Ортогональное планирование эксперимента

 

Структура матрицы С играет важную роль в реализации алгоритма определения коэффициентов аппроксимирующего полинома. Структура матрицы С зависит от выбора значений факторов в N опытах. Поэтому желательно особым образом выбирать значения факторов в опытах.

Элемент С_ii на главной диагонали матрицы С (i-тая строка, i-тый столбец) представляется суммой квадратов значений i-того столбца сочетаний факторов матрицы Х в N опытах

Элементы матрицы симметрично расположенные относительно главной диагонали равны между собой, то есть матрица С - симметричная.

;

где первый индекс указывает номер столбца матрицы Х, второй индекс - номер строки.

При этом

.

Чтобы существовала матрица С^-1, матрица С размера (1+m; 1+m) должна быть невырожденной, то есть ее определитель должен быть отличен от нуля. Это условие выполняется, если все m+1 столбцов матрицы Х линейно независимы. Кроме того, необходимо, чтобы число различных сочетаний факторов в матрице Х (число опытов N) должно быть не меньше чем m+1. Это условие исходит из того, что для определения m+1 коэффициента полинома необходимо не менее m+1 уравнений (опытов).

Полученные коэффициенты B позволяют сформировать уравнение функции отклика при m+1 членах уравнения. Если точность этого уравнения оказалась недостаточной, то требуется взять уравнение с большим числом членов и начать все заново так как все коэффициенты B оказываются зависимыми друг от друга. Это возникает при использовании пассивного эксперимента. Однако если целенаправленно использовать активный эксперимент и особым образом построить матрицу сочетаний факторов в опытах Х, использовать планирование эксперимента, то коэффициенты полинома определяются независимо друг от друга.

Стратегия применения планов заключается в принципе постепенного планирования – постепенного усложнения модели. Начинают с простейшей модели, находятся для нее коэффициенты, определяется ее точность. Если точность не удовлетворяет, то планирование и модель постепенно усложняются.

Задача планирования заключается в том как нужно строить матрицу Х, чтобы матрица С легко обращалась и коэффициенты B определялись независимо друг от друга. Эти требования выполняется если матрица С является диагональной, то есть все элементы расположенные не на главной диагонали матрицы равны нулю

или

Тогда обратная матрица определяется как

В этом случае система уравнений распадается на m+1 независимых уравнения и коэффициенты полинома определяются как

Если учесть, что С_ii определяется как сумма квадратов значений факторов

,

то коэффициенты определяются как

Требование выполнения условия C_ij=C_ji=0 заключается в выполнении условия

где i, j - номера столбцов в матрице Х; i=0,1,2,…,m; j=0,1,2,…,m при i≠j.

Каждый столбец матрицы Х можно представить в виде вектора

,

если ,

то это означает что скалярное произведение двух векторов Х_i и Х_j равняется нулю, то есть векторы Х_i и Х_j - ортогональны.

Так как любое скалярное произведение двух различных столбцов в матрице Х должно быть равно нулю, то это условие называется условием ортогональности матрицы Х, а соответствующее планирование эксперимента (определение сочетаний факторов) называется ортогональным планированием.

Для ортогонального планирования при учете того что x_0U=1, U=1,…,N

Таким образом, при ортогональном планировании сумма элементов любого столбца матрицы Х, кроме первого столбца должно быть равна нулю. Это правило используется при построении плана эксперимента, то есть при определении каким образом нужно менять значения факторов в опытах. Это правило показывает, что в ортогональном планировании при четном числе уровней, на которых фиксируется каждый фактор, то эти уровни должны быть симметрично расположены относительно центральной точки х=0, при нечетном числе уровней должна использоваться и центральная точка (рис.6).

Кроме свойства ортогональности план может обладать свойствам насыщенности, рототабельности и др. План является насыщенным, если общее число опытов N равняется числу неизвестных коэффициентов полинома m+1.

Рис. 6. Выбор уровней варьирования при ортогональном планировании

План называется рототабельным, если дисперсия отклика одинакова на одном расстоянии от центра плана при любом направлении в факторном пространстве. В упрощенном виде это означает, что все точки плана лежат на окружности (сфере, гиперсфере).

 

 

4. Планы полного факторного эксперимента 2ⁿ (планы ПФЭ 2ⁿ)

 

Алгоритм полного факторного эксперимента на двух уровнях с равным числом параллельных опытов. Исходные данные. Ставится задача определения локаль­ного оптимума на объекте исследования, для этого пред­полагается использовать математическую модель, полу­ченную с помощью полного факторного эксперимента.

Выбирают факторы и выходную переменную, задают области определения факторов и выходной переменной

;

; (1.126)

.

. . . . . . . . .

Кодирование. В области определения факторов выби­рается точка Х_i0, (нулевой уровень факторов), которая в предварительных исследованиях была призна­на наилучшей с точки зрения оптимума у. Задается ин­тервал варьирования факторов ∆Х_i. Определяются вер­хние и нижние уровни факторов:

;

(1.127)

при условии, что .

Кодируются факторы (переход к новой безразмерной системе координат x₁, x₂,…, x_n):

;

(1.128)

.

В новой системе координат факторы принимают зна­чения + 1 и – 1 .

План эксперимента. План проведения эксперимента (матрица планирования) записывается в виде табл. 1.7.

Таблица 1.7. План эксперимента

Номер опыта	x0	План	Выходная переменная
x1	x2	…	xn	yu1	yu2	…	yum
. . . N	+1 +1 . . . +1	+1 –1 . . . –1	+1 +1 . . . –1	… … . . . …	+1 +1 . . . –1	y11 y21   …   yN1	y12 y22   …   yN2	… …   …   …	y1m y2m   …   yNm	1 2   …   N

 

В приведенном плане х₀ – фиктивная переменная, равная единице; здесь также проводятся параллельные опыты – их число равно т в каждой строке матрицы планирования.

Пояснение. Предложенный план эксперимента обла­дает ортогональностью:

, , i, , (1.129)

что соответствует следствию 2 [см. (1.107)] и вытекаю­щему из него преимуществу независимого определения коэффициентов [см. (1.108) и (1.109)].

Как следствие (1.129) план эксперимента обладает симметричностью

, (1.130)

и нормировкой

. (1.131)

Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) обладают также ротатабельностью. Последнее предполагает равенство и минимальность дисперсий предсказанных значений выходной переменной для всех точек факторного пространства. По закону накопления ошибок для дисперсии предсказанных уравнением ре­грессии значений выходной переменной можно записать:

. (1.132)

Из условий (1.112) вытекает, что дисперсии коэффи­циентов регрессии равны между собой, тогда

, (1.133)

или с учетом того, что (– радиус сферы)

. (1.134)

Отсюда ясно, что дисперсия предсказанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы. Это свойство ротатабельности эквивалентно независи­мости дисперсии выходной переменной от вращения ко­ординат в центре плана и оправдано при поиске оптиму­ма градиентными методами. Интуитивно понятно, что исследователю удобно иметь дело с такой информацией, содержащейся в уравнении регрессии, которая равномер­но «размазана» по сфере радиусом . Действительно, та­кое положение можно признать разумным, ибо с помо­щью уравнения регрессии будут предприниматься по­пытки предсказать положение еще неизвестных участков факторного пространства. Равноценность этих участков в смысле ошибки предсказания, по-видимому, является необходимой.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии. Исходя из (1.108), (1.109) и (1.131) коэффициенты рассчитыва­ются по уравнению

, i=0, 1, 2 ,…, n, (1.135)

где , (1.136)

и окончательно

, (1.137)

где N – число строк матрицы планирования (число раз­ных условий опыта); m – число параллельных опытов на каждой строке матрицы.

Построчные дисперсии по параллельным опытам на каждой строке матрицы рассчитываются по уравнению

, (1.138)

где . (1.139)

Проверка однородности дисперсий осуществляется по уравнениям (1.18) и (1.19) при условии m_i=т, p=N индекс i заменяется индексом и.

Принятие решений. Если не выполняется условие (1.19), то гипотеза об однородности дисперсий отверга­ется и одними из решений являются увеличение числа параллельных опытов, изменение метода контроля вы­ходной переменной, масштабирование выходной пере­менной.

Расчет ошибки опыта производится усреднением по­строчных дисперсий

(1.140)

 

для числа степеней свободы

. (1.141)

Оценка значимости коэффициентов регрессии произ­водится расчетом t-критерия по формуле (1.90), расче­том дисперсий коэффициентов по формуле (1.119) с уче­том (1.131) и оценкой по условию (1.91):

. (1.141,a)

Принятие решений. Если для какого-то коэффициен­та условие (1.91) не выполняется, то соответствующий фактор можно признать незначимым и исключить его из уравнения. Однако рекомендуется помнить, что скорее всего полученная незначимость фактора является след­ствием неудачно выбранного (малого) интервала варьи­рования. Отсюда ясно, что более правильным является решение повторить эксперимент, расширив интервал варьирования для исследуемого фактора. Конечно, при этом число опытов, а значит и длительность эксперимен­та, возрастают. Иногда половину опытов сохраняют тем, что интервал варьирования расширяют только в одну сторону, другой же (верхний или нижний) уровень оста­ется прежним.

Если фактор остался незначимым после повторения эксперимента и всех необходимых расчетов, то его (или их) отбрасывают и переходят к анализу адекватности уравнения.

Проверка адекватности уравнения регрессии осуще­ствляется по формулам (1.92), (1.94), (1.95) с учетом параллельных опытов:

. (1.141,б)

Поиск F_T производится для степеней свободы f_аД (1.93) и f₀ (1.141).

Принятие решений. При выполнении условия (1.96), т.е. при неадекватной линейной модели, наиболее часто принимают решение об уменьшении интервалов варьи­рования факторов и повторении эксперимента. Такое ре­шение хотя и уменьшает кривизну поверхности отклика, однако может привести к появлению незначимых коэф­фициентов. Очень эффективно включать в план экспери­мента новый фактор из числа отсеянных ранее. Если условие (1.96) выполняется, то адекватный линейный полином можно использовать для решения различных задач (гл. 3).

1.5.2. Алгоритм ПФЭ с параллельными опытами в одной точке факторного пространства. Исходные данные не отличаются от алгоритма ПФЭ с одинаковым числом параллельных опытов (см. 1.5.1); так же проводится и кодирование.

План эксперимента строится с учетом априорной ин­формации о хорошей воспроизводимости опытов, что не требует проверки однородности построчных дисперсий. Тогда для расчета ошибки опыта достаточно провести параллельных опытов (см. 1.5.1); так же проводится и пространства (без потери общности они могут быть по­ставленными в центре плана с координатами Х ={0,0, ...,0}, табл. 1.8).

Таблица 1.8. План эксперимента

Номер опыта	x0	План	Выходная переменная
x1	x2	…	xn
. . . N N+1 N+2	+1 +1 . . . +1 +1 +1	+1 –1 . . . –1	+1 +1 . . . –1	… … . . . … … …	+1 +1 . . . –1	y1 y2 . . . yN y01 y02
. . .	…	…	…	…	…	. . .
N+N0				…

Расчет ошибки опыта производится по формуле

, (1.142)

где . (1.143)

За исключением этапа проверки однородности дисперсий, все остальные этапы данного алгоритма совпадают с алгоритмом 1.5.1.

1.5.3. Алгоритм ПФЭ при неравном числе параллель­ных опытов.

Введение. На практике приходится сталки­ваться с такими ситуациями, которые не позволяют при реализации эксперимента выдержать одинаковое число параллельных опытов по каждой строке матрицы плани­рования. Это происходит либо из-за случайных грубых нарушений условий эксперимента, когда измерение при­знается неудачным, а повторить его по каким-либо при­чинам не удается, либо вследствие неуверенности экспериментатора в «чистоте» опыта.

Последовательность обработки результатов экспери­мента при неравном количестве параллельных опытов не нарушается, однако алгоритмы расчета меняются вслед­ствие нарушения ортогональности матрицы планирова­ния. Это приводит к изменению расчетных формул для коэффициентов регрессии и их ошибок, а также для дис­персии адекватности.

Исходные данные не отличаются от исходных данных алгоритма 1.5.1.

План эксперимента соответствует приведенному в табл. 1.7, однако в каждой строке число параллельных опытов т_и может быть иным.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии. Вслед­ствие неортогональности матрицы планирования расчет коэффициентов регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов. Лучше всего использовать мат­ричную форму записи и стандартные программы ЭВМ – обращение матриц, транспонирование, расчет детер­минанта матриц и т. д. [см. 1.4.1, формула (1.103)].

Расчет ошибки опыта. Рассчитываются построчные дисперсии по формулам (1.138) и (1.139).

При усреднении построчных дисперсий пользуются средневзвешенными значениями дисперсий, взятыми с учетом числа степеней свободы f_u, для u-ой строки мат­рицы планирования:

. (1.144)

Проверка однородности дисперсий. При неравном числе параллельных опытов для проверки однородности дисперсий используется критерий Бартлета. Для этого рассчитывается величина А_р:

; (1.145)

, (1.146)

, (1.147)

где f₀ – число степеней свободы; N – число сравнивае­мых дисперсий (здесь их число равно числу строк мат­риц).

Принятие решений. Бартлет доказал, что рассчитан­ная величина А_р приближается к – распределению с N – 1 степенями свободы. Тогда, если выполняется неравенство

, , (1.148)

то дисперсии признаются однородными.

Замечание. Критерий Бартлета базируется на нор­мальном распределении случайной величины у_и. Поэтому проверка нормальности закона распределения у_и весьма желательна.

Учитывая сложность применения критерия Бартлета при неодинаковом числе параллельных опытов, практи­чески удобно использовать критерий Фишера. Для этого составляется отношение максимальной построчной дис­персии к минимальной:

. (1.149)

Очевидно, что если выполнять условие

(1.150)

при , и заданном уровне значимости q (т.е. максимальная и минимальная дисперсии отличаются незначимо), то и остальные дис­персии будут отличаться незначимо. Таким образом, ги­потезу об однородности дисперсий можно признать пра­вомерной при выполнении условия (1.150).

Проверка значимости коэффициентов регрессии не от­личается от произведенной выше при равном числе па­раллельных опытов. Следует отметить, что смысл провер­ки несколько меняется вследствие неортогональности матрицы планирования, что приводит к появлению недиагональных элементов в матрице .Однако по значениям они обычно невелики и поэтому критерий Стьюдента можно использовать как средство ранжирования коэффициентов регрессии в соответствии с формулами (1.90), (1.91), числом степеней свободы f₀ (1.147) и заданным уровнем значимости.

Принятие решений не отличается от предыдущих ал­горитмов.

Проверка адекватности уравнения регрессии. Расчет дисперсии адекватности осуществляется по формуле

. (1.151)

Физический смысл формулы таков: различию между экспериментальным и расчетным значениями выходной переменной придается тем больший вес, чем большее число опытов реализуется. Здесь т_и фактически являет­ся весовым коэффициентом. Для проверки адекватности используется критерий Фишера в соответствии с (1.95) и (1.96).

Принятие решений не отличается от предыдущих ал­горитмов.

1.5.4. Алгоритм ПФЭ с расчетом коэффициентов взаимодействийфакторов. Введение. Ранее уже упомина­лось, что цель ПФЭ – получение адекватной линейной модели, которую предполагается использовать для опти­мизации объекта исследования. В задачах интерполяции же математическая модель должна адекватно описывать объект в области эксперимента и потому может быть не­линейной. Планы ПФЭ, с одной стороны, позволяют до­статочно просто рассчитать коэффициенты при взаимо­действиях факторов и, если они значимы, использовать полученную модель для интерполяционных целей. С другой стороны, значимость коэффициентов при взаимодействиях факторов сразу же позволяет сделать вывод о неадекватности линейной модели.

Исходные данные в отличие от 1.5.1 пополняются условием необходимости расчета коэффициентов при взаимодействиях факторов, т.е. ищется модель в виде

(1.152)

.

План эксперимента дополняется расчетными столбцами x_i x_j. Например, план ПЭФ 2³ приведен в табл. 1.9.

Таблица 1.9. План эксперимента

Номер опыта	x0	План	Выходная переменная
реализуемый	расчетный
x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3
	+1 –1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 +1 –1 +1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1	+1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1	+1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1	+1 –1 +1 –1 –1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1 –1 –1 +1 +1	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

 

Расчет коэффициентов проводится по уравнению

, i=1, 2, …, n, . (1.153)

Остальные этапы не отличаются от приведенных в алгоритме 1.5.1.

Замечание 1. В задачах оптимизации необходимо, что­бы все b_ij были незначимы, а в задачах интерполяции наоборот – значимы (хотя бы некоторые). Поэтому для задач оптимизации всегда проводят расчет b_ij и ис­пользуют их для проверки адекватности модели.

Замечание 2. Существует еще одна проверка нели­нейности модели оценкой гипотезы о равенстве нулю сум­мы коэффициентов при квадратичных членах. С этой целью в центре плана ставят несколько опытов, опреде­ляют среднее и вычисляют разность, кото­рая и является оценкой суммы коэффициентов при квад­ратичных членах.

Действительно, свободный член b₀, который рассчи­тывают по уравнению:

, (1.154)

является совместной оценкой и :

, (1.155)

где β₀ – свободный член уравнения регрессии по гене­ральной совокупности экспериментальных данных; β_ii – коэффициенты при также по генеральной совокупности.

Это положение вытекает из идентичности столбцов матрицы планирования при х₀ и (они все равны + 1). Тогда разность может в какой-то мере служить оценкой кривизны поверхности отклика выход­ной переменной. Значимость этой разницы проверяют по условию:

, (1.156)

где s₀ – среднеквадратичное отклонение ошибок опыта; N – число опытов; t_T – табличное значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы дисперсии и уровня значимости q.

Выполнение условия (1.156) свидетельствует о значи­мости квадратичных членов, и требуется их введение в интерполяционное уравнение или уменьшение интервалов варьирования факторов для получения адекватной ли­нейной модели.

Рис. 32. Геометрическое отображение плана ПФЭ 2³ в факторном пространстве

 

 

5.5. Планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ)

 

При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов больше шести (n > 6), число опытов планов ПФЭ 2ⁿ (N = 2ⁿ) становится чрезмерным. Если нам не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному факторному эксперименту (ДФЭ) – части полного факторного эксперимента.

Число необходимых опытов в условиях линейной модели сущест­венно сокращается при проведении дробных факторных эксперимен­тов (дробных реплик от ПФЭ). В качестве реплики обычно использует­ся полный факторный эксперимент для меньшего числа факторов. При этом вычисление коэффициентов уравнения и оценка их значимости проводится так же, как и в рассмотренных выше примерах ПФЭ 2² и 2³. Число опытов в дробной реплике должно быть больше или равно числу неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии.

Алгоритм дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Введение. Полный факторный эксперимент явля­ется весьма эффективным средством получения матема­тической модели исследуемого объекта особенно при числе факторов n>3. Однако увеличение числа факторов приводит к резкому увеличению числа опытов. Так, ПФЭ 2⁶ требует постановки 64 опытов, а 2⁷ – 128 опытов. Ко­нечно, точность модели при увеличении числа опытов также возрастает, однако, известно, что увеличение числа опытов приводит к большим затратам средств и време­ни.

Практика показывает, что для получения достаточно точных оценок коэффициентов регрессии можно обой­тись малым количеством опытов, вводя понятие дробного факторного эксперимента (или дробных реплик), который представляет собой некоторую часть (и т.д.) от полного факторного эксперимента (см. 1.1.3).

Сокращение числа опытов влечет за собой появле­ние корреляции между некоторыми столбцами матрицы планирования. Это обстоятельство не позволяет раз­дельно оценивать эффект факторов и эффекты взаимо­действия. Получаются так называемые смешанные оценки.

Определения. Для дробных реплик используют спе­циальные алгебраические соотношения, облегчающие выявление смешанных эффектов. Они называются гене­рирующими соотношениями и определяю­щими контрастами.

Генерирующим называется соотношение, которое по­казывает, какое из взаимодействий принято незначимым, а потому заменено в матрице планирования новой неза­висимой переменной. Так, рассмотренный в табл.1.10 план типа задавался генерирующим соотношением

.

Таблица 1.10. План эксперимента

Номер опыта	x0	План	Выходная переменная
x1	x2	x3=x1 x2
	+1 +1 +1 +1	+1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1	+1 –1 –1 +1	y1 y2 y3 y4

 

С генерирующими соотношениями можно производить алгебраические операции: умножать обе части равенст­ва на любые эффекты – линейные и определенные взаимодействия. При этом, если фактор входит в уравнение в квадрате или в другой четной степени, то он заменяет­ся единицей . Умножив генерирую­щее соотношение для плана на х₃:

,

или, учитывая вышесказанное, получим

.

Это и есть определяющий контраст – соотно­шение, которое задает элементы первого столбца матрицы (как известно, элементы первого столбца матрицы рав­ны 1).

План эксперимента. Зная определяющий контраст, можно найти соотношения, задающие все смешанные оценки для данной дробной реплики. Для этого опреде­ляющий контраст умножается на каждый фактор. В рас­сматриваемом примере для первой полуреплики от плана 2³ смешанные оценки коэффициентов регрессии задают­ся следующими соотношениями:

;

;

,

что соответствует оценкам

; ; .

Замечание. Эффективность системы смешивания фак­торов и взаимодействий факторов определяется так на­зываемой разрешающей способностью мат­рицы. Она считается максимальной, если линейные эф­фекты смешаны с эффектами взаимодействия, наиболь­ших по числу факторов в него входящих. Так, при выборе полуреплики возможны восемь решений

1. ; 5. ;

2. ; 6. ;

3. ; 7. ;

4. ; 8. .

Согласно принятому определению, наибольшая раз­решающая способность у реплик 7 и 8, они называют­ся главными. При наличии априорной информации и значимости взаимодействий факторов можно разрабо­тать наилучшую систему смешивания оценок. Если эти сведения отсутствуют, то выбирают реплику с наиболь­шей разрешающей способностью, поскольку тройные взаимодействия обычно менее важны, чем двойные.

Остальные этапы алгоритма – расчет коэффициентов регрессии и статистический анализ уравнения – не отли­чаются от приведенных выше.

 

1.6. Факторный эксперимент второго порядка

Введение. Задачей факторного эксперимента второго порядка является проведение оптимального плана ис­следований, получение нелинейной модели и ее статисти­ческий анализ. Модель применяется для поиска коорди­наты оптимума и может использоваться для целей интер­поляции и экстраполяции.

Обычно факторный эксперимент второго порядка используется для описания существенно нелинейных объектов полиномом

. (1.157)

Пояснение. Построить планы, по которым можно по­лучить модель в виде (1.157) с помощью ранее рассмот­ренных алгоритмов не удается хотя бы потому, что усло­вие ортогональности в столбцах матрицы не выполняется (сумма элементов столбцов не равна нулю). Также тре­буется поставить большое число опытов. Очевидно, что планирование на трех уровнях З^п неэкономично и потому предложено дополнить план ПФЭ 2^п определенными точками факторного пространства так, чтобы выполнялось условие ортогональности или ротатабельности, но при этом число опытов таких планов было меньшим, чем ПФЭ З^п:

, (1.158)

где каждое слагаемое определяет число опытов ПФЭ 2^п, число «звездных» и число нулевых опытов (в центре плана). Из формулы (1.158) вытекает, что предлагаемые планы (при п>2) экономичнее планов на трех уровнях (обычно N₀ = 1).

Большим преимуществом таких планов является то, что их можно получать из планов 2^п. Для построения ис­пользуется план 2ⁿ, линейная модель по которому при поиске области оптимума оказалась неадекватной. Все проведенные эксперименты остаются, а план пополняется определенным количеством специально подобранных «звездных» точек. Отметим, что дробная реплика преды­дущего плана в новом плане дополняется до полного факторного эксперимента, если n≤4; при n>4 возможно использование дробных реплик. Организованные таким образом планы называются центральными и ком­позиционными. Общий вид плана приведен в табл. 1.11.

Таблица 1.11. План эксперимента

Номер опыта	x0	План	Выходная переменная
x1	x2	x1 x2
	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 –1 –1 +α –α	+1 –1 +1 –1 +α –α	+1 –1 –1 +1	+1 +1 +1 +1	+1 +1 +1 +1	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

 

Выбор плеча «звездных» точек и числа нулевых точек зависит от критерия оптимальности плана. В инженер­ной практике широко применяются ортогональные и ротатабельные планы второго порядка.

1.6.1. Алгоритм ортогонального плана второго поряд­ка (ЦКОП). Исходные данные. Имеется план ПФЭ 2ⁿ. Математическая модель, полученная по этому плану, неадекватная. Условия (1.126) остаются прежними.

Кодирование. Для получения ортогональных планов второго порядка необходимо провести некоторое преоб­разование столбцов квадратичных переменных и столб­ца х₀. Это вызвано неортогональностью указанных столб­цов матрицы планирования (см. табл. 1.11), поскольку

; (1.159)

. (1.160)

Неравенства справедливы, поскольку значения в столбцах х₀ и всегда положительны. Заметим, что в ортогональных планах на количество нулевых точек обычно не накладывают никаких условий, поэтому N₀ принимают равным единице.

Для ортогональности исходного плана введем преоб­разование

, (1.161)

тогда

.

Если приравнять недиагональный элемент ковариционной матрицы нулю и решить его относительно α, то можно найти его значение, организующее ортогональ­ность столбцов (значения α для различных п приведе­ны в табл.1.12).

Таблица 1.12. Величина плеча для ортогональных планов второго порядка

Наименование элементов плана	Число независимых факторов
Ядро плана	22	23	24	25-1
α	1,00	1,215	1,414	1,547

 

План эксперимента. Ортогональная матрица компо­зиционного плана для n=2 приведена в табл. 1.13. Зна­чения находятся по формуле (1.161)

, или .

 

Таблица 1.13. План эксперимента

Номер опыта	x0	План	Расчетная матрица	Выходная переменная
x1	x2	x1 x2
	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 –1 –1 +1 –1	+1 –1 +1 –1 +1 –1	1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 –2/3	1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 –2/3	1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 1/3 1/3 –2/3	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

 

Ортогональная матрица композиционного плана для п=3 приведена в табл. 1.14. Значения находят по формуле (1. 161)

или .

Расчет коэффициентов регрессии осуществляется в соответствии с методом наименьших квадратов (см. 1.4.1). Коэффициенты и их дисперсии можно также рассчитывать по формулам

; (1.162)

; (1.163)

; (1.164)

; (1.165)

 

Таблица 1.14 План эксперимента

Номер опыта	x0	План	Расчетная матрица	Выходная переменная
x1	x2	x3				x1 x2	x1 x3	x2 x3
	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 –1 +1 –1 +1 –1 +1 –1 1,215 –1,215	+1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 1,215 –1,215	+1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1 1,215 –1,215	0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,746 0,746 –0,73 –0,73 –0,73 –0,73 –0,73	0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 –0,73 –0,73 –0,746 –0,746 –0,73 –0,73 –0,73	0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 –0,73 –0,73 –0,73 –0,73 0,746 0,746 –0,73	+1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1	+1 –1 +1 –1 –1 +1 –1 +1	+1 +1 –1 –1 –1 –1 +1 +1	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 y15

; (1.166)

; (1.167)

; (1.168)

, (1.169)

где – ошибка опыта, известная по полному факторному эксперименту.

Дисперсия величины b₀ оценивается по уравнению

. (1.170)

Оценка значимости коэффициентов проводится по критерию Стьюдента (см. (1.90)), а решения прини­маются в соответствии с (1.91). Благодаря ортого­нальности плана после отбрасывания незначимых коэф­фициентов оставшиеся не пересчитываются.

Проверка адекватности уравнения регрессии осуще­ствляется расчетом S_OCT сначала по формуле (1.92) и далее по формулам (1.93), (1.94), (1.95).

Значение определяется по уравнению

(1.171)

или

. (1.172)

Переход от (1. 171) к (1. 172) осуществляется ра­счетом величины свободного члена по уравнению

, (1.173)

где

.

Принятие решений осуществляется в соответствии с (1.96).

Кодирование и основы построения плана. Построение ротатабельности планов второго порядка – сложная математическая задача, требующая доказательства не­скольких теорем. Воспользуемся результатами исследо­ваний, где предлагается условия ротатабельности зада­вать уравнениями

, i = 1, 2, …, n;

(1.174)

(ij, i, j = 1, 2, …, n),

где n – число факторов; N – число опытов; и – некоторые константы, связанные неравенством

, (1.175)

которое является условием невырожденности информа­ционной матрицы (Х^ТХ).

Если ввести несколько точек на сфере с нулевым ра­диусом, т.е. несколько точек в центре плана N₀, то можно рассчитать параметр

, (1.176)

где , и усилить неравенство (1.175), поскольку

. (1.177)

«Звездные» точки ротатабельности планов строят на осях координат факторов с величиной звездного плеча , рассчитанного по формуле

, (1.178)

 

а для дробного факторного эксперимента

, (1.179)

где п – число факторов; р – определяет дробность реп­лики (р=1 – полуреплика, р = 2 – четверть реплики и т. д.).

Выбор , числа «звездных» и числа нулевых точек удобно делать по табл. 1.15.

Таблица 1.15. Параметры ротатабельных планов второго порядка

Наименование элементов плана	ПФЭ 2n	ДФЭ
n=2	n=3	n=4	n=5	n=5
Число опытов в ядре матрицы Число «звездных» точек Число нулевых точек Значение	1,414	1,682	2,000	10 2,378	2,000

 

План эксперимента совпадает с ЦКОП, но при дру­гих значениях параметров , N₀ (см. табл. 1.11).

Расчет коэффициентов регрессии. Обработка резуль­татов реализации планов второго порядка требует в це­лом значительной вычислительной работы и лучше все­го ее проводить на ЭЦВМ по формуле (1.103).

Специфический характер матрицы (Х^ТХ) для ЦКРП позволяет получить общие формулы для расчета коэф­фициентов. Основная задача вычислительной машины в этом случае – выдача на печать следующих элементов обращенной матрицы:

, ;

, . (1.180)

Если обозначить

;, (1.181)

то с учетом (1.176), (1.180) и (1.181) коэффициенты регрессии можно определить по формулам

; (1.182)

; (1.183)

; (1.184)

. (1.185)

Для n=3 приведенные формулы имеют вид

; (1.186)

; (1.187)

; (1.188)

 

. (1.189)

Оценка значимости коэффициентов регрессии. Дисперсии для коэффициентов регрессии рассчитываются по формулам

; (1.190)

; (1.191)

; (1.192)

 

, (1.193)

где – дисперсия опыта.

Оценка значимости коэффициентов регрессии прово­дится так же, как и в ЦКОП.

Принятие решений. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, то после его исключения уравнение регрессии необходимо посчитать заново (это связано с неортогональностью квадратичных столбцов матрицы планирования). Остальные незначимые коэф­фициенты упускаются без пересчета уравнения.

Проверка адекватности уравнения регрессии. Преоб­разования ротатабельного плана несколько изменили формулы расчета дисперсий.

Так, сумму квадратов отклонений в центре плана можно подсчитать по формуле

, (1.194)

где – число степеней свободы этой суммы; k= 1, 2, …, N₀.

Дисперсия опыта получается делением суммы (1.194) на :

. (1.195)

Остаточная сумма квадратов вычисляется так:

, , (1.196)

или

. (1.197)

Сумма квадратов S_ад, оценивающая адекватность мо­дели, подсчитывается по формуле

, . (1.198)

Расчетное значение критерия Фишера, как и ранее, формируют как отношение дисперсии адекватности к Дисперсии опыта (1.94) и (1.95) и сравнивают с таблич­ными значениями F_T для степеней свободы и по из­вестным равенствам (см. (1.96)).

Принятие решении. Если условие (1.96) не выполня­ется, то нелинейная модель, полученная по плану ЦКРП, неадекватна. В этом случае требуется изменение поряд­ка полинома (переход к полиному третьего порядка), добавление факторов в уравнение регрессии или тщатель­ный анализ ошибок в эксперименте (получающихся, на­пример, вследствие временного дрейфа).

 

 

5.6. Насыщенные планы первого порядка

 

Насыщенным планом первого порядка – называется план, содержащий n+1 точку (опыт). Например, при n = 4, N=n + 1 = 5.

То есть полином формируется в виде

.

Таким образом, насыщенный план – это предельно минимальный случай плана ДФЭ. Такие планы называются симплекс-планы. Для симплекс-плана при n = 1 N = 2 его геометрическое изображение представлено на рис. 34, а; при n=2, N=3 – на рис. 11, б; при n=3, N=4 – на рис. 11, в. Симплекс-планы обычно используются на стадии предварительного исследования.