рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Физика
/
Гармонический осциллятор. Фононы

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Гармонический осциллятор. Фононы

Гармонический осциллятор. Фононы - раздел Физика, КВАНТОВАЯ Для Описания Классических И Квантовых Систем Часто Используют Модель Гармонич...

Для описания классических и квантовых систем часто используют модель гармонического осциллятора. Линейным гармоническим осциллятором называют систему, совершающую одномерное колебательное движение под действием квазиупругой силы . Потенциальная энергия имеет вид: . Примером классического гармонического осциллятора может служить пружинный, математический или физический маятник. Частота собственных колебаний классического гармонического осциллятора , где m – масса частицы. То есть .

Рис. 6.4. Возможные значения энергии для квантового осциллятора

Следовательно, потенциальная энергия равна:

(6.9)

Уравнение Шредингера следует записать в виде:

(6.10)

Только при некоторых значениях параметра Е уравнение (6.10) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения (а именно таким условиям должны удовлетворять волновые функции):

(n = 0, 1, 2, ...) (6.11)

Таким образом, энергия квантового осциллятора, в отличие от классического, может принимать только дискретные значения. Такая система может переходить из одного состояния в другое при поглощении или излучении порции энергии, равной разнице энергий между этими состояниями.

Учет законов сохранения указывает, что для гармонического осциллятора возможны переходы только между соседними уровнями, то есть по правилу ∆n = 1. Данное условие носит название правило отбора для энергетических переходов. Как следует из формулы (6.11), расстояние между всеми уровнями энергии квантового осциллятора одинаковы и равны . Это значит, что переход из одного состояния в другое происходит при поглощении или испускании одного кванта энергии .

Еще одно отличие квантового осциллятора – это существование энергии нулевых колебаний. Минимальное значение энергии классического осциллятора равно нулю. Минимум энергии квантового осциллятора, называемый энергией нулевых колебаний, отличен от нуля: . Это явление имеет чисто квантовую природу и является прямым следствием соотношения неопределенности Гейзенберга. Если предположить, что квантовая частица опускается на дно потенциальной ямы (то есть ее энергия обнуляется), это означает, что обнуляется и импульс частицы (а следовательно и неопределенность импульса ∆p). Согласно принципу неопределенности ∆x должна стать равной бесконечности, то есть область, в которой частица может перемещаться принимает бесконечно большие размеры, что противоречит факту нахождения частицы в яме конечного размера.

Рассмотрим поведение системы, которую можно описать как гармонический осциллятор. Волновые функции и их квадраты для первых трех состояний показаны на рис. (6.5). Видно, что в состоянии n = 0 наиболее вероятным является нахождение частицы в некотором положении равновесия.

Рис. 6.5. Волновые функции квантового осциллятора

В состоянии n = 1 это положение частицы становится невозможным, так как квадрат волновой функции в этой точке равен нулю. Таким образом, частица в возбужденном состоянии приобретает новое положение равновесия – оно будет там, где квадрат волновой функции максимален.

Достаточно хорошо с помощью теории гармонического осциллятора описываются колебания атомов, которые находятся в узлах в кристаллической решетки. При температуре выше абсолютного 0 К происходят тепловые колебания атомов около положения равновесия. Амплитуда колебаний ионов у большинства кристаллов не превышает 0.01 нм, при этом среднее расстояние между ионами решетки составляет 0.1 ÷ 1 нм. Но движение ионов является весьма сложным. Дело в том, что колеблющиеся частицы связаны между собой силами взаимодействия. Между ионами кристаллической решетки одновременно действуют силы притяжения и отталкивания. Если ионы изобразить в виде шариков, а силы взаимодействия изобразить в виде сжатой или растянутой пружины, то имеется определенное расстояние между ионами, на котором ионы будут находиться в положении равновесия.

Рис. 6.6. Квазиупругая модель кристалла

Если один из ионов вывести из положения равновесия, например, силой F, то его перемещение вызовет соответствующее перемещение соседних ионов. Даже если действие силы прекратится, то выведенные из положения равновесия ионы будут совершать колебания. Эти колебания из-за связей, существующих между ионами, будут передаваться по кристаллу.

В результате в кристалле распространяются колебания, т.е. возникает волна. Волны, достигнув поверхности кристалла, отражаются от нее. Отраженная и исходная волны интерферируют – в кристалле возникает стоячая волна. Это явление аналогично тому, которое происходит в закрепленной с двух сторон струне. В кристалле также устанавливается набор стоячих волн, причем величина каждой длины волны зависит от размеров кристалла и его упругих свойств. Таким образом, природа тепловых упругих волн в кристалле аналогична природе звуковых волн, поэтому их еще называют акустическими. Интервал частот тепловых волн очень широк – 10² ÷ 10¹³ Гц.

Как следует из квантовой механики, энергия колебаний ионов должна быть дискретной, т.е. квантована. Квант энергии тепловых колебаний ионов кристаллической решетки называется фононом и равен:

(6.12)

где ω – частота колебаний ионов.

Фононы, т.е. распространяющиеся в кристалле элементарные возбуждения, наделяются свойством частиц и называются квазичастицами. Они являются элементарными носителями колебательного движения в системе реальных частиц, входящих в состав кристаллической решетки и связанных между собой взаимодействием. По аналогии с квантами света – фотонами, можно задать импульс фонона:

(6.13)

где – волновой вектор, . Учитывая особые свойства фонона, его импульс также имеет необычный смысл, поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Фонон может существовать только в кристалле и в отличие от реальных частиц никогда не возникнет в вакууме. В пределах кристаллической решетки может образоваться неограниченное количество фононов. Их можно рассматривать как так называемый «фононный газ». Так же, как атомы реального газа, в процессе движения в кристалле фононы сталкиваются между собой или с дефектами кристаллической решетки, и при этом могут передать решетке порцию импульса. Это осуществляется, например, при возникновении безызлучательных явлений в кристалле. Эти процессы, по сути, являются такими же переходами электронов между энергетическими уровнями, как в атомах (смотри лекцию 3). Только в случае участия фотона, от него электрон в атоме получает импульс, а следовательно и энергию, необходимую для перехода на другой уровень. В безызлучательном процессе энергию светового кванта электрон не получает, и по законам сохранения его переход вверх по уровням энергии был бы не возможен. Однако такие процессы протекают, и объяснить их можно только тем, что энергия колебательных движений кристаллической решетки (т.е. энергия фонона) может быть использована в качестве недостающей порции.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КВАНТОВАЯ

Воронежский государственный технический университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Гармонический осциллятор. Фононы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Свойства теплового излучения
С античных времен известно, что вещества, нагретые до достаточно высокой температуры, приобретают способность светиться. Например, раскаленные жидкие и твердые тела испускают белый свет, обладающий

Функция Кирхгофа. Абсолютно черное тело
Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π), называют энергетической светимостью тела R, которая является

Закон смещения Вина
К 1884 г. Стефан, основываясь на экспериментальных данных, и Больцман из теоретических соображений получили, что энергетическая светимость RT абсолютно черного тела, связанная с и

Теория Планка
Для того, чтобы устранить ошибку, ученым пришлось кардинально изменить взгляд на природу излучения. Первым это сделал Макс Планк. После долгих расчетов, чтобы получить желаемый и напрашивающийся ре

Фотоэффект
Наряду с законами теплового излучения в конце XIX в. было открыто оптическое явление, не укладывающееся в рамки законов классической физики. Это явление фотоэлектрического эффекта или просто фотоэф

Энергия, масса и импульс фотона. Давление света
Фотоэффект показывает, что электромагнитное излучение способно вести себя как частица – фотон. При поглощении, испускании или взаимодействии фотона с любыми частицами можно использовать те же закон

Эффект Комптона
Наличие у света корпускулярных свойств также подтверждается комптоновским рассеянием фотонов. Эффект назван в честь открывшего в 1923 г. это явление американского физика Артура Холли Комптона. Он и

Теория атома Бора
Со времен Древней Греции вплоть до конца XIX в. считалось, что все тела состоят из мельчайших частиц – атомов, которые являются неделимыми частицами материи, «кирпичиками мироздания». Всякое проявл

Волновые свойства вещества. Гипотеза де Бройля
Размышляя над свойствами света и микрочастиц, французский физик Луи де Бройль пришел к выводу, что «Корпускулярно-волновой дуализм Эйнштейна носит всеобщий характер и распространяется на все физиче

Принцип неопределенности Гейзенберга
И свет, и микрочастицы в любой момент одновременно являются и частицей и волной. Только в некоторых случаях одно из свойств выражено меньше. Например, для электромагнитной волны частотой меньше 10

Волновая функция
Итак, микрочастицы не подчиняются законам классической механики, их поведение нельзя описать принятыми в классической физике способами. Этот факт заставил ученых создать новую теорию. Новая механик

Уравнение Шредингера
Итак, состояние системы описывается волновой функцией Ψ, которая определяется конфигурацией системы и конкретным видом силового поля, в котором она находится. Найти волновую функцию час

Уравнение Шредингера для свободной частицы
Рассмотрим свободно движущуюся частицу. И если волновой функцией фотона является плоская световая волна, для частиц волновая функция является плоской волной де Бройля, (см. раздел 4). Для

Уравнение Шредингера для частицы в силовом поле
Если частица находится в каком-либо силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то: (5.8)

Стационарное уравнение Шредингера
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на дв

Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме
Нахождение электрона в поле ядра можно приближенно считать движением в трехмерной потенциальной яме. Высота этой ямы определяется величиной кулоновского поля ядра. Рассмотрим простейший сл

Туннельный эффект
Рассмотрим движение частицы при прохождении потенциального барьера. Пусть она движется слева направо и встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U0 и шириной

Главное квантовое число
Рассмотрим в качестве модельной простейшую систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Z = 1 и одного электрона, т.е. атом водорода. Аналогичным образом будут описываться так называемы

Орбитальное и магнитное квантовые числа
Параметры l и m представляют собой азимутальное (или орбитальное) и магнитное квантовые числа. Поясним их появление. Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера (в дека

Правила отбора. Спектры атомов
Знаем, что испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. При этом атом может поглотить или испустить только фотон с энергией, равной разности энергий с

Собственный момент электрона
Итак, атом обладает механическим моментом импульса, и его существование влияет на спектры атомов. Поскольку в состав атома входят заряженные частицы, то при рассмотрении их движения необходимо учит

Принцип Паули
В случае более сложных, чем водород, атомов, имеющих несколько электронов, можно считать, что каждый электрон движется в усредненном поле ядра и остальных электронов. Это поле уже не является пропо

Эффект Зеемана
Зная полный магнитный момент атома, можно определить влияние внешнего магнитного поля на его спектр. Происходящее под действием внешнего магнитного поля расщепление энергетических уровней атомов на

Виды молекул
Для понимания природы химической связи, обуславливающей образование молекул из атомов, а также кристаллов, необходимо рассмотреть квантовомеханическую модель атома с учетом волновых свойств электро

Спонтанное и вынужденное излучение
Существование любой микросистемы (атома, молекулы, потока частиц) – это многократное изменение полной энергии этой системы в результате ее взаимодействия с другими системами. Изменение полной энерг

Принцип работы и устройство лазеров
Вынужденное излучение было положено в основу усилителей электромагнитного излучения. Советские физики Н. Г. Басов и А. М. Прохоров, и независимо от них американец Ч. Таунсон, в 50-е годы XX века со

Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака
Изучаемые в курсе классической молекулярной статистической физики частицы, можно было рассматривать как упругие шарики. При этом каждую из тождественных частиц можно было отличить от других – как б

Образование энергетических зон
Все кристаллические тела представляют собой упорядоченное скопление огромного количества атомов. Идеальная кристаллическая решетка состоит из многократно повторяющихся тождественных элементарных яч

Собственная проводимость
Рассмотрим квантовую теорию проводимости различных веществ. Напомним, что проводимостью называется способность носителей заряда осуществлять направленное движение согласно приложенному элект

Примесная проводимость
Электрические и оптические свойства примесных полупроводников зависят от природных или искусственно введенных примесей. Разумеется, для эффективного управления свойствами материала необходим

Квантовая теория проводимости металлов
Рассмотрим процесс проводимости с квантовой точки зрения. В предыдущей лекции было сказано, что при объединении атомов в кристаллическую решетку происходит снижение высоты стенок потенциального бар

Сверхпроводимость
В области низких температур наблюдается явление сверхпроводимости – резкого падения сопротивления материала. Впервые это явление было обнаружено в 1911 г. Камерлингом-Оннесом для ртути при температ

Состав и характеристики атомных ядер
Ядро любого атома, кроме атома легкого водорода, состоит из частиц – нуклонов двух типов: Z протонов и N нейтронов. Нейтрон был открыт в 1932 г. Джеймсом Чэдвиком, тогда же Кар

Ядерные силы
Упомянутые ядерные силы характеризуют одно из фундаментальных взаимодействий, которое получило название сильного взаимодействия. Существует 4 вида фундаментальных взаимодействий – по порядку

Образование ядер. Дефект масс
Рассмотрим процесс образования ядра. Природа образования любого ядра такова, что масса стабильного ядра всегда меньше суммы масс составляющих это ядро нуклонов. Например, ядро дейтерия, на

Закон радиоактивного превращения
Радиоактивностью называется самопроизвольное превращение одних атомных ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц. В процессе такого превращения у ядра могут измениться ка

Альфа-распад
Альфа-распадом называется процесс самопроизвольного испускания ядром α-частиц, которые по своей природе являются ядрами атомов гелия

Бета-распад
Бета-распад – процесс самопроизвольного превращения нестабильного ядра в ядро-изобар (ядро с тем же атомным номером) с зарядом, отличным от исходного на ΔZ = ± 1, за счет испускания эле

Спонтанное деление тяжелых ядер. Гамма-излучение
Процесс спонтанного деления тяжелых ядер был обнаружен в 1940 г. советскими физиками Г.Н. Флеровым и К.А. Петржаковым. Ими было установлено, что без какого-либо внешнего воздействия ядра урана само

Вынужденные ядерные процессы
Ядерной реакцией называют процесс сильного взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей, приводящий к преобразованию ядра (или нескольких ядер). Реакция возникает при сближении реаги

Реакция деления ядра
В 1938 г. немецкие ученые О. Ган и Ф. Штрассман обнаружили, что при облучении урана тепловыми нейтронами образуются элементы из середины периодической системы – барий и лантан (тепловыми называются

Реакция синтеза атомных ядер
Ядерный синтез, т. е. слияние легких ядер в одно ядро, сопровождается, как и деление тяжелых ядер, выделением огромного количества энергии. Поскольку для синтеза ядер необходимы очень высоки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем пособии были рассмотрены основные вопросы квантовой физики - квантовая природа электромагнитного излучения, физика атомов, молекул, кристаллических тел и ядер, представлены элементы ква

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. М.: Наука, 1989. Т. 1 – 3. 2. Типлер П. А.Современная физика: пер. с англ.: в 2-х т. / П. А. Типлер, Р. А. Ллуэллин: Т.