рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. - раздел Философия, Функции двух и трех переменных как функции точки Кроме Распространенных Однородных И Неоднородных Ура...

Кроме распространенных однородных и неоднородных уравнений второго порядка и высших порядков с постоянными коэффициентами, рядовому студенту часто приходится сталкиваться с другим достаточно обширным классом диффуров: дифференциальными уравнениями, допускающими понижение порядка.

Различают три основных типа таких уравнений, которые мы последовательно рассмотрим на данном уроке. По какому принципу решаются данные уравнения? Старо, как второй том матана – уравнения, допускающие понижение порядка, в конечном итоге сводятся кдифференциальным уравнениям первого порядка и интегрируются с помощью методов, которые вы уже должны знать из моих статей.

Люди собрались опытные, большие, поэтому не будем проводить разминку с перекидыванием резинового мячика из рук в руки, а сразу перейдем к делу. Но и чайники тоже могут присоединиться, я не выгоняю за дверь, а ставлю ссылки на темы, по которым у вас есть пробелы.

 

Метод повторного интегрирования правой части

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где – производная «энного» порядка, а правая часть зависит только от «икс». В простейшем случае может быть константой.

Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно раз.

На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго порядка: . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение. Уравнение третьего порядка необходимо проинтегрировать трижды, и т.д. Но диффуров четвертого и более высоких порядков в практических заданиях что-то даже и не припомню.

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное дифференциальное уравнение имеет вид .

Понижаем степень уравнения до первого порядка:

Или короче: , где – константа

Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:

Ответ: общее решение:

Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:

Получено исходное дифференциальное уравнение , значит, общее решение найдено правильно.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Как я уже где-то упоминал, иногда диффур может быть подшифрован. В предложенном примере сначала необходимо привести уравнение к стандартному виду . Решение и ответ в конце урока.

Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности, которые мы рассмотрим в следующих двух примерах:

Пример 3

Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям


, ,

Решение:Данное уравнение имеет вид . Согласно алгоритму, необходимо последовательно три раза проинтегрировать правую часть.

Сначала понижаем степень уравнения до второго порядка:

Первый интеграл принёс нам константу . В уравнениях рассматриваемого типарационально сразу же применять подходящие начальные условия.

Итак, у нас найдено , и, очевидно, к полученному уравнению подходит начальное условие .

В соответствии с начальным условием :

Таким образом:

На следующем шаге берём второй интеграл, понижая степень уравнения до первого порядка:

Выползла константа , с которой мы немедленно расправляемся. Хах. Комментирую пример, а в голове возникла ассоциация, что я злой дед Мазай с одноствольным ружьём. Ну и действительно, константы отстреливаются, как только покажут уши из-под интеграла.

В соответствии с начальным условием :

Таким образом:

И, наконец, третий интеграл:

 

Для третьей константы используем последний патрон :

Зайцы плачут, заряды были с солью.

Ответ: частное решение:

Выполним проверку, благо, она ненапряжная:
Проверяем начальное условие :
– выполнено.

Находим производную:

Проверяем начальное условие :
– выполнено.

Находим вторую производную:

Проверяем начальное условие :
– выполнено.

Найдем третью производную:

Получено исходное дифференциальное уравнение

Вывод: задание выполнено верно

Наверное, все обратили внимание на следующую вещь: каков порядок уравнения – столько и констант. Уравнение второго порядка располагает двумя константами , в уравнении третьего порядка – ровно три константы , в уравнении четвертого порядка обязательно будет ровно четыре константы и т.д. Причем, эта особенность справедлива вообщедля любого диффура высшего порядка.

Пример 4

Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям


, ,

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Время от времени в дифференциальных уравнениях рассматриваемого типа приходится находить более трудные интегралы: использовать метод замены переменной,интегрировать по частям, прибегать к другим ухищрениям. Я намеренно подобрал простые примеры без всяких замысловатостей, чтобы больше внимания уделить именно алгоритму решения.

 

В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция

Простейшее уравнение данного типа в общем виде выглядит так:
– всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде, но он обязательно всплывёт в ходе решения.

Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая производная:
– это уже уравнение третьего порядка.

Может дополнительно отсутствовать и вторая производная:
– уравнение четвертого порядка.

И так далее. Думаю, все увидели закономерность, и теперь смогут без труда определить такое уравнение в практических примерах. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательноприсутствует независимая переменная «икс».

На самом деле есть общая формула, строгая формулировка, но я стараюсь избегать лишних параметров и прочих математических наворотов, поскольку уроки носят не теоретический, а практический характер. И даже общие формулы, которые я только что привел, являются не совсем полными с теоретической точки зрения.

Как решать такие уравнения? Они решаются с помощью очень простой замены.

Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: В данном уравнении второго порядка в явном виде не участвует переменная . Заменим первую производную новой функцией , которая зависит от «икс»:

Если , то

Цель проведённой замены очевидна – понизить степень уравнения:

Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка, с той лишь разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Грубо говоря, отличие только в букве.

Линейное неоднородное уравнение первого порядка можно решить двумя способами:методом Бернулли (замены переменной) или методом вариации произвольной постоянной. Я выберу метод вариации произвольной постоянной, поскольку он маловато встречался в моих статьях.

Решим вспомогательное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:




Общее решение вспомогательного уравнения:

Варьируя постоянную , в неоднородном уравнении проведем замену:

 

Пара слагаемых в левой части сокращается, значит, мы на верном пути:

Разделяем переменные и интегрируем:

Таким образом:

Итак, функция найдена. Тут на радостях можно забыть про одну вещь и машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале задания была выполнена замена , следовательно, нужно провести обратную замену :

Общее решение восстанавливаем интегрированием:

На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.

Ответ: Общее решение:

В большинстве случае проверить и такие уравнения не составляет особого труда. Берём полученный ответ, находим первую и вторую производные:

Подставим первую и вторую производную в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, общее решение найдено правильно.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь вспомним начало заданий. С помощью замены мы понижали степень уравнения и получали линейное неоднородное уравнение первого порядка. Всегда ли получается именно линейное уравнение в результате замены? Так происходит часто, но не всегда. После замены может получиться уравнение с разделяющимися переменными,однородное уравнение первого порядка, а также некоторые другие интересности.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение

Решение: В данном уравнении третьего порядка в явном виде не участвуют функция и первая производная . Замена будет очень похожей, за «зет» обозначаем младшего брата:

Если , то

Таким образом, уравнение понижено до первого порядка:

Получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем переменные и интегрируем:

Проведем обратную замену:

Данное уравнение имеет уже знакомый с первого параграфа вид: .

Дважды интегрируем правую часть:

Ответ: общее решение:

Пример 8

Найти общее решение дифференциального уравнения

Это пример для самостоятельного решения. После понижения степени получится линейное неоднородное уравнение первого порядка, которое в моём образце решено методом Бернулли. Как говорится, весь арсенал в ходу.

 

В дифференциальном уравнении
в явном виде отсутствует независимая переменная

Третий, чуть более сложный тип уравнения, допускающий понижение порядка. Я не буду рисовать общих формул – отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть, в исходном дифференциальном уравнении нет «икса». Вообще нет. Ни одного. Нигде.

Пример 9

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,

Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Подстановка здесь более замысловата. Первую производную заменим некоторой пока еще неизвестной функцией , которая зависит от функции «игрек»: . Обратите внимание, что функция – это сложная функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек» сам по себе является функцией).

Находим вторую производную. По правилу дифференцирования сложной функции:

Учитывая, что , окончательно получаем:

В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко:

Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая странная вторая производная: , «совершенно же очевидно, что должно быть ». А вот, оно, и не очевидно. Почему , я только что подробно прокомментировал.

Итак, в исходном уравнении проведём нашу замену:

Цель замены – опять же понизить порядок уравнения:

Одно «зет» сразу сокращаем:

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если – функция, зависящая от «игрек», то первая производная в дифференциалах расписывается так:
. Не допускаем машинальной ошибки – не пишем «привычное»!!!

Разделяем переменные и интегрируем:

Проведем обратную замену :

Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование.

Используем оба начальных условия одновременно: ,

В полученное уравнение подставим и :

Таким образом:

Дальнейшее просто:

Вторую константу тоже отстреливаем. Используя начальное условие , проводим подстановку :

Таким образом:

Выразим частное решение в явном виде:

Ответ: частное решение:

Кстати, ответ легко проверяется.

Для закрепления материала пара заключительных примеров.

Пример 10

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,

Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Еще здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет «иксов», а значит, используется стандартная замена:

Таким образом, степень уравнения понижена до первого порядка:

Разделяем переменные и интегрируем, не забывая, что :

Переобозначим константу через :
.

Проведём обратную замену :

Используем одновременно оба начальных условия , и найдём значение константы . Для этого в полученное уравнение подставим и :

Таким образом:

Разделяем переменные и интегрируем:

В соответствии с начальным условием :

Окончательно: или

Ответ: частное решение:

Пример 11

Найти решение задачи Коши.
, ,

Это пример для самостоятельного решения.

Обратите внимание, что все три примера последнего параграфа идут с задачей Коши. Это не случайно. Специфика рассмотренного типа дифференциальных уравнений такова, что если предложить найти общее решение, то в большинстве уравнений нарисуются сложные, вычурные, а то и вообще неберущиеся интегралы. Поэтому практически всегда вам будет предложено найти частное решение.

Существуют еще некоторые типы диффуров, допускающие понижение порядка, но на практике они мне ни разу не встречались, хотя я перерешал очень много дифференциальных уравнений. Поэтому в урок были включены только те примеры, которые вам могут встретиться реально.

Пример 2: Решение: Преобразуем уравнение:
Данное ДУ имеет вид . Дважды интегрируем правую часть:


Ответ: общее решение:

Пример 4: Решение: Преобразуем уравнение:
Данное уравнение имеет вид . Трижды интегрируем правую часть:

В соответствии с начальным условием:


В соответствии с начальным условием:


В соответствии с начальным условием:

Ответ: частное решение:

Пример 6: Решение: В данное уравнение в явном виде не входит функция , проведем замену:

Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим вспомогательное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

В неоднородном уравнении проведем замену:


Таким образом:

Обратная замена:

Ответ: Общее решение:

Пример 8: Решение: Проведем замену:

Получено линейное неоднородное уравнение, замена:

Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение:



Таким образом:
Обратная замена:

Дважды интегрируем правую часть:


Здесь я немножко схалтурил, интеграл от логарифма берётся по частям, и, строго говоря, последний интеграл нужно расписать подробнее.
Ответ: общее решение:

Пример 11: Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная , проведем замену:

Обратная замена:

В соответствии с начальными условиями , :


В соответствии с начальным условием :


Ответ: частное решение:

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Функции двух и трех переменных как функции точки

Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий... Частные производные функции нескольких переменных геометрический смысл... Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной либо какой нибудь...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предел функции. Непрерывность в точке и в области.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
  Введем понятие δ-окрестности точки М0 (х0 , у0) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в дан

Полный дифференциал функции нескольких переменных.
  На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпе

Частные производные высших порядков.
Рассмотрим функцию двух переменных n=2, . Предположим, что функция имеет частные производные , , которые являются функциями двух переменных. Их называют частными произво

Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
    Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё. Говорят,

Решение.
На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:   Частные производные первого порядка от

Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области.
Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)най

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
1. Составить функцию Лагранжа 2. Решить систему   3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить люб

Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
  На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной

Метод интегрирования по частям.
  И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, эк

В интегралах рассматриваемого типа завсегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:   То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтеграль

Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно. Если , рациональная дробь называется правильной, в противном

Интегрирование иррациональных функций.
  Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопр

Случай второй
Если– целое число, то необходимо провести замену, где– знаменатель дроби. Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся. Пример

Интегрирование тригонометрических функций.
  На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все п

Метод замены переменной
Универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3) В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовы

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b],

Замена переменной в определенном интеграле.
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нах

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном ин

Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки)

Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора. Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутрен

Замечание.
Так мы поступаем, если считаем функцию неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции. Разберем на примерах. Пример.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
Рассмотрим тело D, ограниченное плоскостями х = а и х = b (рис. 247).   Через S(x) обозначим площадь сечения тела D плоскостью, проходящей

Объем тела вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Пример 1 Вычислить объем тела, полученного вращен

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Что значит вычислить несобственный интеграл? Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО(точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он ра

Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функциянепрерывнойна интервале интегрирования.
Пример 2 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Выполним чертеж: Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непреры

Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего пред

Если подынтегральной функции не существует в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:   Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел

Интегралы от неограниченных функций.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена и неограничена на полуинтервале [а, b), при этом она ограничена и интегрируема на любом отрезке [а, с], где а с Если существует конечный предел , то он

Признаки сходимости несобственных интегралов.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля:

Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменнымии лине

В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий интеграл: Почему почти всегда ответ однородного уравнения дается в виде общего интеграла? В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (полу

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные

Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не п

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Теорема 4. Если - линейно независимые на решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными коэффициентами , то функция , (9) где - произвольные

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1)

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами В теории и практике различают два типа таких уравне

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги