У РГЗ перед умовами задач даються короткі теоретичні відомості

Передмова

Метою розрахунково-графічного завдання (РГЗ) є оволодіння студентами основних прийомів та методів числення невизначених інтегралів.

Операція інтегрування є зворотною по відношенню до диференціального числення і, як будь-яка зворотна операція, є більш складною. Студент повинен оволодіти багатьма прийомами та навиками, знати стандартні методи числення деяких класів інтегралів, а також вміти пристосовувати різні штучні прийоми. Це досягається практикою, яка повинна безперервно супроводжуватись вивченням теоретичного матеріалу.

У РГЗ перед умовами задач даються короткі теоретичні відомості, які містять основні формули, означення і деякі алгоритми.

З метою надання допомоги студентам в організації самостійної роботи при виконанні РГЗ пропонується розв’язок деяких типових прикладів.

При захисті студент повинен пояснити операції що робилися при виконанні РГЗ.

Навчальний посібник містить довідковий матеріал з елементарної математики та список рекомендованої літератури.

 

Методичні вказівки до виконання розрахункових завдань

Функція F(x) первісною функції f(x) на проміжку (a;b), якщо F(x) диференційована на проміжку (a;b) і для всіх . Якщо F(x)¾ первісна функції f(x) на проміжку (a;b), то всяка інша… Якщо F(x)¾ первісна функції f(x) на проміжку (a;b) і С ¾ довільна стала, то множина всіх первісних…

Огляд методів інтегрування.

 

Метод підстановки (заміна змінної).

, тоді: .

Метод інтегрування частинами.

. Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі типи інтегралів: а) інтеграли виду ,,, де P(x) ¾ багаточлен, а a ¾ дійсне число. У цих інтегралах за u слід взяти множник…

Найпростіші інтеграли, які містять у знаменнику

Квадратний тричлен.

Приклад 17. . Рішення. .

Інтегрування раціональних дробів.

Якщо підінтегральна функція є неправильний дріб, то необхідно виділити з нього цілу частину, тобто . Знаменник правильного дробу розкладається на множники виду і , де m і n ¾ цілі додатні числа. Тоді правильний дріб записується у вигляді суми елементарних дробів таким чином :

.

Тут P(x) ¾ багаточлен, який має степінь нижчий від степеня знаменника. A₁,…,A_m,M₁,…,M_n,N₁,…,N_n ¾ деякі невизначні дійсні числа.

Якщо у знаменнику маємо кратні комплексні корені, то використовують рекурентну формулу:

.

 

Розглянемо випадок, коли знаменник розкладається на лише неповторні дійсні множники першого степеня.

Рішення. Підінтегральна функція є неправильний дріб, тому виділяємо цілу частину:    

Інтегрування тригонометричних функцій.

Універсальна тригонометрична підстановка, раціоналізуючи інтеграл часто… 1) раціоналізується підстановкою ;

Інтегрування гіперболічних функцій.

виконується аналогічно інтегруванню тригонометричних функцій. При цьому використовуються такі формули: 1. 2.

Інтегрування диференціальних біномів.

1) P – ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановку де s – найменший спільний знаменник дробів m і n; 2) ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановку , де r –… 3) ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановку де r – знаменник дробу p.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Інтеграл виду за допомогою підстановки зводиться до одного з таких інтегралів: ; де . При інтегруванні цих інтегралів використовуються тригонометричні або… a)

Формули з елементарної математики.

Якщо a>0, b>0, то: 1) 2)