Короткі теоретичні відомості

 

При аналізі і синтезі систем автоматичного регулювання і керування широке поширення одержали методи, засновані на використанні частотних характеристик.

Частотна характеристика визначається як реакція ланки або системи у сталому режимі на синусоїдальне вхідне діяння при зміні його частоти у всьому можливому діапазоні.

При цьому в лінійній системі як вхідний сигнал, так і сигнал в будь-якій точці у сталому режимі є синусоїдальними; вони відрізняються від вхідного тільки по амплітуді і по фазі.

Частотні характеристики описують сталі вимушені коливання на виході ланки, викликані гармонійним впливом на вході. Нехай на вхід ланки подано гармонійне діяння:

 

,

 

де x_m - амплітуда, w - кутова частота цього діяння.

Після закінчення перехідного процесу на виході ланки будуть існувати гармонічні коливання з тією ж частотою, що і вході. Вихідні і вхідні коливання в загальному випадку будуть відрізнятися по амплітуді і фазі.

У сталому режимі вихідна величина ланки

 

,

 

де y_m - амплітуда вихідних усталених коливань, j - фазовий зсув між вихідними і вхідними коливаннями.

При фіксованій амплітуді вхідних коливань амплітуда коливань і фаза встановлених коливань на виході ланки залежать від частоти коливань. Якщо поступово збільшувати від нуля частоту коливань і визначати усталені значення амплітуди і фази вихідних коливань для різних частот, можна отримати залежність від частоти відношення амплітуд і зсуву фаз j вихідних і вхідних встановлених коливань. Через ці величини визначають всі частотні характеристики.

Амплітуда-частотна характеристика (АЧХ) - залежність відносини амплітуди виходу до амплітуді входу від частоти:

 

.

 

Фазочастотна характеристика (ФЧХ) - залежність різниці (зміни) фаз вихідного та вхідного коливань від частоти:

 

 

 

Амплітудно-фазова частотна характеристика (АФЧХ) - залежність відносини комплексів вихідного та вхідного коливань від частоти:

.

 

Підставляючи в комплексні вираження вхідної і вихідної величини, отримаємо уявлення АФХ у показовій формі:

 

 

 

За цією формулою АЧХ є модулем, а ФЧХ - аргументом АФХ, тобто, , .

Оскільки - комплексна величина тої можна записати виділяючи дійсну та уявну частини:

 

.

 

У теорії автоматичного керування основною частотною характеристикою є амплітуда-фазова характеристика.

Аналітичний вираз амплітудно-фазової частотної характеристики можна отримати із передаточної функції шляхом заміни на (див табл. 1).

Графічно АФЧХ зображується на комплексній площині у полярних координатах (А, j), як годограф функції . У прямокутних координатах (рис. 1) комплексна величина може розглядатися як вектор з координатами і .

 

Рисунок 1 - Амплітудно-фазова частотна характеристика

 

Таблиця 1 – Амплітудно-фазовочастотні характеристики

типових ланок

 

Назва ланки	Передаточна функція ланки
Підсилювальна (безінерційна)
Інтегрувальна
Диференціювальна
Аперіодична ланка 1-го порядку (інерційна)
Аперіодична ланка 2-го порядку (всі корені дійсні)	,
Коливальна	,
Консервативна
Інтегрувальна з запізненням (реальна інтегруюча)
Диференціювальна з запізненням (реальна диференціювальна)
Форсувальна
Ізодромна

 

Усі вище розглянуті частотні характеристики можуть бути побудовані в логарифмічному масштабі.

При побудові логарифмічних АЧХ (ЛАЧХ) і логарифмічних ФЧХ (ЛФЧХ) поточні значення амплітуд та частот наносяться на вісь амплітуд і частот у логарифмічному масштабі (рис. 2). Вісь частот - . Відлік частот ведеться або в натуральних одиницях виміру або в декадах або октавах. Під декадою розуміється діапазон частот між будь-яким довільним , і його удесятерним значенням , а під октавою - діапазон частот між довільним числом і .

При побудові ЛАЧХ по осі ординат відкладаються значення,

 

,

 

одиницею виміру для яких є децибел (Дб).

Початок координат по вісі абсцис розташовують зазвичай в точці w = 1. тому lg1 = 0. Точка ж w = 0 лежить в -∞. Однак залежно від діапазону частот, який нас цікавить, початок координат можна брати в іншій точці (w = 0,1; w = 10 та ін.)

Точка перетину ЛАЧХ з віссю абсцис називається частотою зрізу w_з (рис. 2).

 

Рисунок 2 - Логарифмічні частотні характеристики

 

Верхня полуплощина ЛАЧХ відповідає значенням А > 1 (посилення амплітуди), а нижня полуплощина значень А < 1 (ослаблення амплітуди).

При побудові ЛФЧХ відлік кутів j йде по осі ординат в звичайному масштабі в кутових градусах (рис. 2).

Перевагами логарифмічних характеристик є більш вдалий масштаб, який дає змогу лінеарізувати характеристики та значно спостити побудову логарифмічних частотних характеристик груп ланок, з’єднаних між собою.

Пакет програми MATLAB містить в собі спеціальні команди для ви числення частотних характеристик. Амплітудно-фазова частотна характеристика (годограф Найквиста) визначається командою nyquist(…). Логарифмічна амплітудно-частотна і фазочастотна характеристики будуються спільно за допомогою команди bode(…).