рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Визначення критичних напруг

Визначення критичних напруг - раздел Образование, КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З дисципліни «Опір матеріалів» Жорсткі Стрижні Розраховують На Стиск За Умовою σ = P/...

Жорсткі стрижні розраховують на стиск за умовою

σ = P/A ≤ [ σ-], (2)

де P – стискаюча сила, A – площа поперечного перерізу стрижня,

[σ-]= σгр/n (3)

- допускна напруга на стиск (далі нижній індекс будемо опускати), n – коефіцієнт запасу, обумовлений галузевими нормами міцності.

Для стрижнів великої гнучкості на підставі точного або чисельного розв'язання крайової задачі для рівняння стійкості [7]

(4) (4)

критичні (ейлерові) напруги можуть бути представлені у формі

σ кр= σэ = π2 E/λ2 (5)

і, як правило, добре узгоджуються з експериментами.

Фізично нелінійна задача про стійкість стрижнів кінцевої гнучкості представляє значні труднощі й найбільш достовірними є залежності, що апроксимують результати експериментальних досліджень, з яких найбільш відома формула Ф.С. Ясинського[1,3, 5-10]

σкр= a – bλ + cλ2 (6)

Тут а, b і c - коефіцієнти, що залежать від матеріалу [5, стор. 455].

У кожному разі аж до початку втрати стійкості стрижень працює на стиск і умову стійкості можна записати аналогічно умові міцності на стиск (2)

σ = P / A ≤ [σу], (7)

де [ σу]= σ кр / nу (8)

і nу відповідно допускні напруги і коефіцієнт запасу на стійкість, причому [σу]≤[σ]. Замість останньої нерівності можна записати рівність

[σу] = φ [σ] (9)

Тут 0<φ ≤ 1 - коефіцієнт зміни основного напруження, що допускається на стиск, або коефіцієнт умовного напруження, що допускається.

Підставляючи (9) в (7), умову стійкості можна переписати у вигляді

σ = P/A ≤ φ [σ] (10)

У навчальній і довідковій літературі [1,3,5-10] приводяться табульовані залежності

φ = φ (λ) (11)

для різних конструкційних матеріалів.

1.3 Алгоритм розрахунків на стійкість

Якщо відомі розміри й форма поперечного перерізу, то площа А і радіус інерції перерізу i можуть бути визначені по формулах

A=ka r2 ; i=ki r, (12)

де ka і ki залежать тільки від форми (однакові для геометрично подібних фігур). Підставивши (11) в (10) з урахуванням (1) і (12) отримаємо рівняння

Pдоп=φ(νl/( ki r)) [ σ] ka r2, (13)

яке можна тим або іншим способом вирішити щодо будь-якого невідомого.

Звичайно відомі довжина стрижня l, спосіб закріплення його кінців, отже ν, та матеріал, тобто [σ] і конкретна залежність (11). Нехай також задані розміри й форма поперечного перерізу (12). У результаті можна визначити допускне навантаження, Pдоп і зрівняти його із заданим P (перевірочний розрахунок).

Для заданого навантаження P можна відшукати характерний r та інші розміри поперечного перерізу, задавшись його формою (коефіцієнтами ka і ki) – проектувальний розрахунок.

В останньому випадку, як випливає з виду правої частини (13), рішення необхідно знайти послідовними наближеннями.

1.4 Проблеми реалізації алгоритму

При виконанні проектувальних розрахунків вручну трудомісткими є кількаразові звертання до таблиць (11) з виконанням інтерполяції. Безпосереднє програмування даного завдання для ЕОМ призводить до необхідності введення значних масивів початкових даних. Для складання компактних програм і при розрахунках вручну зручно апроксимувати таблиці (11) простими формулами з невеликим числом варійованих параметрів.

1.5 Апроксимація таблиць φ = φ (λ)

Типова форма графіка залежності φ від λ зображена на малюнку 1.

Малюнок 1. Графік φ = φ (λ)

Таблиці значень коефіцієнтів φ для різних матеріалів наводяться у довідниках і підручниках [1,3,5-10]. Звичайно таблиці будуються для інтервалу 0 < λ <200.

Апроксимація поліномом. Із зовнішнього вигляду кривої φ = φ (λ) випливає, що необхідний поліном ступеня не нижче 3-ого

φ (λ)=a0 + a1 λ +a2 λ2 + a3 λ3 (14)

На перший погляд здається, що необхідно використовувати формулу φ (λ)=1 + a1 λ +a2 λ2 + a3 λ3, яка автоматично прив'язала б функцію φ (λ) до точки (0,1). Однак вираз (14) має додатковий ступінь свободи, що дозволяє зменшити середні похибки апроксимації.

Результати визначення коефіцієнтів ai методом найменших квадратів (МНК) наведено у таблиці 1. Слід зазначити, що обчислення по формулі (14) приводять до малих різниць близьких величин. Тому слід уникати округлення коефіцієнтів ai і використовувати всі значущі цифри, наведені в таблиці 1.

Апроксимація експонентою. Для більш точного представлення кривої φ (λ) в інтервалі 0< λ< 200 можна було б скористатися рівнянням

(15a)

що містить три параметри. Однак, як показали розрахунки, з достатньою для практики точністю графік функції φ = φ (λ) може бути представлений для цього інтервалу залежністю

(15б)

Параметри b і a можуть бути підібрані як МНК, так і іншими методами наближеного аналізу з яких найбільш простий у реалізації метод колокацій (МК) використання якого у нашому випадку полягає у наступному.

Припустимо, відомі коефіцієнти φ1 і φ2 для двох значень гнучкості λ1 і λ2. Підставивши у формулу (15б) відповідні φ і λ, отримаємо два рівняння із двома невідомими a і b. Очевидно, що крива, задовольняюча рівнянню (15б), при цьому буде проходити через три точки з координатами (0,1), (λ1, φ1), (λ2, φ2) (точки колокацій (ТК), малюнок 1). У цьому випадку параметр b може бути знайдений з рішення трансцендентного рівняння

(16)

і параметр a - по формулі

,…і=1,2 (17)

Недоліком МК є невизначеність вибору точок колокацій, від яких залежить точність апроксимації, особливо при малому числі ТК (у розглянутому окремому випадку приймалися λ1 = 0.5λ2).

У таблиці 2 дані значення параметрів a і b, знайдені за описаною схемою для різних матеріалів. При цьому для вирішення рівняння (16) використовувалися дані з довідників [5, 6, 9] і метод половинного ділення [4].

 

 

Таблиця 1. Коефіцієнти ai у формулі (14)

Матеріал стрижня Діапазон значень λ а0 а1×102 а2×104 а3×106
1 Сталь класу 38/23 2­­­––“”–– 44/29 3­­­––“”–– 46/33 4­­­––“”–– 52/40 5­­­––“”––– 60/45 6­­­––“”–– 70/60 7­­­––“”–– 85/75 8 Ст 0, 2, 3, 4, 5 9 НЛ-1 10 НЛ-2 (15ХСНД) СПК 0…220 0…220 0…220 0…220 0…220 0…220 0…220 0…200 0…200 0…200 0…200 0…100 1,004318 1,016494 1,021961 1,030598 1,054729 1,073369 0.987300 0,987628 1,008762 0,995307   1,003143 -0,068536 -0,169260 -0,214025 -0.292394 -0,532364 -0,715697 0.121936 0,396687 -0,116613 -0,045446   -0,110939 -0,522620 -0,497074 -0,485396 -0,444941 -0,279710 -0,129279 -0.751707 -76,34876 -0,657878 -0,766780   -2,283945 0,173351 0,179785 0,182670 0,178780 0,149480 0,116339 0.248073 0,2718562 0,254104 0,291598   1,559925    
Матеріал стрижня Діапазон значень λ а0 а1×102 а2×104 а3×106
11 СЧ 12-28; СЧ 15-18; СЧ 15-30; СЧ 15-32; СЧ 15-36;          
СЧ 18-36; СЧ 21-40. 12 СЧ 21-44; СЧ 24-44; СЧ 28-48. 13 Амг     0…100     0…150     1,009925     1,006378     -0,391263     -0,114311     -2,327691     -0,871068     1,849383     0,423050
14 Амг6 15 АВТ1 16 Д16Т 17 Кам'яні та армокам'яні елементи 18 Залізобетон 19 Бетон важкий 20 Бетон легкий 21 Дерево (сосна, ялина) 0…150 0…150 0…150 0…150   0…100 0…100 0…100 0…200   1,036413 1,044095 1,071236 1,014077   0,970768 1,008460 1,008787 1,048227 -0,521529 -0,392641 -0,777400 -0,226183   +0,714628 -0,083384 +0,026714 -0,370861 -0,659902 -0,929945 -0,587496 -0,607519   -2,097372 -1,088066 -2,292274 -0,570146 0,417745 0,528714 0,455554 0,294597   0,911068 ,619705 1,767735 0,264138

 

 

Таблиця 2. Коефіцієнти a і b апроксимуючої функції (15б)

Матеріал стрижня Діапазон значень λ a×102 b Максимальна похибка, %
1 Сталь класу 38/23 2 ­­­­­ ––“”–– 44/29 3 ­­­­­ ––“”–– 46/33 4 ­­­­­ ––“”–– 52/40 5 ­­­­­ ––“”–– 60/45 6 СЧ 15-30; СЧ 41-40 7 СЧ 21-44; СЧ 28-48 8 Дерево 9 Бетон важкий 10 Бетон легкий 0…200 0…200 0…200 0…200 0…200 0…100 0…100 0…180 0…100 0…80 0,80174 0,88875 0,9254 0,96009 1,020 1,5985 2,0116 1,1877 1,3498 1,9511 0,89238 0,89758 0,90031 0,90676 0,90934 0,91078 0,89566 0,90949 0,65605 0,59180 + 3 + 3 + 3 +6/-3 +7/-3 + 3 + 5 + 6 + 4 + 4

 

Загальні рекомендації

Маючи формулу для обчислення коефіцієнта φ = φ (λ) типу (14) або (15), неважко скласти програму для підбору перерізів стислих стрижнів (проектувальний розрахунок) послідовними наближеннями (задані навантаження Р, приведена довжина νl, і форма поперечного перерізу, тобто ka і ki), або перевірки стійкості стрижня із заданими формою (відомі ka і ki), площею А поперечного перерізу та приведеною довжиною νl (визначається Pдоп на стійкість).

У таблиці 3 наведений один з варіантів такого алгоритму.

Його реалізація конкретною мовою програмування не представляє труднощів.

 

Таблиця 3. Алгоритм розрахунку центрально стислого стрижня.

  Введення початкових даних A: =0 (проектувальний ) або A: = A (перевірочний розрахунки) 2 Якщо А≠ 0, іти до п.17 3 φ0: = 0.5 4 φj: = φ0 5 Aj: = P/ φj[σ] 7 ij := ki rj 8 λj := νl/ ij 9 Підпрограма φj := φ (λj) 10 φj+1:= (φj+ φj-1)/2 11 Якщо | φj+1- φj| ≥ ε іти до п.5 12 Якщо λj < [λ] іти до п. 16 13 λ: = [λ]   14 i:= νl / λ 15 r:=i /ki 16 A:=ka r2 17 А – вивід. 18 вив. 19 i:=ki r вив. 20 λ := νl/ i вив. 21 Підпрограма φ = φ (λ) 22 σкр := φ[σ] вив. 23 σ:=P/A вив. 24 Pдоп:= φ[σ]A вив. 25 σ/ φ[σ] вив. 26 Кінець

 

Тут [λ] – найбільше значення гнучкості для розглянутого матеріалу, наведене в таблиці φ = φ (λ).

 

Список літератури використаної до лекції 10

1 Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Изд. 9. – М.: Гостехиздат, 1954.

2 Гордон Дж. Конструкции, или почему не ломаются вещи.
Пер. с англ. В. Д. Эфроса / Под ред. С.Т. Милейко. – М.: Мир, 1980. –390 с. с ил.

3 Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1975. – 654 с.

4 Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП “РАСКО”,1991.-272 с.: ил.

5 Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С.,
Яковлев А.П., Матвеев В.В.; Отв. ред. Писаренко Г.С. – 2-е изд., перераб. и доп. – Киев: Наукова думка, 1988. – 736 с.

6 Стальные конструкции: справочник конструктора / Под ред. Н.П.Мельникова. – М.: Стройиздат, 1976. – 329 с.

7 Суслов В.П., Кочанов Ю.П., Спихтаренко В.Н. Строительная механика корабля и основы теории упругости. – Л.: «Судостроение», 1972. – 720 с.

8 Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1979. – 559 с.

9 Феcик О.П. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев: Будiвельник, 1982. – 280 с.

10 Филоненко-Бородич М.М. и др. Курс сопротивления материалов. – Ч.2. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 539 с.

 
Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З дисципліни «Опір матеріалів»

Херсонська державна морська академія... ФАКУЛЬТЕТ СУДНОВОЇ ЕНЕРГЕТИКИ... Кафедра технічної механіки інженерної та комп ютерної графіки...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Визначення критичних напруг

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Курс другий,
форма навчання: денна і заочна Херсон – 2011 Конспект лекцій розробив у відповідності з робочою навчальною програмою ст. викладач кафедри технічн

Лекция 1
Введение. Понятие прочности, науки о прочности и место среди них сопротивления материалов. Основные гипотезы, принципы и методы сопротивления материалов. Внешние и внутренние силы, классификация

Основные гипотезы, принципы и методы сопротивления материалов.
  При разработке теории сопротивления материалов используется метод анализа и синтеза, феноменологический и аксиоматический подход: -результаты экспериментов об

Определение внутренних сил методом сечений
  Внешние силы, действуя на деформируемые тела, наводят в них поля внутренних сил упругости, которые являются надбавками к существующим в ненагруженном состоянии межмолекулярным силам

Интенсивность внутренних сил. Механические напряжения.
  Для определения интенсивности внутренних сил в окрестности точки С рассмотрим малую площадку Δ А, её включающую (рис. 2.1). На площадку Δ А придется некоторая час

Элементы теории напряженного состояния
Пусть задано твёрдое деформи

Понятие о деформированном состоянии.
  Деформация - буквально изменение формы. Деформации связаны с взаимными перемещениями точек тела, но не эквивалентны им. На деформации приходится только та часть перемещений о

Лекция 3
  Общий случай действия сил на брус, система главных центральних осей, внутренние силовые факторы. Простые и сложные деформации, использование принципа суперпозиции. Статическая неопр

Общий случай действия сил на брус.
  Напомним, что брусом (стержнем) называется геометрическое тело, два поперечных размера которого малы по сравнению с третьим – длиной. Осью бруса называется геометрическое мес

Простые и сложные деформации, использование принципа суперпозиции.
  Деформация бруса называется простой, если в его поперечных сечениях возникает только один из вышеперечисленных внутренних силовых факторов. Здесь и далее силовым фактором буд

Статическая неопределимость задачи сопротивления материалов.
  Рассмотрим поперечное сечение бруса (рис. 3.2).   Рис. 3.2 Иллюстрация к

Лекция 4
  Деформация чистого растяжения – сжатия, условия возникновения. Анализ задачи, основные зависимости, определение напряжений и деформаций, условие прочности. Примеры решения задач.

Условия, при которых брус подвергается чистому растяжению - сжатию.
Как отмечено в разделе 3.2, в этом случае не равно нулю единственное внутреннее усилие – продольная сила N. Данная ситуация возможна при следующих условиях: - брус прямой; - равно

Анализ задачи.
Статическая сторона задачи. В поперечном сечении бруса (рис. 4.1а) с координатой x действует продольная сила, определяемая методом сечений:

Обобщение результатов анализа задачи (синтез).
  Из кинематики деформаций (рис.4.2) следует, что каждое продольное волокно работает на растяжение – сжатие как отдельный стержень и поперечные силы, приходящиеся на сечение волокна с

Решение.
Реакция в точке закрепления R=γAl. Продольная сила N(x)= γA(l-x), её график на рис. 4.6б.   Рис. 4.6 Брус под действием собственного

Лекция №5
  Статическая неопределимость в курсе сопротивления материалов. Методические рекомендации по изучению темы. Общий подход к решению статически неопределимых задач. Решения в усилиях

Анализ задачи
1 Статическая сторона Уравнения равновесия узла О можно представить в виде (1)

Синтез полученных зависимостей
а) решение в усилиях Предварительно преобразуем геометрическое условие (2) включающее и абсолютные деформации стержней и перемещения узла к виду, где перемещения исключены

Лекция 6
  Сдвиг, основные зависимости, условие прочности. Деформация чистого кручения, условия возникновения. Анализ задачи, основные зависимости. Примеры решения задач на сдвиг и кручение

Чистый сдвиг
  Рассмотрим случай плоско напряженного состояния (см. разд. 2.3) изображенный на рис.5.1а при котором главные напряжения σ1=- σ3= σ.

Чистое кручение
  Как отмечено в разделе 3.2, в этом случае не равно нулю единственное внутреннее усилие – крутящий момент Mk (Mx). Данная ситуация возможна при следующих

Лекция 7
Прямой поперечный изгиб, статическая сторона задачи, дифференциальные зависимости при изгибе, анализ задачи. Чистый изгиб, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, формула нормальных напр

Прямой поперечный изгиб.
Постановка задачи и общие замечания. Рассмотрим прямой брус обладающий плоскостью симметрии (рис.7.1).

Определение касательных напряжений при поперечном изгибе. Формула Журавского - Шведлера
Как следует из вышесказанного, гипотезы плоских сечений и отсутствия давления продольных волокон при поперечном изгибе, строго говоря, не работают. Однако при изгибе балок, у которых отношение длин

Условия прочности при поперечном изгибе.
И при чистом растяжении – сжатии и при чистом кручении каждое из напряженных состояний полностью характеризуется одним параметром. В первом случае это единственное ненулевое главное напряжение, во

Лекция 8
  Использование статически неопределимых основных систем к задачами изгиба балок. Метод сил и метод перемещений. Примеры. Цель:На примере сравните

Лекция 9
  Устойчивость в механике абсолютно твёрдого и в механике деформируемого тела. Критическая сила. Дифференциальное уравнение продольного изгиба стержня. Формула Эйлера и Эйлерова си

Устойчивость в механике.
  Рассмотрим простую систему из двух твердых тел - цилиндрической поверхности и шарика, на который действует сила веса (рис. 9.1).  

Устойчивость формы упругого равновесия центрально сжатого стержня.
  На рис. 9.2 изображен шарнирно опёртый прямой стержень, нагруженный на одном из концов силой P приложенной вдоль его оси и реакцией R = P на другом конце.   &

Устойчивость стержней конечной гибкости
  Задача определения напряженно-деформированного состояния стержней из нелинейно упруго-пластического материала представляет значительные математические и вычислительные трудности. По

Список рекомендованной литературы
Основная 1 Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Изд. 9. – М.: Гостехиздат, 1954. 2 Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1975. – 654 с.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги