рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Философия
/
Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.

Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений. - раздел Философия, Функции двух и трех переменных как функции точки Переходим К Рассмотрению Дифференциальных Уравнений Второго Порядка И Диффере...

Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка.

У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка. А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.

Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная и не входят производные более высоких порядков:

Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:

Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.

В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья производная и не входят производные более высоких порядков:

Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.

Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.

Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.

1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка. Налетайте!

2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.

Линейные однородные уравнения высших порядков

Всё очень и очень похоже.

Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня.

Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:

Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:

Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:

Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:

Пример 9

Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.

Ответ: общее решение

Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.

Соответствующее характеристическое уравнение всегда имеетровно четыре корня.

Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня . Тогда общее решение записывается так:
.

Тривиальное уравнение имеет общее решение:

Пример 10

Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Полагаю, практически все смогут расправиться и с однородными дифференциальными уравнениями 5-го, 6-го и высших порядков. Мне очень не хотелось записывать общие формулы, рассказывать о фундаментальной системе решений и т.д. Но, процесс конструирования общего решения вроде раскрыт мной неплохо.

На посошок предлагаю решить однородный диффур как раз для закрепления вашего понимания. Да чего мелочиться:

Пример 11

Решить однородное дифференциальное уравнение шестого порядка

Полное решение и ответ ближе к подвалу. Караул устал – караул упал.

После такой основательной подготовки можно смело переходить к освоению линейных неоднородных уравнений второго и высших порядков.

Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – различные действительные корни
Ответ: общее решение:
Проверка: Найдем производную:

Найдем вторую производную:

Подставим и в левую часть исходного уравнения :
, таким образом, общее решение найдено правильно.

Пример 4:Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Получены два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:

Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:

Пример 8:Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, то есть , (значение константы получилось сразу же).

.
То есть .
Составим и решим систему:

Ответ: частное решение:
Проверка: – начальное условие выполнено.

– второе начальное условие выполнено.

Подставим и в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
Такие образом, здание выполнено верно.

Пример 10: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получены два различных действительных корня и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение

Пример 11: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получены пять кратных нулевых корней и действительный корень
Ответ: общее решение

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Функции двух и трех переменных как функции точки

Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий... Частные производные функции нескольких переменных геометрический смысл... Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной либо какой нибудь...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предел функции. Непрерывность в точке и в области.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Введем понятие δ-окрестности точки М0 (х0 , у0) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в дан

Полный дифференциал функции нескольких переменных.
На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпе

Частные производные высших порядков.
Рассмотрим функцию двух переменных n=2, . Предположим, что функция имеет частные производные , , которые являются функциями двух переменных. Их называют частными произво

Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё. Говорят,

Решение.
На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию: Частные производные первого порядка от

Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области.
Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)най

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
1. Составить функцию Лагранжа 2. Решить систему 3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить люб

Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной

Метод интегрирования по частям.
И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, эк

В интегралах рассматриваемого типа завсегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем: То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтеграль

Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно. Если , рациональная дробь называется правильной, в противном

Интегрирование иррациональных функций.
Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопр

Случай второй
Если– целое число, то необходимо провести замену, где– знаменатель дроби. Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся. Пример

Интегрирование тригонометрических функций.
На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все п

Метод замены переменной
Универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3) В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовы

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b],

Замена переменной в определенном интеграле.
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нах

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном ин

Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки)

Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора. Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутрен

Замечание.
Так мы поступаем, если считаем функцию неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции. Разберем на примерах. Пример.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
Рассмотрим тело D, ограниченное плоскостями х = а и х = b (рис. 247). Через S(x) обозначим площадь сечения тела D плоскостью, проходящей

Объем тела вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Пример 1 Вычислить объем тела, полученного вращен

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Что значит вычислить несобственный интеграл? Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО(точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он ра

Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функциянепрерывнойна интервале интегрирования.
Пример 2 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Выполним чертеж: Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непреры

Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего пред

Если подынтегральной функции не существует в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом: Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел

Интегралы от неограниченных функций.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена и неограничена на полуинтервале [а, b), при этом она ограничена и интегрируема на любом отрезке [а, с], где а с Если существует конечный предел , то он

Признаки сходимости несобственных интегралов.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля:

Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменнымии лине

В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий интеграл: Почему почти всегда ответ однородного уравнения дается в виде общего интеграла? В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (полу

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Кроме распространенных однородных и неоднородных уравнений второго порядка и высших порядков с постоянными коэффициентами, рядовому студенту часто приходится сталк

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Теорема 4. Если - линейно независимые на решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными коэффициентами , то функция , (9) где - произвольные

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1)

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами В теории и практике различают два типа таких уравне