рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Охрана труда
/
Теорема 2 (второй замечательный предел)

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Теорема 2 (второй замечательный предел)

Теорема 2 (второй замечательный предел) - раздел Охрана труда, Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности Существует Предел ...

Существует предел .

Доказательство. Рассмотрим последовательность с общим членом

Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Преобразуем по этой формуле , полагая :

В полученном выражении:

третье слагаемое

четвертое =

и т.д., а последнее

Получаем:

(*)

Покажем, что последовательность возрастающая, т.е. :

(**)

Так как то и т.д., поэтому каждое слагаемое (начиная с третьего) из равенства (*) меньше соответствующего слагаемого из равенства (**), кроме того, в равенстве (**) правая часть содержит на одно (положительное) слагаемое больше. Отсюда заключаем, что .

Покажем, что последовательность ограничена (сверху), т.е.

Если в равенстве (**) каждую из скобок заменить на 1 (на большее число), то получим неравенство:

Так как то

По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:

поэтому .

Последовательность возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует предел, этот предел называют неперовым числом и обозначают через e. Итак,

Так как 2 < a_n < 3, то 2 < a_n3, т.е. 2 < e 3. Это число e иррациональное и e 2,718282.

Число e широко используется как основание для показательной функции (экспонента) и как основание для логарифмов (натуральные логарифмы).

Рассмотрим (рис. 1.13) функцию y = , которая не определена на отрезке (подумайте почему?). Ее область определения (–, –1)(0, +).

Известно, что

и .

Нетрудно показать, что

Все записанные пределы объединяются одним названием второго замечательного предела.

Рассмотрим применение второго замечательногопредела для вычисления некоторых пределов.

Пример.Найти

Решение. Обозначим: 3n = m, n = . Если n, то mи мы получим:

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики которое может быть полезно для организации учебного процесса... В учебном пособии рассматриваются следующие темы введение в математический... Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема 2 (второй замечательный предел)

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Логическая и математическая символика
В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение. Математические символы:

Множества
Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество

Функции
Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят,

Пределы функции на бесконечности
Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определе

Предел последовательности
Как отмечалось раньше, любая последовательность a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f(n

Предел функции в точке
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) м

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке
Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (прав

Бесконечно-малые функции и их свойства
Функция a(х) называетсябесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х

Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Если f(x) = b, то f(x) = b + a(x), где a(x

Доказательство
1) Пусть a – положительный острый угол, докажем= 1. Предварительно докажем, что

Второй замечательный предел
Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4). Рассмотрим возрастающую последовательность:

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции
Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x ® a (x® + ¥, x ® –¥, x ® x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при

Доказательство
Пусть a(x) ~ b(x) при x ® a. Тогда =

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва
Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Если существует и

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке