рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Случай второй

Случай второй - раздел Философия, Функции двух и трех переменных как функции точки Если– Целое Число, То Необходимо Провести Замену, Где– З...


Если– целое число, то необходимо провести замену, где– знаменатель дроби.

Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся.

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

Представим интеграл в стандартном виде :
. Вообще говоря, формально правильнее было записать , но перестановка слагаемых в скобках не играет никакой роли.

Выписываем степени:
, ,
Сразу проверяем, не относится ли наш интеграл к первому случаю?
– целое? Нет.
Проверяем второй случай:
– целое, значит у нас второй случай
Согласно правилу для второго случая, необходимо провести замену , где – знаменатель дроби . В рассматриваемом примере , и знаменатель этой дроби равен «двойке». Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, нужно провести замену .

Оформляем решение:

Проведем замену .
После этой подстановки с корнем у нас будет всё гуд:
Теперь нужно выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения
Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части:

Но вот, незадача, у нас , а нам нужно выразить .
Умножаем обе части на :

Таким образом: . Уже лучше, но хотелось бы выразить только через, а в правой части – «икс» в квадрате внизу. Что делать? Вспоминаем нашу замену и выражаем из неё нужный нам .
Окончательно: . Головоломно, но, увы, другие алгоритмы еще запутаннее.

Собственно, всё готово, продолжаем решение:

 

(1) Проводим подстановку согласно замене.

(2) Записываем компактно числитель.

(3) Раскладываем знаменатель в сумму.

(4) Почленно делим числитель на знаменатель.

(5) Интегрируем по таблице.

(6) Проводим обратную замену: если , то

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

3) Случай третий. Самый сложный


Если– целое число, то необходимо провести замену, где– знаменатель дроби.

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Представим интеграл в стандартном виде :
.

Выписываем степени и коэффициенты:
, , , ,

1) Не относится ли наш интеграл к первому случаю?
– целое? Нет.

2) Проверяем второй случай:
– целое? Нет.

3) – целое! Значит, у нас третий случай.

Согласно правилу для третьего случая, необходимо провести замену , где – знаменатель дроби . В рассматриваемом примере , и знаменатель этой дроби равен опять же «двойке». Коэффициенты (будьте внимательны) ,

Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, нужно провести замену .

Оформляем решение:

 

Проведем замену: .

Разбираемся с корнем. Это труднее, чем в предыдущих случаях.
Сначала из нашей замены нужно выразить «икс квадрат»:

Теперь подставляем под корень:

На втором этапе выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения . Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части:

 

Опять проблема, в правой части у нас есть «икс», а нам нужно всё выразить через «тэ».
Берем ранее найденное выражение и выражаем
Окончательно:

В итоге мы выразили через «тэ» и и , всё готово для продолжения решения:

 

(1) Проводим подстановку согласно замене.

(2) Упрощаем выражение.

(3) Меняем знак в знаменателе и выносим минус за пределы интеграла (можно было не делать, но так удобнее).

(4) Проводим обратную замену. В третьем случае биномиального интеграла это тоже труднее. Если изначальная замена , то .

(5) Избавляемся от четырехэтажности в логарифме.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

Да что такое, опять числитель голый… Честное слово, не нарочно получилось =)

Это пример для самостоятельного решения. Подсказка: здесь
Полное решение и ответ только для выживших студентов.

Что делать, если биномиальный интеграл не подходит ни под один из рассмотренных трех случаев? Это грустный четвертый случай. Такой интеграл является неберущимся.

Почти всё рассмотрено. Есть другие разновидности интегралов с корнями, например, когда корень является аргументом какой-либо функции. Или под корнем находится дробь. Найти такие примеры можно на странице Сложные интегралы.

Желаю успехов!

Пример 2: Решение:


Проведем замену:

Пример 4: Решение:

Проведем замену: . Навешиваем дифференциалы на обе части:



Вот почему дифференциалы нужно именно НАВЕШИВАТЬ на обе части и добросовестно раскрывать эти дифференциалы. Немало чайников здесь формально напишет и допустит ошибку.

Пример 6: Решение:


Замена:


Примечание: на самом деле данное решение не совсем рационально. Перед тем, как раскладывать числитель в сумму, лучше было поменять у знаменателя знак и сразу вынести минус за пределы интеграла: – в таком виде подбирать числитель значительно проще.

Пример 8: Решение:

, , ,
1) – целое? Нет.
2) – целое, значит у нас второй случай.
Замена:





Если , то
Окончательно:

Пример 10: Решение:



, , , ,

1) – целое? Нет.
2) – целое? Нет.
3) – целое!
Замена: , в данном случае:

Разбираемся с корнем. Из :

Тогда:

Оставшаяся часть подынтегрального выражения:


Чему равно ?

Окончательно:


Обратная замена. Если , то

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Функции двух и трех переменных как функции точки

Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий... Частные производные функции нескольких переменных геометрический смысл... Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной либо какой нибудь...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Случай второй

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предел функции. Непрерывность в точке и в области.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
  Введем понятие δ-окрестности точки М0 (х0 , у0) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в дан

Полный дифференциал функции нескольких переменных.
  На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпе

Частные производные высших порядков.
Рассмотрим функцию двух переменных n=2, . Предположим, что функция имеет частные производные , , которые являются функциями двух переменных. Их называют частными произво

Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
    Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё. Говорят,

Решение.
На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:   Частные производные первого порядка от

Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области.
Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)най

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
1. Составить функцию Лагранжа 2. Решить систему   3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить люб

Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
  На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной

Метод интегрирования по частям.
  И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, эк

В интегралах рассматриваемого типа завсегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:   То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтеграль

Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно. Если , рациональная дробь называется правильной, в противном

Интегрирование иррациональных функций.
  Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопр

Интегрирование тригонометрических функций.
  На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все п

Метод замены переменной
Универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3) В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовы

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b],

Замена переменной в определенном интеграле.
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нах

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном ин

Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки)

Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора. Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутрен

Замечание.
Так мы поступаем, если считаем функцию неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции. Разберем на примерах. Пример.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
Рассмотрим тело D, ограниченное плоскостями х = а и х = b (рис. 247).   Через S(x) обозначим площадь сечения тела D плоскостью, проходящей

Объем тела вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Пример 1 Вычислить объем тела, полученного вращен

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Что значит вычислить несобственный интеграл? Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО(точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он ра

Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функциянепрерывнойна интервале интегрирования.
Пример 2 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Выполним чертеж: Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непреры

Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего пред

Если подынтегральной функции не существует в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:   Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел

Интегралы от неограниченных функций.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена и неограничена на полуинтервале [а, b), при этом она ограничена и интегрируема на любом отрезке [а, с], где а с Если существует конечный предел , то он

Признаки сходимости несобственных интегралов.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля:

Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменнымии лине

В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий интеграл: Почему почти всегда ответ однородного уравнения дается в виде общего интеграла? В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (полу

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Кроме распространенных однородных и неоднородных уравнений второго порядка и высших порядков с постоянными коэффициентами, рядовому студенту часто приходится сталк

Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не п

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Теорема 4. Если - линейно независимые на решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными коэффициентами , то функция , (9) где - произвольные

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1)

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами В теории и практике различают два типа таких уравне

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги