Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах. - раздел Философия, Функции двух и трех переменных как функции точки Любая Точка В Полярной Системе Координат Задается Полярным Углом И Соответств...
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а - это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).
На рисунке полюс изображен черной точкой, полярная ось – черным жирным лучом, а красная точка определяется углом и расстоянием до полюса .
На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала координат и полярную ось с осью абсцисс.
Связь декартовых и полярных координат задается соотношениями и обратно .
На чертеже красная точка имеет координаты , а в полярной системе координат определяется углом и расстоянием до полюса .
В полярной системе координат равенство задает луч, выходящий из полюса и составляющий угол с полярной осью ( задается в радианах или градусах). Полярная ось задается уравнением . Равенство задает окружность с центром в начале координат радиуса C. В свою очередь функция определяет некоторую линию в полярных координатах.
Обратите внимание, что мы будем считать функцию всегда НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ, так как с геометрической позиции она задает расстояние от полюса до точки для данного значения угла . Однако, иногда рассматривают и отрицательные значения функции , так что желательно уточнить у преподавателя его отношение к этому вопросу.
Ниже на рисунке приведены несколько примеров линий в полярной системе координат.
Теперь можно дать определение криволинейного сектора.
Определение.
Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами и некоторой линией , которая непрерывна на отрезке .
На чертеже приведены несколько примеров криволинейных секторов.
На последнем рисунке фигура заключена между лучами , но они не являются ее границами.
Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий... Частные производные функции нескольких переменных геометрический смысл... Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной либо какой нибудь...
Полный дифференциал функции нескольких переменных.
На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпе
Частные производные высших порядков.
Рассмотрим функцию двух переменных n=2, . Предположим, что функция имеет частные производные
, ,
которые являются функциями двух переменных. Их называют частными произво
Решение.
На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
Частные производные первого порядка от
Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной
Метод интегрирования по частям.
И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, эк
Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.
Если , рациональная дробь называется правильной, в противном
Интегрирование иррациональных функций.
Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопр
Случай второй
Если– целое число, то необходимо провести замену, где– знаменатель дроби.
Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся.
Пример
Интегрирование тригонометрических функций.
На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все п
Метод замены переменной
Универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3)
В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовы
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b],
Замена переменной в определенном интеграле.
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нах
Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора.
Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутрен
Замечание.
Так мы поступаем, если считаем функцию неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции.
Разберем на примерах.
Пример.
Объем тела вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращен
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Что значит вычислить несобственный интеграл? Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО(точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он ра
Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего пред
Если подынтегральной функции не существует в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:
Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел
Интегралы от неограниченных функций.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена и неограничена на полуинтервале [а, b), при этом она ограничена и интегрируема на любом отрезке [а, с], где а с Если существует конечный предел , то он
Признаки сходимости несобственных интегралов.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля:
Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменнымии лине
Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не п
Новости и инфо для студентов