Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке.

Проведем анализ системы, в которой частицы, испускаемые ис­точником, удаленным на большое расстояние, рассеиваются на той или иной преграде, уходя после этого в бесконечность.

Простейшей моделью данной задачи, соответствующей случаю рассеяния на потенциальном рельефе с большим масштабом неод­нородности, является рассеяние частицы на потенциальной ступень­ке (прямоугольном потенциальном барьере бесконечной ширины)

(1)

где U₀ = const (рис. 2.1, а).

Рис. 2.1. Энергетическая диаграмма (a) и зависимость коэффициента от­ражения R от Е/U0 (б) для прямоугольной ступеньки.

Исследуем особенности поведения частицы в таком потенци­альном рельефе. Будем полагать, что источник частиц находится далеко слева (при x®-¥), а испускаемые им частицы движутся слева направо.

Поскольку задача стационарная (высота барьера не зависит от времени), отыскание состояний движения частицы сводится к ре­шению стационарного одномерного уравнения Шредингера

, (2)

здесь т - масса частицы; Е - полная энергия частицы.

В данном случае уравнение (2) удобно решать отдельно для областей x < 0 и x > 0. В области х < 0 (на рис. 2.1, а область 1), где U(х) = 0, (2) принимает вид уравнения для свободной частицы, а его общее решение

, (3)

где

. (4)

Если учесть, что в случае стационарных состояний волновая функция гармонически зависит от времени, то Y₁ представляет со­бой суперпозицию падающей и отраженной волн де Бройля. Таким образом, А₁ является амплитудой волны, распространяющейся от источника к потенциальной ступеньке (падающие на ступеньку частицы), а В₁ - амплитудой рассеянной волны, распространяю­щейся назад к источнику (отраженные от ступеньки частицы).

В области х > 0 (область 2) уравнение (2) принимает вид

. (5)

Характер решения уравнения (5) определяется соотношени­ем между энергией падающей частицы Е, задаваемой источником, и высотой потенциальной ступеньки U₀.

В случае Е > U₀ общее решение для волновой функции в облас­ти 2 имеет вид

, (6)

где

. (7)

Учитывая однородность среды в области 2 (по постановке за­дачи здесь других источников рассеяния нет), амплитуду В₂ «встречной» волны в области 2 следует положить равной нулю. При этом А₂ является амплитудой волны, прошедшей за ступеньку (частицы, пролетающие над барьером). Таким образом, для Е > U₀

. (8)

Физический интерес представляют коэффициенты прохожде­ния и отражения, определяемые отношением плотностей по­токов прошедших и отраженных частиц к плотности потока падающих частиц. Для расчета коэффициентов прохождения D и отражения R воспользуемся понятием вектора плотности потока вероятности (квантовым аналогом классического вектора плотности потока частиц). Выражение для в одномерном случае при­нимает вид:

. (9)

С учетом (9) коэффициент прохождения (коэффициент про­зрачности)

, (10)

а коэффициент отражения

. (11)

Вычислим величину вектора плотности потока вероятности в области 2, для этого подставим (8) в (9):

. (12)

Аналогично в области 1 плотность потока вероятности падающих частиц может быть представлена в виде

, (13)

а плотность потока частиц, отраженных от потенциальной сту­пеньки,

. (14)

С учетом (10) и (11) имеем

(15)

и

. (16)

Таким образом, для определения коэффициентов прохождения и отражения необходимо выразить амплитуды прошедшей и отра­женной волн А₂ и В₁ через амплитуду падающей волны А₁.

Чтобы найти А₂ и В₁ воспользуемся условиями непрерывности волновой функции и сохранения потока частиц. Так как в нашем случае граница двух сред соответствует х = 0, из этих двух условий и вида функций Y₁(х) и Y₂(х) получим

, , (17)

откуда с учетом (1.1.15)-(1.1.17), (1.1.4) и (1.1.7)

; (18)

, (19)

где a=E/U₀.

Плотность потока вероятности частиц при х > 0 равна

. (20)

Полученные результаты сильно отличаются от классических. Согласно законам классической механики частица, обладающая энергией Е > U₀, всегда проникает в область 2 (при полной потере кинетической энергии в случае Е = U₀).

Согласно законам квантовой механики при Е > U₀ имеется конечная вероятность отражения частицы от потенциально­го барьера, так что в области 1 есть встречный поток отра­женных частиц , причем отражение будет пол­ным, если Е = U₀. В любом случае D + R = 1.

Отметим, что для частиц, движущихся к барьеру из +¥, D и R могут быть вычислены тоже по формулам (18) и (19). При заданной полной энергии Е (Е > U₀) коэффициенты прохождения и отражения не зависят от направления движения частиц. То есть частицы, движущиеся к барьеру слева, имеют такую же веро­ятность отразиться от него, что и частицы с той же энерги­ей, движущиеся к барьеру справа. При этом вероятности про­хождения и отражения определяются только отношениемЕ/U₀. Смена направления движения приводит к изменению фа­зы отраженной волны. В нашем случае для частиц, падающих на ступеньку слева, отражение происходит в фазе с падающей волной, а при движении справа - в противофазе.

В случае, когда энергия падающей частицы Е < U₀, характер решения уравнения (5) радикально меняется. В соответствии с (7) К₂ становится мнимым и общее решение (6) будет не комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, а совокупность двух монотонных функций.

, (21)

где .

Учитывая требование конечности волновой функции, необхо­димо положить С₁ = 0 (х > 0). Таким образом, при Е < U₀

(22)

«Сшивая» волновые функции (3) и (22) и их производные при х = 0, получим:

 

(23)

(24)

Отметим, что в случае Е < U₀ амплитуды В₁ и С₂ - комплекcные числа, а коэффициент отражения R равен единице:

Таким образом, приЕ < U₀ все частицы отражаются от потенциальной ступеньки так, что в области 2 поток частиц отсутствует.Несмотря на это, в области 2 волновая функция отлична от нуля, т.е. имеется определенная, хотя и малая, вероят­ность проникновения частицы внутрь потенциального барьера. В области х > 0

Частица как бы проходит внутрь потенциального барьера и возвращается назад (поток частиц в области 2 отсутствует). При этом между падающей и отраженной волнами появляется фазовый сдвиг: