, то закон распределения можно записать в виде таблицы

 

X				…	n
p	qn			…	pn

 

Очевидно, что , т.к при n испытаниях вероятность того, что событие А наступит, либо 0, либо 1, … , либо n раз, является достоверным событием.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Обозначим через X_i число наступлений события А в i-том испытании.

 

 

Xi
p	q	p

 

q = 1 – p

M(X_i) = 0q + 1p = p,

M(X_i²) = 0²q + 1² p = p,

Исследуемая случайная величина

M(X) = M( ) = = np.

M(X) = np.

D(X_i) = M(X_i²) – (M(X_i))² = p – p² = p(1 - p) = pq.

Так как случайные величины X_i , , независимы в совокупности, то:

D(X) = D( ) = = npq.

D(X) = npq.

.

Замечание:

Особенностью биномиального распределения является то, что вероятность p_n(m) сначала возрастает при увеличении m_k и достигает наибольшего значения при некотором наивероятнейшем значении m_o:

np – q m_o np + p

Значение m_o является модой биномиального закона распределения. Может оказаться, что этих значений будет 2 (бимодальное распределение).

 

б) Закон распределения Пуассона

Если увеличение числа испытаний n приводит к тому, что вероятность появления одиночного события p уменьшается, а его математическое ожидание остается постоянной величиной, то вероятность того, что при n испытаниях событие наступит m раз вычисляется по формуле:

если np = , то

 

или

, где

- среднее число появлений события в n испытаниях

( - параметр этого распределения).

 

В виде таблицы закон распределения Пуассона имеет вид:

 

 

X				…	m	…
p				…		…

 

Покажем, что введенное определение корректно, т.е. что .

,

, (т.к )

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

M(X) = .

M(X) = =np

Рассуждая аналогично, можно показать, что:

D(X) = =np

M(X) = D(X) = .

 

Закон распределения Пуассона называется законом малых чисел, т.к он применим, главным образом, как закон распределения редких явлений. Пуассоновым распределением хорошо описывается распределение - частиц, испускаемых за определенный промежуток времени; число вызовов, поступающих на телефонную станцию за промежуток времени; число отказов элементов при испытании на надежность сложных устройств.

 

в) Геометрическое распределение

Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение с параметром p, если вероятность определена по формуле

P(X = m) = q^m-1 p

Составим закон распределения в виде таблицы:

 

X				…	n	…
p	p	qp	q2p	…	qnp	…

 

Можно показать, что математическое ожидание этого закона M(X) = 1/p, D(X) = q/p².

Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний в схеме испытаний Бернулли до первого положительного результата.