Прямой поперечный изгиб.

Постановка задачи и общие замечания.

Рассмотрим прямой брус обладающий плоскостью симметрии (рис.7.1).

Рис. 7.1 Прямой поперечный изгиб. Внешняя нагрузка и внутренние усилия.

Нагрузка (силы и пары сил сосредоточенные и распределённые) приложена в плоскости симметрии так, что составляющие по продольной оси OX отсутствуют (для этого внешние силы должны быть нормальны к продольной оси). Ось OX и оси поперечных сечений OY и OZ (последняя направлена в плоскости симметрии вверх) образуют правую систему координат. В этом случае в поперечных сечениях бруса будут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q_z и изгибающий момент M_y. Таким образом, строго говоря, поперечный изгиб – сложная деформация, представляющая собой комбинацию растяжений – сжатий продольных волокон бруса и сдвигов в поперечных направлениях. Изгиб бруса сопровождается искривлением его продольной оси. Брус, работающий на изгиб, принято называть балкой. В разных отраслях техники, в зависимости от назначения, балки получают специальные названия – ригель, стрингер, бимс и т.д. На расчётных схемах изображается только ось балки, которая наводится жирной линией.

Опорные устройства балок.

Внешние силы, действующие на балку, делятся на заданные активные (нагрузка) и реактивные, обусловленные реакциями опорных устройств (которые необходимо определить). В свою очередь, опорные устройства можно разделить на основания и точечные опоры (аналог сосредоточенных сил). Реакции оснований распределяются на значительной части длины балки и их расчёт на базе различных физических моделей представляет значительные математические трудности, подробно рассматривается в специальных курсах [ ] и в нашу программу не входит.

Для любознательных в Приложении рассмотрены несколько задач о изгибе балок на простейшем так называемом Винклеровом упругом основании, представляющие интерес с точки зрения строительной механики корабля.

Если реакции опорного устройства распределены на относительно малой части длины балки, то их, как правило, заменяют реактивной сосредоточенной силой (точечной реакцией), т.е. вводят точечную опору. Это, конечно, приводит к некоторой погрешности в расчётах, но в безопасную сторону. На рис.7.2 изображены наиболее простые и распространенные точечные опоры.

Рис. 7.2 а - конструктивное решение, б – обозначение точечной опоры по ГОСТ, в - представление наложением элементарных связей – шарнирных стерженьков, 1 – жесткая заделка, 2,4,5 – опирание на подвижный шарнир, 3,6 – неподвижный шарнир, 7 – жесткое защемление.

Каждая опора представлена конструктивным решением, изображением по ГОСТу и комбинацией элементарных связей (шарнирных стерженьков).

Если количество неизвестных реакций не превышает число уравнений равновесия статики, то эти реакции однозначно определяются из последних. Иначе (реакций больше, чем уравнений статики) уравнения равновесия необходимо дополнить зависимостями, полученными из других соображений. Такие задачи называются статически неопределимыми и в нашем курсе вынесены на самостоятельную проработку, материалы для которой даны в Приложении 7 и лекции 8.

Статическая сторона задачи.

Пусть выполняются вышеприведенные условия прямого поперечного изгиба бруса (рис.7.2). Тогда на левой грани элемента будут действовать изгибающий момент M_y и поперечная сила Q_z, а на правой грани они получат малые приращения и их величины соответственно будут M_y + dM_y и Q_z + dQ_z. На рис.7.3 изображен рассматриваемый элемент, находящийся в равновесии под действием внутренних M_y , Q_z и внешних усилий – части распределённых нагрузок qdx и mdx. Здесь q(x) – интенсивность

Рис. 7.3 Равновесие элемента бруса dx

распределённой поперечной нагрузки, m(x) – интенсивность распределённой моментной нагрузки.

Интенсивность распределённой нагрузки – это нагрузка, приходящаяся на единицу длины стержня. Её размерность – ед. силы (момента) / ед. длины.

Направления внешних и внутренних сил изображённые на рис.7.3 принимаются положительными. Отметим, что положительные изгибающие моменты вызывают прогиб рассматриваемого элемента выпуклостью вниз (положительную в координатах XOZ кривизну оси), а направление пары поперечных сил обеспечивает уравновешивание приращения изгибающего момента.

Навыки составления аналитических выражений для поперечных сил и изгибающих моментов и построения их графиков-эпюр имеют важное практическое значение и при условии знания раздела статики из курса теоретической механики и сути метода сечений (см. раздел 2.1 и 3.1) их освоение не представляет для курсантов принципиальных затруднений. Этот материал вынесен на самостоятельную проработку (Приложение ).

Запишем условия равновесия элемента бруса длиной dx (рис.7.3):

ΣF_z = 0: Q_z +qdx - (Q_z + dQ_z ) = 0

ΣMo₁=0: - M_y - Q_z dx - qdx dx/2 - mdx + ( M_y + dM_y) = 0.

Откуда после отбрасывания малых высшего порядка малости получим т.н. дифференциальные зависимости при изгибе:

q= dQ_z / dx (6.1) и Q_z= dM_y / dx + m (7.2)

Последнее слагаемое в правой части формулы (6.2) представляет собой весьма «экзотическую» редко встречающуюся нагрузку и обычно отбрасывается.

Изгибающий момент и поперечная сила являются главным моментом и главным вектором внутренних сил действующих в рассматриваемом сечении бруса (см. раздел 3.1, ф-лы 3.1):

(6.3) , . (7.4)

Геометрическая сторона задачи.

Непосредственное наблюдение явления изгиба бруса, в том числе и на эластичных моделях (фото на рис.6.4) показывает, что в процессе его деформирования:

- поперечные сечения поворачиваются практически не деформируясь (выполняется гипотеза плоских сечений);

-все продольные слои бруса искривляются;

- продольные волокна с одной стороны бруса растягиваются, а с другой сжимаются, и существует слой, лежащий на границе растягивающихся и сжимающихся слоёв, который не растягивается и не сжимается, а только искривляется. Этот слой носит название нейтральный слой (аббревиатура – НС, н.с.), а его след на фронтальной проекции чертежа – нейтральная линия (НЛ, н.л.).

Совместим продольную ось бруса в районе рассматриваемого сечения с нейтральным слоем (рис. 7.4).В соответствии с гипотезой плоских сечений

сечение бруса плоское и нормальные к его оси до деформации повернётся на некоторый малый угол α, но останется плоским и нормальным к касательной к искривлённой оси после деформации.

Рис.7.4 План перемещений.

В силу малости α продольное перемещение u в слое, лежащем на расстоянии z от нейтральной оси OX

u(z) = - z tgα ≈ - z α ≈ - z dw/dx (7.5)

Продольная деформация рассматриваемого слоя на основании (4.4 )

ε_x = du/dx = - z d²w/dx² (7.6)

Здесь w = w(x) – уравнение изогнутой нейтральной оси балки, w - перемещения по направлению оси OZ (прогибы балки).

Физическая сторона задачи.

На этом этапе анализа сделаем ещё одно предположение. Учитывая, что поверхностные давления от поперечных нагрузок на один - два порядка ниже наибольших напряжений от изгиба, давлением продольных волокон бруса друг на друга будем пренебрегать, т.е. будем считать, что продольные волокна работают на чистое растяжение - сжатие. В этом случае касательные напряжения в поперечных сечениях бруса отсутствуют и согласно (7.3,7.4) Q_z=0, а M_y = const. Т.е. наши дальнейшие рассуждения, строго говоря, будут относиться к простой деформации, которая называется чистый изгиб (см. раздел 3.2). Примеры нагружения балок, на отдельных участках которых возникает чистый изгиб, изображены на рис.7.5.

 

Поскольку чистый изгиб сводится к комбинации растяжений - сжатий продольных волокон, нормальные напряжения σ _x и относительные продольные деформации ε _x связаны законом Гука (4.11а):

σ _x = E ε _x (7.7)

 

Рис. 7.5

7.2 Чистый изгиб.

Обобщение результатов анализа задачи (синтез).

Подставив (7.6) в (7.7) получим

σ _x = - E z d²w/dx² (7.8)

Подставляя далее (6.8) в (6.4) найдём

M_y = EI_y d²w/dx² (7.9)

или d²w/dx² = M_y/ EI_y , (7.10)

здесь произведение EI_y - называется изгибная жесткость бруса,

(7.11)

- осевой момент инерции площади поперечного сечения относительно оси OY.

Как и полярный момент инерции I_p осевой момент инерции I_y и площадь поперечного сечения A зависят лишь от размеров и формы поперечного сечения, т.е. являются его геометрическими характеристиками. Практически важно быстро и правильно указанные интегральные характеристики сечений определять. Исследование указанных определённых интегралов и техника их вычисления выносятся на самостоятельную проработку, материал для которой дан в Приложении .

Обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка с разделёнными переменными (7.10) является одним из наиболее важных в технической теории стержней и носит название дифференциальное уравнение изогнутой оси или упругой линии балки. Оно связывает функцию прогибов w(x) c функциями изгибающих моментов M_y(x) и жесткости на изгиб EI_y(x). Интегрируя это уравнение, находят углы поворота поперечных сечений α ≈ dw/dx и прогибы балки w, что практически важно при расчётах на жесткость и раскрытии статической неопределимости. Техника интегрирования данного уравнения выносится на самостоятельную проработку, материал для которой изложен в Приложении .

Подставив (7.8) в первую из формул (3.1) и сокращая на ненулевой множитель, получим

S_y=0,

здесь (7.12)

- статический момент площади поперечного сечения, равенство нулю которого, как известно из теоретической механики, свидетельствует о том, что ось OY совмещённая нами с нейтральным слоем, проходит через центр тяжести поперечного сечения. Следовательно, при изгибе бруса нейтральный слой проходит по оси бруса OY и в любом поперечном сечении совпадает с центральной осью OY.

Сравнивая (6.8) и (6.9) получим формулу нормальных напряжений при чистом изгибе:

, (7.13)

из которой следует, что при чистом изгибе нормальные напряжения (как и деформации (7.6) ) распределены по линейному закону (рис.7.6).

В этом случае материал балки, прилегающий к нейтральному слою оказывается недогруженным, что обусловило применение для элементов, работающих на изгиб специальных профилей: двутавров, швеллеров и др.

Условие прочности при чистом изгибе – это условие прочности при растяжении – сжатии, которое записывают для наиболее нагруженных наружных слоёв материала балки: σ_max ≤ [σ], которое с Рис. 7.6

учётом (7.13)

можно записать в виде: σ_max = M_y / W_y ≤ [σ] , (7.14)

где W_y = I_y /z_max (7.15)

- называется момент сопротивления сечения бруса изгибу относительно оси OY.