ПРОЦЕСС ЮЛА

 

Для того чтобы процесс был стационарным, корни характеристического уравнения () должны быть вне единичного круга, т.е. . Это означает, что на параметры авторегрессионого уравнения накладываются следующие ограничения:

Действительно, если - корни уравнения

, (1)

то уравнение авторегрессии второго порядка

(2)

можно представить как

(3)

Действительно,

Следовательно,

()

Что и требовалось доказать (пункт 1). Это теорема Виета.

Делаем в уравнении (3) замену переменных:

(4)

тогда (5)

(5) можно представить, как

или (6)

Чтобы процесс был стационарен, должен быть меньше 1 или .

Аналогично (4) представляем как

(7)

Для стационарности процесса , должно быть больше 1.

Действительно, раскрываем (7):

.

Аналогично разворачиваем уравнение (6), используя рекурентность составляющих:

.

Для стационарности процессов и необходимо чтобы и .

Какие это накладывает ограничения на и :

1. если , то из (), отсюда или

2. уравнение имеет корни: , , .

I. Пусть корни вещественные, т.е. дискриминант . Возможны следующие ситуации:

a) , . Выбираем меньший по модулю корень:

(т.к. модуль положительного числа есть само число, а под корнем значение большее, чем ).

,

т.к. , то делим на :

, или

b) , . Второй корень по абсолютной величине меньше, поэтому берем , причем корень больше , значит модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:

корень - отрицательное число, , но меньше по модулю, чем корень.

,

т.к. , то:

c) , . Меньший по абсолютной величине корень - , причем числитель меньше 0:

или

делим на :

,

т.к. , то модуль :

или

d) , . Меньший по абсолютной величине корень - , причем числитель , значит модуль равен самому числу:

 

 

следовательно, при возведении в квадрат знак неравенства меняется на противоположный.

 

 

 

или

 

II. Пусть корни и - комплексные, т.е. , тогда т.к. квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов действительной и мнимой частей

т.к. квадрат числа >0,

отсюда .

Таким образом, для стационарности процесса необходимо, чтобы и находились в треугольной области:

(8)

Далее посмотрим, как будет выглядеть для (АР2) автокорреляционная функция. Запишем авторегрессионый процесс порядка p:

Умножим обе части уравнения на :

Переходя к математическим ожиданиям получим:

(9)

Заметим, что матожидание при k > 0, т.к. может включать лишь импульсы до момента t-k и зависит от и предшествующих e, но не будущих импульсов.

Поделив все члены выражения (9) на находим выражение для автокорреляционной функции:

(10)

Это выражение можно записать иначе, используя оператор сдвига назад:

, (11)

где .

Если - корни полинома (i = 1, …, p), то по теореме Виета

Обозначим через . Т.к. по теореме Виета (из )

, то

Тогда:

Следовательно, характеристическое уравнение

(12)

Для авторегрессии второго порядка:

или (13)

Производим замену переменных:

(14)

Тогда из первого уравнения (14) имеем:

(15)

Из (14)

Т.к. - это следует из выражения автокорреляционной функции для (АР,2)

Т.к. , то , отсюда

Следовательно,

Выразим, используя теорему Виета, и через и; , тогда

или

, т.е.

Следовательно, (*)

Из второго уравнения (14) ,

или, используя рекуррентный характер соотношения:

= … используя (15) … =

(16)

Далее используем (*) для

Итак, (17)

причем - корни характеристического уравнения (1)

Когда корни действительны, автокорреляционная функция состоит из совокупности затухающих экспонент. Это происходит, когда и соответствует областям 1 и 2, лежащим выше параболической границы. Конкретнее: в области 1 автокорреляционная функция затухает, оставаясь положительной, что соответствует положительному доминирующему корню [G] в (17). В области 2 затухающая функция автокорреляции знакопеременна, что соответствует отрицательному доминирующему корню [G].

Если корни - комплексные (), процесс авторегрессии второго порядка ведет себя как псевдопериодической.

Это поведение отражается на функции автокорреляции, т.к. заменой , если в уравнении 2 корня, и один - сопряженный, то другой - комплексно-сопряженный) получаем:

(18)

Комплексное число можно представить как

Т.к. , то существует такой угол , что , т.е.

(т.к. - длина вектора).

Тогда комплексно-сопряженное число .

Делаем замену переменных в (17): . Тогда

Умножим и разделим это выражение на :

Тогда существует такой угол , что

,

Тогда

(18)

Нетрудно заметить, что (19)

Стало быть, зная , можно найти ; .

Действительно, известно, что ():

Отсюда

Следовательно, (20)

, следовательно - затухающий коэффициент,

а для случая комплексных корней () см. (8)

Наконец, (21)

На самом деле, из () имеем:

Выражение (18) показывает, что коррелограмма (или автокорреляционная функция) в процессе Юла является затухающей синусоидой.

Здесь появляются новые ограничения на :

1. должно быть отрицательным, чтобы d было действительным

()

2. т.к. не может быть больше 1, то

(22)

3. ()

4. Тогда (23)

В противном случае ряд не будет колебаться в определенных пределах, а будет неограниченно расходиться.

Итак, в области 3 и 4 автокорреляционная функция - затухающая синусоида

Попробуем очертить область допустимых значений для .