Некоторые нелинейные модели, сводящиеся к линейным
Некоторые нелинейные модели, сводящиеся к линейным - раздел Философия, ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Основной Задачей При Определении Вида Математической Модели Исследуемого Проц...
Основной задачей при определении вида математической модели исследуемого процесса является наиболее точное отображение общей тенденции зависимости Y от X. Общий вид математической модели представлен уравнением
Где – заранее неизвестная функция, подлежащая определению; - ошибка аппроксимации экспериментальных данных.
Наиболее простым решением поиска функциональной зависимости является линейный полином вида
Однако далеко не все зависимости можно описать полином первой степени. Существуют множество нелинейных функций, адекватных различным процессам и явлениям, например: степенная показательная гиперболическая логарифмическая экспоненциальная и др.
Применение метода наименьших квадратов для определения коэффициентов регрессии нелинейных функций практически ничем не отличается от обычной схемы, следует лишь первоначально перед определением коэффициентов провести линеаризацию функции, т.е. привести нелинейные функции к линейному виду с помощью специальных преобразований.
Математические модели многих технологических процессов швейного производства и свойств текстильных материалов имеют нелинейный характер и представляют собой степенные, показательные, гиперболические и другие функции.
Выбор конкретного вида нелинейной зависимости можно проводить двумя методами:
· путем сравнения экспериментальной линии регрессии с характерными теоретическими кривыми для различных типов моделей;
· расчетным методом, определяя промежуточные значения входного и выходного факторов.
После определения вида нелинейной функции переходят к вычислению коэффициентов регрессии, используя операцию линеаризации.
Линеаризованное уравнение имеет вид уравнения прямой:
Существуют два вида нелинейности регрессионных моделей:
Нелинейные относительно независимых переменных.
Например,
.
В этом случае необходимо просто сделать замену переменных:
Нелинейные относительно параметров регрессии.
Например,
Выполним функциональное преобразование:
пусть тогда
К сожалению, не всегда можно функциональными преобразованиями от нелинейных моделей перейти к линейным. Кроме того, нужно иметь в виду, что при вычислении параметров по методу МНК минимизируется сумма квадратов отклонений преобразованных, а не исходных данных.
Координаты промежуточных точек и , а также формулы для преобразования функции в линейный вид приведены в таблице
Функции, преобразованные в линейные
№, п/п
Вид модели, функция исходных переменных
Вид преобразования переменных и параметров
Вид уравнения прямой после преобразования
Координаты промежуточной точки исходных переменных
1.
Степенная
2.
Показательная
3.
Гиперболическая
4.
Гиперболическая
5.
Гиперболическая
6.
Логарифмическая
7.
Экспоненциальная
Промежуточное экспериментальное значение , соответствующее , по формуле
Определяют величины отклонений
По величине минимального отклонения определяют условный вид математической модели по табл., а также вид преобразований переменных и параметров - , , , , вид уравнения прямой после преобразования.
Средний уровень линеаризованного фактора определяют по формуле
Определение коэффициентов регрессии
Вид линеаризованного уравнения находят, подставляя коэффициенты регрессии в формулу.
В линеаризованное уравнение подставляют непреобразованные переменные Y и X и определяют вид искомой математической модели.
Определение фактора
Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования.
Также
Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента
При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т. е. може
Требования к совокупности факторов
При планировании эксперимента обычно одновременно изменяется несколько факторов. Поэтому очень важно сформулировать требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Прежде всего, выдви
Представление результатов экспериментов
Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …, Хn называется поверхностью отклика (рис. 2).
Факторов
Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома
Однофакторный факторный эксперимент
В однофакторном планировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в серии опытов меняется уровень лишь одного фактора, а остальные остаются
Регрессионный анализ
В регрессионном анализе изучается связь и определяется количественная зависимость между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.
При решении многих инженерных
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применя
Регрессионные модели первого и второго порядка
Уравнением регрессии Y от X называют функциональную зависимость у=f(x), а ее график – линией регрессии.
При обработке экспериментальных данных одной из важных задач является задача определ
Построение графиков
Excel позволяет создавать диаграммы и графики довольно приемлемого качества. Excel имеется специальное средство — Мастер диаграмм, под руководством которого пользователь проходит все четыре этапа п
Построение линий тренда
Для получения математической модели необходимо построить на графике линию тренда. В Excel 2003 и 2007 нужно щелкнуть правой кнопкой мыши на точки графика. Тогда в Excel 2003 появится вкладка с пере
Линейная функция
Функция аргумента х, имеющая вид у=ах+b, где а и b – некоторые заданные числа, называется линейной. Ее графиком является прямая линия, которая наклонена к оси х п
Проверка адекватности модели
Для проверки гипотезы адекватности модели необходимо сравнить две суммы квадратов:
1) Остаточную сумму квадратов, характеризующую отклонение от регрессии
Проверка значимости параметров модели и ее адекватности
В результате проверки устанавливается статистическая значимость или незначимость отличия от нуля оценок параметров регрессии. Это проверка осуществляется отдельно для каждого параме
Полиномиальная модель
Для определения степени полинома используют метод тождественности разделенных или неразделенных разностей.
Если в результате эксперимента получены следующие пары значений
Регрессия в программе Excel
Статистическая обработка данных может также проводиться с помощью надстройки Пакет анализа в подпункте меню «Сервис». В программе Excel 2003, если открыв СЕРВИС, не находим в
Корреляционный анализ
Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими случайными величинами.
Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного т
Полный факторный эксперимент
Эффективное решение научных и прикладных задач исследований различных процессов и явлений предполагает учет, по возможности, всей совокупности факторов и их взаимных связей, оказывающих влияние на
Планирование ПФЭ.
Перед началом эксперимента необходимо построить его план, т.е. определить, какие сочетания уровней факторов следует реализовать и в каком порядке осуществить планирование и рандомизацию повторных о
Выбор факторов
При выборе факторов нужно выполнять следующие требования:
1) фактор должен быть регулируемым, т. е. с помощью определенного регулирующего устройства фактор можно изменять от значения x1
Эксперимента
При матричной записи результатов различных N опытов для полиномиального представления результата
Ортогональное планирование эксперимента
Структура матрицы С играет важную роль в реализации алгоритма определения коэффициентов аппроксимирующего полинома. Структура матрицы С зависит от
Планы второго порядка
Они позволяют сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный полином, сформированный по планам
Второго порядка
Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, что бы матрица С=ХtХ оказалась диагональной.
Планы второго порядка с единичной областью планирования
Так как ОЦКП и РОЦКП - композиционные планы, то при естественной области планирования “звездные” точки могут выходить за пределы единичного гиперкуба и единичного гипершара. Для впи
Рототабельные планы
Рототабельные планы – это планы, у которых точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах). У рототабельного плана первого порядка точки плана располагаются на одной
Композиционные планы
Применение линейных планов совместно с методом градиентного поиска оптимума позволяет достичь окрестностей точки оптимума. Поиск оптимального решения в этой области требует перехода от линейных мод
Планы для экспериментирования в условиях дрейфа
Блочные планы, ортогональные к дискретному дрейфу, представляют собой обычные планы типа ПМА, сбалансированные так, чтобы часть столбцов плана использовалась для оценки эффектов дискретного дрейфа
Дисперсионный анализ
При исследовании однотипных величин возникают задачи их сравнения. Сравнение случайных величин производится путем сопоставления законов распределения или их моментов.
Законы распределения
Однофакторный дисперсионный анализ
Это средство служит для анализа дисперсии по данным двух или нескольких выборок. При анализе гипотеза о том, что каждый пример извлечен из одного и того же базового распределения вероятности, сравн
Проверка значимости оценок коэффициентов модели
Проверка значимости оценок коэффициентов полинома производится на основе проверки статистической гипотезы о равенстве математического ожидания случайной величины нулю, т.е. проверки условия b
Проверка адекватности модели
Проверка адекватности математической модели данным эксперимента проводится только в случае ненасыщенного планирования на основе сопоставления дисперсии воспроизводимости среднего зн
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов