Реферат Курсовая Конспект
Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия - раздел Философия, ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Опорный конспект лекций Пусть Консервативная Механическая Система Имеет Положение Равновесия, Т.е. По...
|
Пусть консервативная механическая система имеет положение равновесия, т.е. положение, в котором она остается бесконечно долго, если она имела в этом положении нулевые обобщенные скорости. Пусть значения обобщенных координат в положении равновесия равны нулю. Пусть также значение потенциальной энергии в этом положении равно нулю:
.
Положение равновесия называется устойчивым, если такое, что из условий следует
при, .
Теорема: если в некотором положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение равновесия является устойчивым.
Доказательство теоремы предполагает «конструирование» величины по заданной величине . Идея доказательства для случая одной переменной изображена на рис. 17.
Если помимо потенциальных и гироскопических сил действуют еще и диссипативные силы, имеющие строго отрицательную мощность, то изолированное положение равновесия является асимптотически устойчивым: при .
Предложение. Определение устойчивого положения равновесия сформулировано для безразмерных обобщенных координат и безразмерного времени. Рассмотрите случай размерных величин. Введите масштабные коэффициенты и попробуйте сформулировать вновь это определение.
Рис. 17. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы
4.4.2. Малые колебания консервативной системы вблизи положения устойчивого равновесия
Пусть в положении устойчивого равновесия , т.е. и пусть .
Рассмотрим движение консервативной системы вблизи положения равновесия. Разложим функцию в окрестности точки равновесия в ряд Маклорена:
По условию ; кроме того, согласно принципу виртуальных перемещений в положении равновесия обобщенные силы
.
Отбрасывая члены третьего и высших порядков малости относительно и обозначая , получим
.
Пусть связи стационарны. Разложим в выражении коэффициенты также в ряды:
С точностью до малых второго порядка включительно имеем:
.
Таким образом, кинетическая энергия и потенциальная энергия представлены как соответствующие положительно определенные квадратичные формы обобщенных скоростей и координат. Уравнения Лагранжа-2 приобретают вид следующей линейной системы:
.
Будем искать решение этой системы в следующем виде:
.
Подставив в систему дифференциальных уравнений эти формулы и приравняв коэффициенты при , получим систему однородных линейных уравнений относительно амплитуд :
, .
Нетривиальное решение последняя система имеет при условии равенства нулю ее определителя, т.е.
.
Данное уравнение называется частотным уравнением, или вековым. Оно является уравнением - той степени относительно . Благодаря симметричности и положительной определенности матрицы квазиинерционных коэффициентов и симметричности матрицы квазиупругих коэффициентов все корни векового уравнения являются неотрицательными. Каждому корню соответствует своя система однородных линейных уравнений относительно амплитуд . Так как определитель системы равен нулю, существует бесконечно много ее решений. Если положить, например,
, то остальные амплитуды выражаются из системы уже однозначно и представляют собой отношения соответствующих амплитуд к первой амплитуде. Совокупность этих отношений называется формой колебаний, соответствующей частоте . Отношения амплитуд называют также коэффициентами форм.
Квадратичные формы и можно одним и тем же неособенным преобразованием переменных («неособенное» означает) привести обе к диагональному виду, и тогда дифференциальные уравнения движения будут иметь вид
, .
Новые обобщенные координаты называются нормальными координатами колебательной системы.
Список литературы
1. Яблонский А. А.Курс теоретической механики: учебник длястудентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальностям. - 15-е изд., стер. - Москва: КноРус, 2010 . - 603 с.
2.Тарг С. М.Краткий курс теоретической механики: учебникдля студентов высших технических учебныхзаведений. - Изд. 20-е, стер. - Москва : Высшая школа, 2010. - 415 с.
3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. и др. Курс теоретической механики : учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по техническим специальностям : в 2 т. / - Изд. 10-е, стер. – Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 729 с. : ил. Т. 1: Статика и кинематика; Т. 2: Динамика.
4. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике : [учеб. пособие для вузов]. - Изд. 3-е, стер. - М. : Физматлит, 2005. - 262 с.
5. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И.Курс теоретической механики : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 010500 "Механика" : [в 2 т.]. - Изд. 9-е, испр. и доп. - Москва : Дрофа, 2006. - Т. 1: Статика и кинематика. - 2006. - 447 с. : ил. Т. 2: Динамика. - 2006. - 719 с.
6. Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П.; Под ред. проф. Товстика П.Е. Теоретическая механика : Учеб. для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям "Математика" и "Механика" [Федер. целевая программа книгопечатания России]. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 2000. - 591, [1] c. : ил.
7. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учеб. для студентов машиностроит. и приборостроит. специальностей вузов. - 6-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 2003. - 718, [1] с.: ил.
8. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах, ч.1, 2, 3. —М.: Физматгиз, 1995.
Quantus tremor est futurus.
Judex ergo cum sedebit.
Quando judex est venturus,
Quidquid latet, apparebit.
Cuncta stricte discussurus.
Nil inultum remanebit!
(“Dies irae”)
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное агентство по образованию... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального... Санкт Петербургский государственный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов