рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Философия
/
Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план

Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план - раздел Философия, ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Рототабельный Ортогональный Центрально-Композиционный План (Р...

Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план (РОЦКП) строится аналогично рассмотренному ранее ОЦКП. К использованному в качестве ядра плану ПФЭ 2ⁿ добавляются “звездные” точки - по две на каждый фактор и несколько точек в центре плана. “Звездные” точки должны располагаться на поверхности гиперсферы с радиусом R, на которой лежат и точки плана ПФЭ 2ⁿ, то есть величина плеча “звездных” точек должна равняться радиусу R. Это может быть обеспечено, при выполнении условия ортогональности, только при соответствующем выборе числа наблюдений в центральной (нулевой) точке плана n₀. Для РОЦКП n₀ зависит от числа факторов n. В ОЦКП n₀ = 1 для любого числа n.

Радиус сферы, на которой лежат точки плана ПФЭ 2ⁿ при двух уровнях варьирования факторов с диапазоном 1 составляет (рис. 38)

Рис. 38. Радиус окружности (сферы), на которой лежат точки плана ПФЭ 2ⁿ при диапазоне варьирования факторов от –1 до +1:

а) - n=1, ;

б) - n=2, ;

в) - n=3,

Таким образом, при построении РОЦКП с ядром из плана ПФЭ 2ⁿ плечо “звездных” точек определяется числом факторов

Раннее при определении параметров ортогонального композиционного плана второго порядка с ядром из плана ПФЭ 2ⁿ было получено

где - число точек плана ПФЭ,

- полное число точек композиционного плана второго порядка,

- константа преобразования элементов столбцов, соответствующих квадратам факторов.

В этом случае для РОЦКП число наблюдений в центре плана

Если n₀ не целое, то при практическом построении плана его округляют до целого, но свойство ортогональности плана нарушается.

Параметры РОЦКП в зависимости от числа факторов

n
		1,414	1,732		2,236	2,45	2,646	2,83
			10,5		13,13	14,25	15,53

N			24,5		55,13		157,55
	0,5	0,5	0,574	0,67	0,76	0,84	0,9	0,94

В [1] без вывода для РОЦКП рекомендуется принимать

Тогда

Параметры РОЦКП по [1]

N
	1,189	1,414	1,682		2,378	2,838	3,364
	7,66		9,31		16,63		33,25
N'	11,66		23,31		58,63		177,25
a'	0,414	0,5	0,586	0,57	0,739	0,8	0,85	0,889

В некоторых случаях ортогональное планирование второго порядка не отвечает потребностям практики – при описании поверхности отклика, особенно в окрестностях точки оптимума, более значимой является оценка дисперсии уравнения в целом, чем оценка дисперсии отдельных коэффициентов полинома. В этом случае обычно стремятся к равномерности распределения информации в уравнении функции отклика по всем направлениям. Такому положению отвечают ротатабельные планы. Кроме сказанного, подобные планы второго порядка позволяют минимизировать систематические ошибки, связанные с неадекватностью представления результатов полиномами второго порядка. Но построение ротатабельного плана второго порядка более сложно, чем ортогонального, а сама задача построения не имеет однозначного решения. Один из подходов к построению таких планов состоит в следующем.

Путем специального подбора звездного плеча g ЦКП Бокса можно сделать ротатабельным, иначе говоря, ЦКП Бокса можно сделать или ортогональным или ротатабельным.

Точки ротатабельного ЦКП Бокса второго порядка располагают на концентрических гиперсферах, количество которых не менее двух. Первая гиперсфера может быть вырожденной, т. е. представлять собой центральную точку плана, ее радиус r₁= 0. Именно такая сфера часто используется на практике.

Вторая гиперсфера соответствует вписанному в нее кубу, выбранному в качестве ядра плана. Для ядра х_i = 1, следовательно, радиус этой гиперсферы

r₂= (х₁² + х₂²+ … + х_k²)^1/2 = (k)^1/2.

Ядро представляет собой ПФЭ вида 2^k или ДФЭ вида 2^k ^–^p , причем должно соблюдаться условие (k – p)/4 > 3/4. Следовательно, с учетом ограничений на ЦКП Бокса, если k ³ 5, то в качестве ядра можно использовать полуреплику, если k ³ 8, ядром может служить четверть реплика.

Третья гиперсфера имеет радиус r₃= 2 ^k ^{/ 4} для ядра в виде ПФЭ и радиус r₃=2⁽^k^-^p^)/4 для ядра в виде ДФЭ.

Таким образом, каждый фактор в ротатабельном ЦКП Бокса варьируется на пяти уровнях. В некоторых случаях радиусы второй и третьей гиперсферы совпадают:

n = 2:

r₂= 2^1/2, r₃= 2^2/4= 2^1/2;

n = 8 и p = 2:

r₂ = 8^1/2 = 2^3/2, r₃ = 2^{(8 – 2)/4} = 2^3/2.

Коэффициенты модели и их дисперсии рассчитываются на основе использования обратной матрицы по формулам [Ас]:

;

; ;

;

Представленные формулы справедливы для ротатабельного планирования при любом количестве независимых переменных. Такое планирование не позволяет получить независимые оценки для всех коэффициентов модели, коррелированными оказываются коэффициенты (b₀, b_ii) и (b_ii, b_ij). Взаимную связь этих пар коэффициентов можно охарактеризовать ковариациями:

cov(b₀, b_ii) = – 2s²(ỹ) l₄A/N ;

cov(b_ii, b_ij) = s²(ỹ) (1–l₄)A/N.

Если повторные наблюдения имеются только в центре плана, то

и величина

будет несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдения. При ненасыщенном планировании остаточная сумма

отличается от нуля. Здесь – величина, предсказанная уравнением модели, – найденная экспериментально. Величина

s_R² =S_R / [N–(k+1)(k+2)/2]

характеризует неадекватность модели и также является несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдения.

На основании рассчитанных величин можно провести все необходимые проверки коэффициентов и модели в целом.

Иногда интерес представляет информация о функции отклика в некоторой окрестности центра плана. В этом случае следует добиться одинаковой погрешности модели внутри гиперсферы единичного радиуса. План, обеспечивающий такое свойство функции отклика, называется униформ-ротатабельным. Для его формирования достаточно обеспечить равенство дисперсии в центре плана (r = 0) и на поверхности гиперсферы радиуса r = 1. Этого добиваются подбором числа наблюдений n₀ в центре плана, а именно параметр λ₄ следует взять равным положительному корню квадратного уравнения

2λ₄ (λ₄ – 1)(k + 2) + λ₄ (k + 1) – (k – 1) = 0.

Рассмотренное композиционное планирование представляет собой один из возможных подходов к построению ротатабельных планов второго порядка.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕКСТИЛЬНЫЙ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение фактора
Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования. Также

Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента
При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т. е. може

Требования к совокупности факторов
При планировании эксперимента обычно одновременно изменяется несколько факторов. Поэтому очень важно сформулировать требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Прежде всего, выдви

Представление результатов экспериментов
Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …, Хn называется поверхностью отклика (рис. 2).

Факторов
Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома

Однофакторный факторный эксперимент
В однофакторном планировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в серии опытов меняется уровень лишь одного фактора, а остальные остаются

Регрессионный анализ
В регрессионном анализе изучается связь и определяется количественная зависимость между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными. При решении многих инженерных

Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Метод наименьших квадратов применя

Регрессионные модели первого и второго порядка
Уравнением регрессии Y от X называют функциональную зависимость у=f(x), а ее график – линией регрессии. При обработке экспериментальных данных одной из важных задач является задача определ

Построение графиков
Excel позволяет создавать диаграммы и графики довольно приемлемого качества. Excel имеется специальное средство — Мастер диаграмм, под руководством которого пользователь проходит все четыре этапа п

Построение линий тренда
Для получения математической модели необходимо построить на графике линию тренда. В Excel 2003 и 2007 нужно щелкнуть правой кнопкой мыши на точки графика. Тогда в Excel 2003 появится вкладка с пере

Линейная функция
Функция аргумента х, имеющая вид у=ах+b, где а и b – некоторые заданные числа, называется линейной. Ее графиком является прямая линия, которая наклонена к оси х п

Логарифмическая, степенная и экспоненциальная функции
Экспоненциальная функция y=a.ebx где a и b – расчетные коэффициенты, e – основание натурального логарифм

Полиномиальная функция
Полиномиальная функция 2 порядка у=а1.х2+а2.х+а3 где а1, а2, а

Проверка адекватности модели
Для проверки гипотезы адекватности модели необходимо сравнить две суммы квадратов: 1) Остаточную сумму квадратов, характеризующую отклонение от регрессии

Проверка значимости параметров модели и ее адекватности
В результате проверки устанавливается статистическая значимость или незначимость отличия от нуля оценок параметров регрессии. Это проверка осуществляется отдельно для каждого параме

Некоторые нелинейные модели, сводящиеся к линейным
Основной задачей при определении вида математической модели исследуемого процесса является наиболее точное отображение общей тенденции зависимости Y от X. Общий вид математической мод

Полиномиальная модель
Для определения степени полинома используют метод тождественности разделенных или неразделенных разностей. Если в результате эксперимента получены следующие пары значений

Множественная линейная регрессия
Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

Регрессия в программе Excel
Статистическая обработка данных может также проводиться с помощью надстройки Пакет анализа в подпункте меню «Сервис». В программе Excel 2003, если открыв СЕРВИС, не находим в

Корреляционный анализ
Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими случайными величинами. Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного т

Полный факторный эксперимент
Эффективное решение научных и прикладных задач исследований различных процессов и явлений предполагает учет, по возможности, всей совокупности факторов и их взаимных связей, оказывающих влияние на

Планирование ПФЭ.
Перед началом эксперимента необходимо построить его план, т.е. определить, какие сочетания уровней факторов следует реализовать и в каком порядке осуществить планирование и рандомизацию повторных о

Выбор факторов
При выборе факторов нужно выполнять следующие требования: 1) фактор должен быть регулируемым, т. е. с помощью определенного регулирующего устройства фактор можно изменять от значения x1

Эксперимента
При матричной записи результатов различных N опытов для полиномиального представления результата

Ортогональное планирование эксперимента
Структура матрицы С играет важную роль в реализации алгоритма определения коэффициентов аппроксимирующего полинома. Структура матрицы С зависит от

Планы второго порядка
Они позволяют сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный полином, сформированный по планам

Второго порядка
Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, что бы матрица С=ХtХ оказалась диагональной.

Планы второго порядка с единичной областью планирования
Так как ОЦКП и РОЦКП - композиционные планы, то при естественной области планирования “звездные” точки могут выходить за пределы единичного гиперкуба и единичного гипершара. Для впи

Рототабельные планы
Рототабельные планы – это планы, у которых точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах). У рототабельного плана первого порядка точки плана располагаются на одной

Рототабельный план на основе правильного многоугольника при n=2
U x0 x1 x2 x3=x1x2 x

Композиционные планы
Применение линейных планов совместно с методом градиентного поиска оптимума позволяет достичь окрестностей точки оптимума. Поиск оптимального решения в этой области требует перехода от линейных мод

Планы для экспериментирования в условиях дрейфа
Блочные планы, ортогональные к дискретному дрейфу, представляют собой обычные планы типа ПМА, сбалансированные так, чтобы часть столбцов плана использовалась для оценки эффектов дискретного дрейфа

Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта.
Н0: D(X1)=D(X2) =D(X3)=… =D(Xl) Введем обозначения ki=ni-1 – число степеней свободы дисперсии S2

Дисперсионный анализ
При исследовании однотипных величин возникают задачи их сравнения. Сравнение случайных величин производится путем сопоставления законов распределения или их моментов. Законы распределения

Однофакторный дисперсионный анализ
Это средство служит для анализа дисперсии по данным двух или нескольких выборок. При анализе гипотеза о том, что каждый пример извлечен из одного и того же базового распределения вероятности, сравн

Проверка значимости оценок коэффициентов модели
Проверка значимости оценок коэффициентов полинома производится на основе проверки статистической гипотезы о равенстве математического ожидания случайной величины нулю, т.е. проверки условия b

Проверка адекватности модели
Проверка адекватности математической модели данным эксперимента проводится только в случае ненасыщенного планирования на основе сопоставления дисперсии воспроизводимости среднего зн