Взаимные корреляционные функции сигналов [1,19].

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

B_su(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|B_su(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t-t в формуле (6.2.1), получаем:

B_su(t) =s(t-t) u(t) dt =u(t) s(t-t) dt = B_us(-t).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B_su(t) ¹ B_su(-t), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0.

Рис. 6.2.1. Сигналы и ВКФ.

Это можно наглядно видеть на рис. 6.2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (6.2.1) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)). При t=0 сигналы ортогональны и значение B₁₂(t)=0. Максимум В₁₂(t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t).

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.2.1) и (6.2.1') наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал t сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. B_su(t) = B_us(-t).

Рис. 6.2.2. Взаимноковариационные функции сигналов.

На рис. 6.2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией B_su. Вместе с тем функция B_su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B_sv на рис. 6.2.2. Если поменять местами выражения функций в (6.2.1), то новая функция B_vs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией B_sv.

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

B_su(t) =s(t) u(t+t) dt. B_us(t) =u(t) s(t+t) dt. (6.2.1')

Взаимная корреляция зашумленных сигналов. Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул (6.1.13) с заменой копии сигнала s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:

B_uv(t) = B_s1s2(t) + B_s1q2(t) + B_q1s2(t) + B_q1q2(t). (6.2.2)

Последние три члена в правой части (6.2.2) затухают до нуля при увеличении t. При больших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:

B_uv(t) = B_s1s2(t) + + + . (6.2.3)

При нулевых средних значениях шумов и статистической независимости от сигналов имеет место:

B_uv(t) → B_s1s2(t).

ВКФ дискретных сигналов.Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов, изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 6.1.9-6.1.12). В частности, при Dt = const =1 для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:

B_xy(n) = x_k y_k-n. (6.2.4)

При нормировании в единицах мощности:

B_xy(n) = x_k y_k-n @ . (6.2.5)

Оценка периодических сигналов в шуме. Зашумленный сигнал можно оценить по взаимной корреляции с "эталонным" сигналом методом проб и ошибок с настройкой функции взаимной корреляции до максимального значения.

Для сигнала u(k)=s(k)+q(k) при статистической независимости шума и → 0 функция взаимной корреляции (6.2.2) с шаблоном сигнала p(k) при q2(k)=0 принимает вид:

B_up(k) = B_sp(k) + B_qp(k) = B_sp(k) + .

А поскольку → 0 при увеличении N, то B_up(k) → B_sp(k). Очевидно, что функция B_up(k) будет иметь максимум, когда p(k) = s(k). Меняя форму шаблона p(k) и добиваясь максимизации функции B_up(k), можно получить оценку s(k) в виде оптимальной формы p(k).

Функция взаимных корреляционных коэффициентов (ВКФ) является количественным показателем степени сходства сигналов s(t) и u(t). Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведение значений стандартов функций s(t) и v(t):

r_su(t) = C_su(t)/s_ss_v. (6.2.6)

Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах t может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах t, на которых наблюдаются нулевые значения r_su(t), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

При вычислении ВКФ зашумленных дискретных сигналов ограниченной длины с использованием формулы (6.2.4) имеется вероятность появления значений |r_su(n)| > 1.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик систем.