Метод інтегрування частинами.

Якщо та ¾ функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:

.

Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі типи інтегралів:

а) інтеграли виду ,,, де P(x) ¾ багаточлен, а a ¾ дійсне число. У цих інтегралах за u слід взяти множник P(x), а за ¾ вираз, що залишився;

б) інтеграли виду , , , , де P(x) ¾ багаточлен. У цих інтегралах слід взяти за ;

в) інтеграли виду , , , , де k і b ¾ дійсні числа. В даному випадку після застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.

Приклад 9. .

Рішення.

.

Приклад 10. .

Рішення.

.

Приклад 11. .

Рішення.

.

Приклад 12. .

Рішення.

.

Приклад 13. .

Рішення.

.

Часто метод інтегрування частинами застосовується разом з методом заміни змінної.

Приклад 14. .

Рішення.

.

Розглянемо інтеграли, які при застосуванні формули інтегрування частинами утворюють лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла.

Приклад 15. .

Рішення. Позначимо шуканий інтеграл через I.

.

Таким чином, одержали рівняння відносно шуканого інтеграла I. Розв’язавши це рівняння:

,

одержимо: .

Такі інтеграли можна також розв’язувати методом заміни змінної (про це мова піде далі).

Розглянемо ще один зворотній інтеграл.

Приклад 16. .

Рішення. Як і в попередньому випадку позначимо шуканий інтеграл через I.

,

,

,

.