Частица в прямоугольной потенциальной яме.

В общем случае, когда разрешенные значения волно­вого вектора (а следовательно, и энергии) можно найти, решая уравнение (1.4.3) численно или графически. Однако и в этом слу­чае удается получить ряд соотношений, облегчающих практиче­ские оценки.

Во-первых, можно показать, что

(1.4.9)

здесь представляет собой эффективную длину области локализации частицы с энергией Е_п и отражает тот факт, что частица, преимущественно локализованная внутри КЯ, все же проникает и в области барьеров.

Во-вторых, раскладывая arcsin в ряд, можно получить выраже­ние для оценки разрешенных значений волнового вектора. Полагая Е_п<<U_j, получим

(1.4.10)

В первом приближении R₁ =R₂=1, При этом для Е_п/U_тiп <0,25 ошибка в оценке К_п по (1.4.10) будет менее 5 %, Во втором приближении следует полагать

(1.4.11)

здесь - энергия n-го уровня, рассчитанная в первом прибли­жении при R_j=1. При использовании R_j в виде (1.4.11) ошибка в оценке К_п по (1.4.10) будет менее 2 % для Е_п/U_min < 0,3 .

В-третьих, для симметричной КЯ (рис. 1.4, б) волновая функция, соответствующая состояниям положительной четности (n = 1 3,5...), может быть представлена в виде

(1.4.12)

где

(1.4.13)

Волновая функция, соответствующая состояниям отрицатель­ной четности (n= 2, 4, 6...),

(1.4.14)

здесь

C_n=-D_n (1.4.15)

Для симметричной КЯ ширины W и глубины U₀, введя нормиро­ванные переменные Y = Е/Е* и Х = U₀/Е* (Е*=- энергия первого разрешенного уровня в БПЯ), выражение (1.4.2) можно представить в виде

(1.4.16)

Анализ (1.4.16) показывает, что в симметричной КЯ конечной глубины для 0<Х≤1 возможно существование лишь одного раз­решенного состояния с энергией Е₁Е*, для 1<xколичество разрешенных состояний равно 2, для 4<X9 равно 3 и т.д. Кроме того, если в симметричной квантовой яме возможно существование n-го энергетического состояния (с n2), то независимо от глубины КЯ U₀ а общее число разре­шенных энергетических уровней п в симметричной прямоугольной КЯ можно оценить, используя неравенство

Выполнив разложение (1.4.3) при Y/X<<1 (большие значения W и (или) U₀), для основного состояния в первом приближении получим, что

(1.4.17a)

Возникающая при такой аппроксимации ошибка представлена на рис. 1.5. Видно, что при Y>0,37 ошибка определения положения первого разрешенного энергетического уровня в КЯ не превысит 5 %.

Рис.1.5. Характер ошибки, возникающей при аппроксимации выражения (1.4.16): Кривая 1- с использованием (1.4.17а), 2 - с использованием (1.4.17б), 3 - с использованием (1.4.17в), 4 - с использованием (1.4.19), 5 - с использованием (1.4.20)

Во втором приближении выражение для оценки Y принимает вид

(1.4.17б)

Такая аппроксимация дает ошибку меньше 5 % для Y ≥ 0,13. Если в (1.4.17б) изменить коэффициент перед в круглых скобках, т.е. положить, что

(1.4.17в)

то погрешность определения Y станет меньше 5 % уже для Y ≥ 0,04

При очень малых W (узкая КЯ) разложение (1.4.3) в ряд для симметричной КЯ позволяет представить выражение для оценки энергии основного состояния в виде

или в переменных X и Y

Y (1.4.186)

Данное выражение можно использовать только при очень малых W. Анализ показывает, что расширить интервал приемлемых оце­нок положения основного состояния в КЯ в области малых X мож­но, изменяя коэффициент перед X в знаменателе (1.4.18б). На рис. 1.5 представлено поведение ошибки при использовании выражения

Y (1.4.19)

Еще лучшие результаты могут быть достигнуты при использова­нии выражения

(1.4.20)

Существует и другая возможность для оценки энергетического положения разрешенных состояний в симметричной КЯ конечной глубины. В этом случае, используя (1.4.16), рассчитывают зависи­мости Х от Y. При этом

. (1.4.21)

Зависимости Х(Y) для первых трех энергетических уровней, рассчитанные с использованием (1.4.21), приведены на рис. 1.6. По ним, задаваясь параметрами КЯ W, U₀ и т (т.е. X), можно определить Y и энергетическое положение уровней. Видно, что для КЯ за­данной ширины с уменьшением глубины U₀ (т.е. X) будут происхо­дить уменьшение энергии разрешенных состояний Y и последова­тельное выталкивание их из ямы (т.е. уровни будут сгущаться медленнее, чем уменьшается глубина ямы). Причем при изменении U₀ до E_n-1() энергия n-го уровня в КЯ конечной глубины будет уменьшаться от Е_п() лишь до E_n-1(), а при даль­нейшем уменьшении U₀ п-й уровень будет вытолкнут из ямы.

Решив одномерную задачу, в данном случае легко получить ре­шение и для двумерного, и для трехмерного случая. Например, если частица движется в потенциальном поле U=U(x)+U(y)+U(z), где

, ,

,

то ее волновая функция , a E=E₁+E₂+E₃. В этом случае трехмерное уравнение Шредингера распадается на три независимых одномерных уравнения:

Рис.1.6. Зависимость X(Y) для первых трёх энергетических уровней с n=1,2 и 3 (кривые 1-3 соответственно), рассчитанные с использованием выражения (1.4.21)

Таким образом, чтобы получить решение для данной трехмерной задачи, достаточно решить одно из этих уравнений (что мы уже сде­лали ранее) и по аналогии записать решения для двух других урав­нений. Отметим, что при hкаждому значению энергии бу­дет соответствовать одна волновая функция (х,у,z). Другими словами, в системе отсутствуют вырожденные состояния. В случае h=d=W симметрия поля совпадет с симметрией куба и система может иметь двукратно и трехкратно вырожденные уровни. Кроме того, особый характер зависимости потенциаль­ной энергии от координаты в данном случае может приводить к дополнительному (случайному) вырождению.