Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум - раздел Философия, Функции двух и трех переменных как функции точки 1. Составить Функцию Лагранжа 2. Решить Систему
...
1. Составить функцию Лагранжа 2. Решить систему
3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
• Составить гессиан и определить его знак, • С учетом уравнения связи вычислить знак .
Пример №1
Найти условный экстремум функции при условии .
Решение
Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости для точек ее пересечения с цилиндром .
Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа.
Обозначив , составим функцию Лагранжа:
.
Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:
Если предположить , то первое уравнение станет таким: . Полученное противоречие говорит о том, что . При условии из первого и второго уравнений имеем: . Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:
Итак, система имеет два решения: , , и , , . Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: и . Для этого вычислим гессиан в каждой из точек.
В точке получим: , поэтому в точке функция имеет условный максимум, .
Аналогично, в точке найдем: . Так как , то в точке имеем условный минимум функции , .
Вопрос о характере экстремума в стационарных точках и можно решить и без использования гессиана. Определим знак в каждой стационарной точке:
При , поэтому функция имеет в точке условный максимум. Аналогично, в точке получим условный минимум функции . Отметим, что для определения знака не пришлось учитывать связь между dx и dy, ибо знак очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака уже будет необходимо учесть связь между dх и dу.
Пример №2
Найти условный экстремум функции при условии .
Решение
Первый способ (метод Лагранжа)
. Функция Лагранжа: .
Решив систему, получим: и . Имеем две стационарные точки: и . Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием гессиана.
В точке , поэтому есть точка условного минимума функции , . В точке , посему в данной точке функция имеет условный максимум, .
Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке :
Из уравнения связи имеем: .
Так как , то является точкой условного минимума функции . Аналогично, , т.е. - точка условного максимума.
Второй способ
Из уравнения связи получим: . Подставив в функцию , имеем:
Таким образом, задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.
Получили точки и . Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функции одной переменой. Исследуя знак в каждой стационарной точке или проверяя смену знака в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом.
Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака .
Пример №3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции , если переменные x и yположительны и удовлетворяют уравнению связи .
Решение
Составим функцию Лагранжа:
Найдем стационарные точки функции Лагранжа:
Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом . Из второго уравнения выразим и подставим найденное значение в первое уравнение: Подставляя в третье уравнение, получим: .
Так как , то . Характер экстремума в точке определим, исходя из знака .
Так как , то:
В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки и параметра , получив при этом:
Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:
Подставляя , получим:
.
Так как , то точка есть точкой условного максимума функции , причём .
Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий... Частные производные функции нескольких переменных геометрический смысл... Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной либо какой нибудь...
Полный дифференциал функции нескольких переменных.
На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпе
Частные производные высших порядков.
Рассмотрим функцию двух переменных n=2, . Предположим, что функция имеет частные производные
, ,
которые являются функциями двух переменных. Их называют частными произво
Решение.
На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
Частные производные первого порядка от
Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной
Метод интегрирования по частям.
И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, эк
Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.
Если , рациональная дробь называется правильной, в противном
Интегрирование иррациональных функций.
Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопр
Случай второй
Если– целое число, то необходимо провести замену, где– знаменатель дроби.
Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся.
Пример
Интегрирование тригонометрических функций.
На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все п
Метод замены переменной
Универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3)
В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовы
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b],
Замена переменной в определенном интеграле.
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нах
Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки)
Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора.
Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутрен
Замечание.
Так мы поступаем, если считаем функцию неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции.
Разберем на примерах.
Пример.
Объем тела вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращен
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Что значит вычислить несобственный интеграл? Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО(точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он ра
Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего пред
Если подынтегральной функции не существует в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:
Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел
Интегралы от неограниченных функций.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена и неограничена на полуинтервале [а, b), при этом она ограничена и интегрируема на любом отрезке [а, с], где а с Если существует конечный предел , то он
Признаки сходимости несобственных интегралов.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля:
Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменнымии лине
Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не п
Новости и инфо для студентов