рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Охрана труда
/
Предел функции в точке

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Предел функции в точке

Предел функции в точке - раздел Охрана труда, Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности Пусть Функция F(X) Определена В Некоторой Окрестности Точки ...

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀(возможно, определена на R), но в самой точке x₀ функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точкеx₀(x ® x₀), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x₀ достаточно близко. Обозначение: f(x) = b.

Пример 1. Функция y = определена во всех точках числовой оси, за исключением x₀= 2. Найдем f(x), для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x ¹ 2: = 2x.

x	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4
y	3,2	3,4	3,6	3,8	4,2	4,4	4,6	4,8

График функции: y = совпадает с прямой: y = 2x для всех x ¹ 2
(рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

Покажем, что = 4. Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |f(x) – 4| = |– 4 | = | 2x – 4 |, так как x ¹ 2.

Потребуем, чтобы |f(x) – 4| <, тогда из неравенства: |2x – 4| < получаем |x – 2| <. Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство |f(x) – 4| <.

Аналогично можно показать, что |f(x) – 4| <, если 2 – < x < 2 + и, вообще, для любого (малого) положительного числа e: |f(x) – 4| < e, если 2 – < x < 2 + (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим = d. Итак, = 4.

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (при стремлении x к x₀), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое, что для любого x ¹ x₀ и удовлетворяющему неравенству: x₀– d < x < x₀+ d, выполняется неравенство: | f(x) – b| < e.

Символически f(x) = b означает:

"e > 0 $d > 0 "x ¹ x₀ (x₀– d < x < x₀ + d ® | f(x) – b | < e). (*)

Заметим, что условие:

«x ¹ x₀и x₀– d < x < x₀+ d»

можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x₀| < d , и тогда формула (*) примет вид:

"e > 0 $d > 0 "x (0 < | x – x₀| < d ® | f(x) – b | < e).

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x₀ не далее, чем на d, значения f(x) отличаются от b не более чем на e.

Пример 2. Показать, что x = x₀.

В самом деле f(x) = x, поэтому для любого e > 0: | f(x) – x₀| < e при условии | x – x₀| < e (здесь d = e).

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики которое может быть полезно для организации учебного процесса... В учебном пособии рассматриваются следующие темы введение в математический... Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Предел функции в точке

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Логическая и математическая символика
В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение. Математические символы:

Множества
Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество

Функции
Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят,

Пределы функции на бесконечности
Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определе

Предел последовательности
Как отмечалось раньше, любая последовательность a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f(n

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке
Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (прав

Бесконечно-малые функции и их свойства
Функция a(х) называетсябесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х

Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Если f(x) = b, то f(x) = b + a(x), где a(x

Доказательство
1) Пусть a – положительный острый угол, докажем= 1. Предварительно докажем, что

Второй замечательный предел
Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4). Рассмотрим возрастающую последовательность:

Теорема 2 (второй замечательный предел)
Существует предел . Доказательство. Рассмотрим последовательность

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции
Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x ® a (x® + ¥, x ® –¥, x ® x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при

Доказательство
Пусть a(x) ~ b(x) при x ® a. Тогда =

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва
Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Если существует и

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке