Решение заданий типа 141-150.

Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Данный ряд является обобщенным степенным рядом вида , где коэффициент , .

Областью сходимости степенного ряда с точностью до границ, является интервал с центром в точке и радиусом , где R – радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле . Сходимость ряда на концах интервала при и необходимо исследовать отдельно. В нашем примере

, тогда .

Вычислим радиус сходимости =

====.

Тогда интервал сходимости имеет вид или .

Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала. Пусть , тогда подставив это значение в степенной ряд, получим числовой ряд или, преобразовав его, имеем ряд . Мы получили числовой знакочередующийся ряд, который исследуется признаком Лейбница.

Согласно признаку Лейбница, если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда с возрастанием номера , убывают по абсолютной величине; 2) предел абсолютной величины общего члена ряда равен нулю при , то такой ряд является сходящимся.

Проверим выполнимость условий Лейбница в нашем примере:

1), , , , …, , , …

Очевидно, что члены ряда по абсолютной величине убывают:

> > > > …> > > …

2) .

Оба условия признака Лейбница выполняется, следовательно, при степенной ряд сходится.

Пусть , тогда данный степенной ряд станет числовым знакоположительным рядом =..

К исследованию этого ряда на сходимость применим признак сравнения с рядом Дирихле , который сходится, если и расходится если .

Для нашего примера используем ряд =, здесь , значит, данный ряд расходится.

Сравнение выполним посредством вычисления предела =====, так как предел получился отличным от 0 и , значит, исследуемый ряд ведет себя также, как и тот ряд, с которым проводилось сравнение , т.е. в нашем случае расходится, а это означает, что при степенной ряд расходится. Итак, область сходимости данного степенного ряда: .