Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака - раздел Физика, КВАНТОВАЯ Изучаемые В Курсе Классической Молекулярной Статистической Физики Частицы, Мо...
Изучаемые в курсе классической молекулярной статистической физики частицы, можно было рассматривать как упругие шарики. При этом каждую из тождественных частиц можно было отличить от других – как бы «пронумеровать», отследить траекторию каждой из них. При рассмотрении поведения коллектива таких частиц можно пользоваться распределением Максвелла и Больцмана (рисунок).
Особая природа квантовых частиц не позволяет отличить их друг от друга. Если две тождественные частицы (с одинаковыми массами, зарядом, спином и т.д.) взаимодействуют, то мы не можем никаким способом выяснить, какая из двух частиц была первая, а какая вторая. Т.е. в квантовой физике постулирован принцип неразличимости тождественных частиц: тождественные частицы экспериментально различить принципиально невозможно.
Рассмотрим состояние системы из двух частиц. Это состояние описывается волновой функцией ψ(x1,x2), где (x1 и x2 – совокупность пространственных и спиновых координат соответственно первой и второй частицы). Если частицы поменять местами, то возможны два варианта:
1) состояние системы частиц не изменится, что можно записать математически: (10.1)
Волновые функции, обладающие таким свойством, называются симметричными.
2) состояние системы изменится так, что волновая функция изменит знак: (10.2)
Такие волновые функции называются антисимметричными.
Можно показать, что симметрия волновых функций определяется спином частиц. Симметричными волновыми функциями описываются системы частиц, имеющих целочисленный спин (в том числе и нулевой спин). Такими частицами являются, например, фотоны. Антисимметричными волновыми функциями описываются системы частиц с полуцелым спином. Одна из таких частиц уже рассмотрена в предыдущих лекциях – это электрон. Именно для частиц с полуцелым спином выполняется принцип запрета Паули – в одной и той же квантовой системе не может быть двух частиц, находящихся в одинаковых состояниях.
Напомним, что квадрат волновой функции задает вероятность обнаружить частицу в данной точке в данный момент времени, или в нашем случае – с заданным спином в точке с заданными координатами. Тогда принцип неразличимости можно выразить следующим образом:
(10.3)
Не зависимо от того, симметричными или антисимметричными волновыми функциями обладают частицы, если они поменяются местами, в эксперименте мы этого не заметим – частицы являются неразличимыми. Вывод же функции распределения Больцмана основан на том, что каждая частица имеет индивидуальность.
В 1924 г. индийский физик Ш. Бозе обнаружил, что поведение фотонов не подчиняется распределению Больцмана. Он предложил новую функцию распределения для фотонов, которую Эйнштейн позднее обобщил на частицы, имеющие массу. Это функция известна как распределение Бозе-Эйнштейна и имеет вид:
(10.4)
где k – постоянная Больцмана.
Значение функции f(E) указывает, какова вероятность встретить частицу, имеющую энергию E, то есть она отражает распределение частиц по энергиям.
Частицы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна, называются бозонами. Параметр распределения μ, входящий в (10.4), называется химическим потенциалом. Он является функцией макроскопических параметров состояния коллектива частиц, в частности температуры. Бозонами являются фотоны, фононы, мезоны и др. Волновые функции бозонов при любых обстоятельствах остаются симметричными (формула 10.1).
Кривые распределения Максвелла-Больцмана,
Бозе-Эйнштейна, и Ферми-Дирака
Если число частиц в системе не постоянно, то можно показать, что μ = 0 и функция распределения будет иметь вид:
(10.4')
Такая ситуация реализуется, например, для коллектива фотонов в замкнутой полости. Фотоны непрерывно поглощаются и излучаются стенками полости, т.е. число частиц постоянно меняется.
С помощью распределения Бозе-Эйнштейна можно выяснить, какое количество частиц n в системе имеет энергию E. Зависимость количества частиц от значения энергии показана на рисунке (10.1) и выражается формулой:
(10.5)
Видно, что как и в случае классических частиц, в случае бозонов их число в каждом из энергетических состояний не ограничивается единицей. При этом расчеты показывают, что вероятность обнаружить две частицы с одинаковой энергией больше, чем вероятность появления одной такой частицы. Вероятность появления бозона в состоянии с конкретной энергией будет тем больше, чем больше уже имеется подобных частиц с указанной энергией. Присутствие бозона в конкретном квантовом состоянии увеличивает вероятность того, что в этом состоянии будут находиться другие бозоны того же типа. Одним из самых ярких примеров систем с данным свойством являются лазеры.
Однако поведение электронов и других частиц, подчиняющихся принципу Паули (см. раздел 8), не удовлетворяло и этому условию. Для таких частиц итальянский физик Э. Ферми и англичанин П. Дирак создали еще одно распределение:
(10.6)
Выражение (10.6) называется функцией распределения Ферми-Дирака. Химический потенциал μ для фермионов называют иногда энергией Ферми.
Частицы, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака, называются фермионами – такими частицами являются электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, лептоны, кварки. Волновые функции фермионов всегда антисимметричны.
Поскольку из-за существования спинового квантового числа каждому значению энергии соответствует два возможных состояния, то зависимость числа частиц от того, какой энергией обладают эти частицы, имеет вид:
(10.7)
Эта функция представлена на рисунке. Видно, что число фермионов в любом состоянии не может быть больше единицы, то есть в состоянии с данной энергией – не больше двух, но обязательно с антипараллельными спинами.
Можно все состояния разделить на две группы – занятые состояния и свободные. Свободные состояния всегда расположены выше уровня Ферми. Энергия Ферми системы слабо зависит от температуры. Например, отличие энергии Ферми при комнатной температуре и при температуре, близкой к абсолютному нулю составляет всего 0.002%. Из рисунка видно, что число частиц, соответствующих уровню Ферми равно единице, то есть уровень заполнен наполовину. Этот факт отражает физический смысл уровня Ферми – вероятность заполнения этого уровня равна 1/2 (или 50%). То есть все уровни, расположенные выше уровня Ферми, будут свободными; все уровни, расположенные ниже – заполненными.
В энергетическом спектре всегда существует промежуточная область энергий между свободными и занятыми состояниями. Ширина этой области по порядку величины равна нескольким кТ (для комнатной температуры кТ составляет величину порядка 0.025 эВ). В этой области происходит переход от заполненных уровней к пустым. При низких температурах этот переход очень резок, так что все нижние уровни, вплоть до некоторого, полностью заняты, а все верхние – совсем пусты. В этом случае кривая, аналогичная изображенной на рис. 10.1, будет иметь очень резкий спад.
Итак, распределение Ферми-Дирака математически отражает суть поведения частиц с полуцелым спином: присутствие фермиона в конкретном квантовом состоянии запрещает другим фермионам находиться в том же состоянии.
Необходимо заметить, что при низких температурах распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана.
Воронежский государственный технический университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Свойства теплового излучения
С античных времен известно, что вещества, нагретые до достаточно высокой температуры, приобретают способность светиться. Например, раскаленные жидкие и твердые тела испускают белый свет, обладающий
Функция Кирхгофа. Абсолютно черное тело
Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π), называют энергетической светимостью тела R, которая является
Закон смещения Вина
К 1884 г. Стефан, основываясь на экспериментальных данных, и Больцман из теоретических соображений получили, что энергетическая светимость RT абсолютно черного тела, связанная с и
Теория Планка
Для того, чтобы устранить ошибку, ученым пришлось кардинально изменить взгляд на природу излучения. Первым это сделал Макс Планк. После долгих расчетов, чтобы получить желаемый и напрашивающийся ре
Фотоэффект
Наряду с законами теплового излучения в конце XIX в. было открыто оптическое явление, не укладывающееся в рамки законов классической физики. Это явление фотоэлектрического эффекта или просто фотоэф
Энергия, масса и импульс фотона. Давление света
Фотоэффект показывает, что электромагнитное излучение способно вести себя как частица – фотон. При поглощении, испускании или взаимодействии фотона с любыми частицами можно использовать те же закон
Эффект Комптона
Наличие у света корпускулярных свойств также подтверждается комптоновским рассеянием фотонов. Эффект назван в честь открывшего в 1923 г. это явление американского физика Артура Холли Комптона. Он и
Теория атома Бора
Со времен Древней Греции вплоть до конца XIX в. считалось, что все тела состоят из мельчайших частиц – атомов, которые являются неделимыми частицами материи, «кирпичиками мироздания». Всякое проявл
Волновые свойства вещества. Гипотеза де Бройля
Размышляя над свойствами света и микрочастиц, французский физик Луи де Бройль пришел к выводу, что «Корпускулярно-волновой дуализм Эйнштейна носит всеобщий характер и распространяется на все физиче
Принцип неопределенности Гейзенберга
И свет, и микрочастицы в любой момент одновременно являются и частицей и волной. Только в некоторых случаях одно из свойств выражено меньше. Например, для электромагнитной волны частотой меньше 10
Волновая функция
Итак, микрочастицы не подчиняются законам классической механики, их поведение нельзя описать принятыми в классической физике способами. Этот факт заставил ученых создать новую теорию. Новая механик
Уравнение Шредингера
Итак, состояние системы описывается волновой функцией Ψ, которая определяется конфигурацией системы и конкретным видом силового поля, в котором она находится. Найти волновую функцию час
Уравнение Шредингера для свободной частицы
Рассмотрим свободно движущуюся частицу. И если волновой функцией фотона является плоская световая волна, для частиц волновая функция является плоской волной де Бройля, (см. раздел 4).
Для
Стационарное уравнение Шредингера
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на дв
Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме
Нахождение электрона в поле ядра можно приближенно считать движением в трехмерной потенциальной яме. Высота этой ямы определяется величиной кулоновского поля ядра.
Рассмотрим простейший сл
Туннельный эффект
Рассмотрим движение частицы при прохождении потенциального барьера. Пусть она движется слева направо и встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U0 и шириной
Гармонический осциллятор. Фононы
Для описания классических и квантовых систем часто используют модель гармонического осциллятора. Линейным гармоническим осциллятором называют систему, совершающую одномерное колебательное дв
Главное квантовое число
Рассмотрим в качестве модельной простейшую систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Z = 1 и одного электрона, т.е. атом водорода. Аналогичным образом будут описываться так называемы
Орбитальное и магнитное квантовые числа
Параметры l и m представляют собой азимутальное (или орбитальное) и магнитное квантовые числа. Поясним их появление. Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера (в дека
Правила отбора. Спектры атомов
Знаем, что испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. При этом атом может поглотить или испустить только фотон с энергией, равной разности энергий с
Собственный момент электрона
Итак, атом обладает механическим моментом импульса, и его существование влияет на спектры атомов. Поскольку в состав атома входят заряженные частицы, то при рассмотрении их движения необходимо учит
Принцип Паули
В случае более сложных, чем водород, атомов, имеющих несколько электронов, можно считать, что каждый электрон движется в усредненном поле ядра и остальных электронов. Это поле уже не является пропо
Эффект Зеемана
Зная полный магнитный момент атома, можно определить влияние внешнего магнитного поля на его спектр. Происходящее под действием внешнего магнитного поля расщепление энергетических уровней атомов на
Виды молекул
Для понимания природы химической связи, обуславливающей образование молекул из атомов, а также кристаллов, необходимо рассмотреть квантовомеханическую модель атома с учетом волновых свойств электро
Спонтанное и вынужденное излучение
Существование любой микросистемы (атома, молекулы, потока частиц) – это многократное изменение полной энергии этой системы в результате ее взаимодействия с другими системами. Изменение полной энерг
Принцип работы и устройство лазеров
Вынужденное излучение было положено в основу усилителей электромагнитного излучения. Советские физики Н. Г. Басов и А. М. Прохоров, и независимо от них американец Ч. Таунсон, в 50-е годы XX века со
Образование энергетических зон
Все кристаллические тела представляют собой упорядоченное скопление огромного количества атомов. Идеальная кристаллическая решетка состоит из многократно повторяющихся тождественных элементарных яч
Собственная проводимость
Рассмотрим квантовую теорию проводимости различных веществ. Напомним, что проводимостью называется способность носителей заряда осуществлять направленное движение согласно приложенному элект
Примесная проводимость
Электрические и оптические свойства примесных полупроводников зависят от природных или искусственно введенных примесей. Разумеется, для эффективного управления свойствами материала необходим
Квантовая теория проводимости металлов
Рассмотрим процесс проводимости с квантовой точки зрения. В предыдущей лекции было сказано, что при объединении атомов в кристаллическую решетку происходит снижение высоты стенок потенциального бар
Сверхпроводимость
В области низких температур наблюдается явление сверхпроводимости – резкого падения сопротивления материала. Впервые это явление было обнаружено в 1911 г. Камерлингом-Оннесом для ртути при температ
Состав и характеристики атомных ядер
Ядро любого атома, кроме атома легкого водорода, состоит из частиц – нуклонов двух типов: Z протонов и N нейтронов. Нейтрон был открыт в 1932 г. Джеймсом Чэдвиком, тогда же Кар
Ядерные силы
Упомянутые ядерные силы характеризуют одно из фундаментальных взаимодействий, которое получило название сильного взаимодействия. Существует 4 вида фундаментальных взаимодействий – по порядку
Образование ядер. Дефект масс
Рассмотрим процесс образования ядра. Природа образования любого ядра такова, что масса стабильного ядра всегда меньше суммы масс составляющих это ядро нуклонов.
Например, ядро дейтерия, на
Закон радиоактивного превращения
Радиоактивностью называется самопроизвольное превращение одних атомных ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц. В процессе такого превращения у ядра могут измениться ка
Альфа-распад
Альфа-распадом называется процесс самопроизвольного испускания ядром α-частиц, которые по своей природе являются ядрами атомов гелия
Бета-распад
Бета-распад – процесс самопроизвольного превращения нестабильного ядра в ядро-изобар (ядро с тем же атомным номером) с зарядом, отличным от исходного на ΔZ = ± 1, за счет испускания эле
Спонтанное деление тяжелых ядер. Гамма-излучение
Процесс спонтанного деления тяжелых ядер был обнаружен в 1940 г. советскими физиками Г.Н. Флеровым и К.А. Петржаковым. Ими было установлено, что без какого-либо внешнего воздействия ядра урана само
Вынужденные ядерные процессы
Ядерной реакцией называют процесс сильного взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей, приводящий к преобразованию ядра (или нескольких ядер). Реакция возникает при сближении реаги
Реакция деления ядра
В 1938 г. немецкие ученые О. Ган и Ф. Штрассман обнаружили, что при облучении урана тепловыми нейтронами образуются элементы из середины периодической системы – барий и лантан (тепловыми называются
Реакция синтеза атомных ядер
Ядерный синтез, т. е. слияние легких ядер в одно ядро, сопровождается, как и деление тяжелых ядер, выделением огромного количества энергии. Поскольку для синтеза ядер необходимы очень высоки
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем пособии были рассмотрены основные вопросы квантовой физики - квантовая природа электромагнитного излучения, физика атомов, молекул, кристаллических тел и ядер, представлены элементы ква
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. М.: Наука, 1989. Т. 1 – 3.
2. Типлер П. А.Современная физика: пер. с англ.: в 2-х т. / П. А. Типлер, Р. А. Ллуэллин: Т.
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
(10.1)
(10.2)
(10.3)
(10.4)
(10.4')
(10.5)
(10.6)
(10.7)
Новости и инфо для студентов